自动控制第2讲-第二章 控制系统的数学模型

控制系统的数学模型控制系统的数学模型本章学习要求本章学习要求 1、掌握建立数学模型的一般原理；了解建立、掌握建立数学模型的一般原理；了解建立系统微分方程一般方法；掌握运用拉氏变换解系统微分方程一般方法；掌握运用拉氏变换解微分方程方法；微分方程方法；2、牢固掌握传递函数的概念、定义和性质；、牢固掌握传递函数的概念、定义和性质；3、掌握几种典型环节的传递函数及其动态的、掌握几种典型环节的传递函数及其动态的响应；响应；了解开环传递函数、闭环传递函数、在了解开环传递函数、闭环传递函数、在给定和扰动作给定和扰动作 用下的闭环传递函数及由给定和用下的闭环传递函数及由给定和扰动引起的误差传递函数。扰动引起的误差传递函数。4、掌握方框图及信号流图化简原则，利用方、掌握方框图及信号流图化简原则，利用方框图或信号流图求传递函数；框图或信号流图求传递函数；本章学习方法给定系统给定系统微分方程微分方程系统运动定律拉氏变化方程拉氏变化方程拉氏变化传递函数传递函数通过拉氏变换，将时域的微分、积分运算简化为代数运算，更易分析和求解动态结构图（方块图）建模？求解难！分析难！控制系统数学模型的建立方法：解析法，实验法解析法-建立步骤：建立物理模型。列写原始方程。利用适当的物理定律如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等）选定系统的输入量、输出量及状态变量（仅在建立状态模型时要求），消去中间变量，建立适当的输入输出模型或状态空间模型。实验法基于系统辨识的建模方法黑黑匣匣子子输输入入（已已知知）输输出出（已已知知）1 1电学系统例子电学系统例子)()(tiRtuRRttiCtuCCd)(1)(ttiLtuLLd)(d)(例例2-2(P14)写出以写出以ui为输入，为输入，u0为输出的微分方程。为输出的微分方程。iCRuuu11解：解：021oRCuuu222111iRuiRuRRoCCutiCutiiCud1d)(12222111iooouutuCRCRCRtuCRCRdd)(dd212211222211化简，可得化简，可得设时间常数设时间常数213222111,CRTCRTCRTiooouutuTTTtuTTdd)(dd3212221则有则有iooouuuTTTuTT)(32121简写为简写为2 2 力学系统例子力学系统例子 基本约束基本约束-牛顿定律牛顿定律例例2-3 列出以列出以Fi为输入，为输入，x为输出的运动方程。为输出的运动方程。ifkFFFFkxFk22ddtxmFma解：由加速度定律解：由加速度定律txfFfddiFkxtxftxmdddd22代入并整理得代入并整理得 3 3、机械旋转、机械旋转运动运动 例例2-4(P15)2-4(P15)列出系统运动方程。列出系统运动方程。fMftJddMtJdd解：由角加速度方程解：由角加速度方程fMftJddt dd代入方程，得代入方程，得 fMtftJdddd22力-电压相似 机械系统和电系统具有相同的数学模型，称为相似系统。相似系统揭示了不同物理现象之间的相似关系。为我们利用简单易实现的系统（如电的系统）去研究机械系统.提供了方便。因为一般来说，电的或电子的系统更容易，通过试验进行研究。iooouudtduTTTdtudTT)(3212221iFkxtxftxmdddd22比较fMtftJdddd222-22-2非线性微分方程的线性化非线性微分方程的线性化 1、绝大多数控制系统的数学模型都不是线性模、绝大多数控制系统的数学模型都不是线性模型。型。2 2、非线性系统线性化、非线性系统线性化忽略非线性元件，把它做为线性元件忽略非线性元件，把它做为线性元件切线法或小偏差法。适合于具有连续变化的非线性特性切线法或小偏差法。适合于具有连续变化的非线性特性函数，实质是在一个很小的范围内，将非线性特性用一段函数，实质是在一个很小的范围内，将非线性特性用一段直线代替直线代替 3 3、非线性系统线性化、非线性系统线性化-泰勒级数展开泰勒级数展开实际很多系统正常工作区域内是线性实际很多系统正常工作区域内是线性2-3 2-3 拉氏变换及其应用拉氏变换及其应用2-3-1 2-3-1 拉氏变换的定义拉氏变换的定义 对于时域函数对于时域函数 f(t)f(t)，满足相应的收敛条件，拉氏变换，满足相应的收敛条件，拉氏变换定义为定义为 其中，其中，F(s)F(s)-复变函数；复变函数；s s-复变量：复变量：s=+js=+j。拉氏变换有其逆运算，称为拉氏反变换，表示为拉氏变换有其逆运算，称为拉氏反变换，表示为sesFjsFLtfcstd)(21)()(1其中，积分围线其中，积分围线c c为由为由s=-js=-j到到s=+js=+j的闭曲线。的闭曲线。0d)()()(tetftfLsFst2-3-2 2-3-2 常用控制信号的拉氏变换常用控制信号的拉氏变换1 1、单位脉冲信号考察外扰动信号的自恢复、单位脉冲信号考察外扰动信号的自恢复0,00,)(ttt且且001d)(d)(tttt 理想单位脉冲信号的数学表达式为理想单位脉冲信号的数学表达式为0001d)(d)()(tttettLst拉氏变换为拉氏变换为 2 2、单位阶跃信号考察位置跟踪、单位阶跃信号考察位置跟踪f(t)f(t)1 10 0t tsestettLstst11d)(1)(100拉氏变换为拉氏变换为简写为简写为0,00,1)(tttf)(1)(ttf单位阶跃信号的数学表达式为单位阶跃信号的数学表达式为 3 3、单位斜坡信号考察速度跟踪、单位斜坡信号考察速度跟踪简写为简写为)(1)(tttf0 0f(t)f(t)t t0,00,)(ttttf单位阶跃信号的数学表达式为单位阶跃信号的数学表达式为02001d1)d(1d)(10stetesetstetttLstststst利用分部积分公式利用分部积分公式 4 4、指数信号、指数信号t tf(t)f(t)1 10 00,)(tetft 指数信号的数学表达式为指数信号的数学表达式为0)(01ddsteteeeLtssttt拉氏变换为拉氏变换为 5 5、正弦、余弦信号考察对交流信号的响应、正弦、余弦信号考察对交流信号的响应22sinstL正弦信号的拉氏变换为正弦信号的拉氏变换为22cossstL余弦信号的拉氏变换为余弦信号的拉氏变换为常见的时域信号的拉氏变换见表常见的时域信号的拉氏变换见表2-1(P23)2-1(P23)。2-3-3 2-3-3 拉氏变换的一些基本定理拉氏变换的一些基本定理2 2、线性定理、线性定理)()()()(2121sFbsFatfbtfaL3 3、延迟定理、延迟定理)()(sFetfLs4 4、衰减定理、衰减定理)()(sFtfeLt5 5、初值定理、初值定理)(lim)0(sFsfs6 6、终值定理、终值定理)(lim)(0sFsfs7 7、卷积定理、卷积定理)()()()(d)()(212*1021sFsFtftfLftfLt1 1、常数定理、常数定理)()(11sFKtfKL8 8、微分定理、微分定理)0()()(ddfssFtftL)0()0()()(dd222fsfsFstftL)0()0()0()()(dd)1(21nnnnnnffsfssFstftLL当所有的初值均为零时，即当所有的初值均为零时，即0)0()0()0()1(nfff)()(ddssFtftL)()(dd222sFstftL)()(ddsFstftLnnn则则例例2-8(P24)2-8(P24)求锯齿波信号的拉氏变换求锯齿波信号的拉氏变换)(11)()()()(11211sFesFesFesFsFTsTsTsf(t)f(t)t t0 0T Tsec5.0T 解：解：应用延迟定理，有应用延迟定理，有25.025.05.025.0215.01125.021)(seesesesssFssss第一周期的拉氏变换为（利用定义求）第一周期的拉氏变换为（利用定义求）)1(5.01115.01)(5.025.025.05.025.025.0sssssseseeseseessF则锯齿波信号的拉氏变换为则锯齿波信号的拉氏变换为2-3-4 2-3-4 拉氏反变换拉氏反变换-部分分式法部分分式法设拉氏变换设拉氏变换F(s)F(s)为为s s的有理分式，即的有理分式，即01110111)()()(asasasbsbsbsbsAsBsFnnnmmmm 求出分母多项式对应求出分母多项式对应A(s)=0A(s)=0的根的根s si i(i=1,2,(i=1,2,n n）niinnnnsFsFsFsFssassassasssssssBsF121221121)()()()()()()()(则拉氏反变换为则拉氏反变换为(线性定理）线性定理）niisFLsFLtf111)()()(（1 1）A(s)A(s)0 0全部为单根全部为单根为复变函数为复变函数F(s)F(s)对于极点对于极点s=ss=si i的留数。拉氏反变换为的留数。拉氏反变换为tsniiieCtf1)(issiisssFC)()(其中其中nnssCssCssCsF 2211)(F(s)F(s)可分解成可分解成 例例2-10(P29)2-10(P29)651)(2ssssF求拉氏反变换求拉氏反变换。解：解：F(s)F(s)可分解成可分解成32)3)(2(1651)(212sCsCsssssssF131)2()(221ssssssFC221)3()(332sssssFCs其中其中tteessLsFLtf321123221)()(于是于是 (2)A(s)=0 (2)A(s)=0有重根有重根单根单根s s1 1相对应的系数相对应的系数C C1 1求法同前求法同前;重根重根s s2 2对应的各项系数计算公式如下对应的各项系数计算公式如下2)()(dd12)2(2ssnnsssFsC2)()(12)1(2ssnnsssFC2)()(dd)!2(1122)2(21ssnnnsssFsnC设设F(s)F(s)s s1 1为单根，为单根，s s2 2为为(n-1)(n-1)重根，重根，则则)()()()(221222222)2(212)1(211ssCssCssCssCssCsFnnnn 因为因为tsiietissL2121)!1(1)(1)!3()!2()()(2223212122)2(22)1(211tststsntsnntseCteCetnCetnCeCsFLtfn所以，拉氏反变换为所以，拉氏反变换为 例例2-11(P30)2-11(P30)已知：已知：求拉氏反变换。求拉氏反变换。2)1)(3(2)(sssssF1)1(3)(3123221sCsCsCsCsF 解：解：F(s)F(s)可分解为可分解为解得解得32)1)(3(2)(0201sssssssFC121)1(2)3()(3232sssssssFC21)(2)1()(11232ssssssssFC43)3(2dd)1()(dd11231ssssssssFsC于是，有于是，有11)43()1(1)21(31121132)(2sssssFttteteettf4321121)(132)(3从而从而 (3)A(s)=0 (3)A(s)=0有共轭复数根有共轭复数根当存在共轭复数根时，可以将共轭复数根当当存在共轭复数根时，可以将共轭复数根当作单根作单根(互不相同互不相同)来看待。来看待。如果如果F(s)F(s)是是s s的二次多项式，可将分母配成的二次多项式，可将分母配成二项平方和的形式，直接求原函数二项平方和的形式，直接求原函数2222cossinsstLstL2222)(cos)(sinssteLsteLtt2-3-5 2-3-5 拉氏变换法求解微分方程拉氏变换法求解微分方程拉氏变换法求解微分方程步骤如下：拉氏变换法求解微分方程步骤如下：（1 1）方程两边作拉氏变换。）方程两边作拉氏变换。（2 2）将给定的初始条件与输入信号代入方程。）将给定的初始条件与输入信号代入方程。（3 3）写出输出量的拉氏变换。）写出输出量的拉氏变换。（4 4）作拉氏反变换求出系统输出的时间解。）作拉氏反变换求出系统输出的时间解。例例2-13(P31)RC2-13(P31)RC滤波电路如图所示，滤波电路如图所示，输入电压输入电压u ui i(t)=5V(t)=5V，试求：当电容初始电压，试求：当电容初始电压u uc c(0)(0)分别为分别为0V0V和和1V1V时的时间解时的时间解u uc c(t)(t)。解：解：RCRC电路的微分方程为电路的微分方程为)()(d)(dtututtuRCiccR=10kR=10ku ui i=5V=5Vu uc cC=10C=10)()(d)(dtuLtuttuRCLicc方程两边作拉氏变换方程两边作拉氏变换将将R=10k,C=10R=10k,C=10,U,Ui i(s)=5/s(s)=5/s代入，根据微分定理可得代入，根据微分定理可得)11.0(5)0(1.0)(sssusUcc （1 1）u uc c(0)=0V(0)=0V时时1055)11.0(5)(sssssUc)(1 55)(15)(1010ttcetettu （2 2）u uc c(0)=1V(0)=1V时时1045)11.0(51.0)(ssssssUc54)(1 54)(15)(1010ttcetettuu uc c(t)(t)5V5V1V1V0 00.10.1t t两种初值时系统的两种初值时系统的时间响应时间响应2-4 2-4 传递函数传递函数 微分方程是在时域中描述系统动态性能的数学模型。求解麻烦，系统结构和参数变化时分析较麻烦。用拉氏变化法求解微分方程时，可以得到控制系统在复数域的数学模型传递函数。定义：线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。mnasasasbsbsbsbsUsYsGnnnmmmm,)()()(01110111)()()(sUsGsY 例例 解：解：RCRC电路的微分方程为电路的微分方程为)()(d)(dtututtuRCiccR Ru ui iu uc cC C方程两边作拉氏变换方程两边作拉氏变换)(11)(sURCssUic11)()()(RCsSUSUSGiC2-4-2 2-4-2 传递函数的性质传递函数的性质 1 1、传递函数只适用于线性定常系统、传递函数只适用于线性定常系统2 2、传递函数是在零初始条件下定义的、传递函数是在零初始条件下定义的,即在零时刻前，即在零时刻前，系统在平衡工作点相对静止系统在平衡工作点相对静止 4 4、传递函数与微分方程之间有关系（微分定理、零初始）、传递函数与微分方程之间有关系（微分定理、零初始）)()()(sRsCsG如果将dtdS置换 微分方程传递函数3 3、传递函数只取决于系统的结构和参数，与输入量无关、传递函数只取决于系统的结构和参数，与输入量无关 5 5、传递函数的零点和极点、传递函数的零点和极点其中，其中，K-K-系统的传递增益系统的传递增益(或传递系数）；或传递系数）；s=zs=zj j,j=1,2,j=1,2,m,m-分子多项式对应方程的根，分子多项式对应方程的根，称之为系统的零点；称之为系统的零点；s=ps=pi i,i=1,2,i=1,2,n,n-分母多项式对应方程的根，分母多项式对应方程的根，称之为系统的极点称之为系统的极点。传递函数因式分解后可用零极点来表示为传递函数因式分解后可用零极点来表示为).()().()()(2121nmpspspszszszsKsG 传递函数只反映系统端口之间的关系。传递函数只反映系统端口之间的关系。（1 1）同一个物理系统，由于描述不同端口之间的关系，其传递）同一个物理系统，由于描述不同端口之间的关系，其传递函数可能不同。函数可能不同。（2 2）不同的物理系统，其传递函数可能相同。）不同的物理系统，其传递函数可能相同。6 6、传递函数表示的关系、传递函数表示的关系 7 7、传递函数的信息关系、传递函数的信息关系 (1)(1)确定了输入信号确定了输入信号U(s)U(s)与输出信号与输出信号Y(s)Y(s)之间的传递关系信息。之间的传递关系信息。(2)(2)确定了系统的固有特性信息确定了系统的固有特性信息(由分母多项式描述由分母多项式描述)。(3)(3)确定了系统与外界联系方式信息确定了系统与外界联系方式信息(由分子多项式表示由分子多项式表示)。2-4-3 控制系统的传递函数控制系统的传递函数 (6)延迟环节延迟环节 具有纯时间延迟传递关系的环节称为延迟环节。具有纯时间延迟传递关系的环节称为延迟环节。uiuose 方块图为方块图为)()(tutuio 传输关系为传输关系为 (7)一阶微分环节一阶微分环节uiuo1s 方块图为方块图为 (8)二阶微分环节二阶微分环节uiuo1222ss 方块图为方块图为 3、复杂系统传递函数的求取过程、复杂系统传递函数的求取过程 (1)将控制系统分成前述的基本环节，分别写出各将控制系统分成前述的基本环节，分别写出各基本环节的传递函数。基本环节的传递函数。(2)按照信号流通的约束关系，将各基本环节的按照信号流通的约束关系，将各基本环节的传递函数按照相应的关系组合，得到系统结构图。传递函数按照相应的关系组合，得到系统结构图。(3)消去中间变量，得到系统的传递函数。消去中间变量，得到系统的传递函数。例例2-24(P42)直流电动机调速系统原理如图所示，直流电动机调速系统原理如图所示，求电动机旋转角速度和给定角速度的传递函数。求电动机旋转角速度和给定角速度的传递函数。1U 第二步第二步 将基本环节的传递函数组合成系统将基本环节的传递函数组合成系统结结构图。构图。ML(s)Kr K1)1(sTsKSDSDSDi1 Ks KaKL/KM1sTKMM KTC+-rUr(s)e(s)U1(s)SD(s)(s)US(s)Ua(s)(s)UTC(s)+第一步第一步 写出各基本环节的传递函数。写出各基本环节的传递函数。第三步第三步 消去中间变量，得到系统传递函数。消去中间变量，得到系统传递函数。TCSDMaSSDMSDrSDMaSSDrKiKKKKKsTsTsKiKKKKKsssG/1)1)(1(/1)()()(11 消去各中间变量，令负载消去各中间变量，令负载ML为零，为零，传递函数为传递函数为 令给定角速度令给定角速度r为零，可以得到负载扰动为零，可以得到负载扰动ML作用下作用下的的传递函数为传递函数为TCSDMaSSDMSDSDLLMKiKKKKKsTsTssTsKsMssG/1)1)(1()1()()()(1本本 节节 习习 题题P57 2-1（b）、）、2-3（a,b)、2-5(a，b)P57 2-8P57 2-8（a a）下周实验课：？下周实验课：？地点：机械动力实验楼（机械学院南100米）四楼北，自控马老师