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湖北省部分重点中学2023-2023学年度上学期新高三起点考试数学试卷(理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A = x|x-1|2,B= ,则AB=()A.0,2B.1,3)C.(1,3)D.(1,4)2.已知复数 (其中为虚数单位),则| =().A. B. C. D. 3.已知m,n是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题中正确的是（）A.若m/，n/，则m/nB.若m/，n/，则a /C.若a丄，丄，则a /D.若m丄，n丄，则m/n4.己知命题P: 是假命题，则实数a的取值范围是（）A. ，+)B., +）C ., +）D.(-，5.把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有 ()种.A. 12B. 24C. 36D. 486.若，则a，b，c的大小关系为（）A. a b cB. b a cC. c b aD. b c a7.己知等比数列满足，则 ().A. B. C. D. 8.在的展开式中，的系数等于-5，则该展开式各项的系数中的最大值为（） A.5B.10C.15D. 209.若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A. B. C. 40 D. 8010.如图，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1的直线L与双曲线的左右两支分别交于点B，A两点.若ABF2为等边三角形，则BF1F2的面积为（）A.8B. C. D.1611.若函数是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围是（）A. (-，2)B., 2）C.(0, 2）D.(-，12.设定义域为R的函数,若关于x的方程有且仅有三个不同的解,则的值为（） A. 1 B.3 C.5D.10二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分13.已知向量的夹角为，且|= , |=2,则 |-|为 。14.已知an是等差数列，是前n项和，若，则的值是。15.已知矩形ABCD的周长为18，将它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为。16. 已知 ，则 在上的最小值是。三、解答题：本大题共6小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17. (本小题满分12分）在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且c = 2,C =.（1）若ABC的面积等于，求a、b；（2）若 sin C + sin(B - A) = sin 2 A，求A的值.18.(本小题满分12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元。现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的 易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的 易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.（1）求X的分布列；（2）若要求P(Xn) 0.5，确定n的最小值；（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？19.(本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面A1BC丄侧面A1AB B1，且 AA1 = AB = 2.（1）求证：AB丄BC ；（2）若直线AC与面A1BC所成的角为，求二面角A-A1C-B的大小.20. (本小题满分12分）已知椭圆 (a b 0)的一个焦点是F (1,0)，O为坐标原点.（1）已椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（2）设过点F的直线L交椭圆于A，B两点，若直线L绕点F任意转动，恒有|OA|2 + |OB|2 |AB|2，求a的取值范围.21.(本小题满分12分）已知函数（1）求函数的单调区间和极值；（2）已知函数与函数的图像关于直线x = 1对称，证明：当x1时，f(x) g(x)；（3）如果，证明：.四.选做题（从22, 23, 24三道题中选一题作答）22.(本小题满分10分）选修：几何证明选做题如图所示，直线PA为圆O的切线，切点为A，直径BC丄OP，连结AB交PO于点D.（1）证明：PA = PD ；（2）证明：PA AC = AD OC .23.(本小题满分10分）选修：极坐标与参数方程在直角坐标系中，直线L的参数方程 (t为参数），在O为极点，x轴非负半轴为为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为.（1）求直线L的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）若直线L与y轴的交点为P，直线L与曲线C的交点为A，B，求|PA|PB|的值.24.(本小题满分10分）选修：不等式选讲 设函数，其中aR.（1）当a = 2时，解不等式 ；（2）若对于任意实数，恒有成立，求a的取值范围。湖北省部分重点中学2023-2023学年度上学期新起点考试数学试卷参考答案(理)一、 选择题BADACDCBACDC二、 填空题13、2 14、20 15、13 16、三、 解答题17.(1)c=3,C=,由余弦定理得，故联立上面两式，解得6分 （2），即；.则分类讨论若；若，则，由正弦定理b=2a,又，故，即.综上12分18. 解：（1）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而；.所以的分布列为161718192021224分（2）由（）知，故的最小值为19.8分（3）记表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.当时，当时，.可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值，故应选.12分19.(1)取A1B的中点为D，连接AD（2）角ACD即AC与面A1BC所成线面角,等于；直角三角形ABC中A1A=AB=2， D为AB的中点， 过A作，且. 故即为二面角的一个平面角. 又，且二面角是锐二面角，12分解法二：以BC，BA，BB1分别为x,y,z轴建系，故分别求得面A1BC的法向量为（0,1，-1） ，面A1AC的法向量为（1,1,0），求得法向量夹角余弦12分20.（1）设M，N为短轴的两个三等分点，由MNF 为正三角形， 即1=， 椭圆的方程为. 4分(2)AB与x轴重合，则5分 AB与x轴不重合，令AB方程为，联立，即，且，7分 恒有,故为钝角，即恒成立，9分 整理得 对于恒成立，此时的最小值为0.又， 解得12分 21.（1）在上增，在上减，故在x=1处 取得极大值4分 （2）因为函数的图像与的图像关于直线x=1对称，所以=，令，则 又，当时有，在上为增函数，.8分 (3)在上增，在上减，且，x1, x2分别在直线x=1两侧，不妨设x11,即， 又.12分22.(1)直线PA为圆O的切线，切点为A，BC为圆O的直径，5分(2)连接,由(1)得,10分23.（1）直线的参数方程为，直线的普通方程为，又，曲线的直角坐标方程为； 5分（2）将直线的参数方程（为参数）代入曲线：，得到：，10分24. （）时,就是当时,得,不成立；当时,得,所以；当时,即,恒成立,所以. 综上可知,不等式的解集是. 5分() 因为,所以的最大值为.对于任意实数,恒有成立等价于.当时,得；当时,不成立.综上,所求的取值范围是.10分欢迎访问“高
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