品质因数计算

电路理论基础论文名 称：电路品质因数的定义及计算方法 学生姓名：学 院：班 级：学 号：2013 年 12 月电路品质因数的定义及计算方法XXX哈尔滨工业大学 控制科学与工程 哈尔滨 150001)摘要：品质因数是谐振电路中非常重要的一个参数。本文将介绍品质因数的三种定义及之间的相互关系并 对谐振电路中品质因数的计算方法进行讨论，给出了一般 RLC 电路谐振时品质因数的简单计算方法。 关键词：品质因数；定义；计算方法；谐振电路；等效阻抗；等效导纳；品质因数是谐振电路中一个非常重要的参数，然而在课程教材只是在RLC串联、并联 谐振电路中直接给出了谐振电路的品质因数的计算公式并由计算公式定义了品质因数，但对 于品质因数的原始定义、其物理意义及在较为复杂的RLC混联电路中的计算方法却并没有 说明。本文将介绍品质因数的原始定义，并从原始定义分别推导RLC串联、并联谐振电路 的品质因数定义式，最终给出复杂RCL谐振电路的品质因数计算的简单方法。1. 品质因数的定义及相互间的关系1.1 从能量的角度定义q _2兀电路中存储的最大能量电路在一周期内消耗的总能量品质因数的原始定义是由能量来定义的，表示了电路中能量之间的转换的关系，即电路 的储能效率。从能量定义品质因数可以清楚地表达品质因数的物理意义,对于各种电路具有 普遍意义,但在电路中利用能量定义来计算品质因数Q值则相对比较复杂。1.2在RLC串联谐振电路中的定义IIC图一：RCL串联电路RLC串联电路图如图所示，电路处于谐振状态时，L、C为RLC串联电路中的电感及、iT、小p电容，P =， p称为RLC串联电路的特性阻抗。则品质因数Q 。CR1.3在RLC并联谐振电路中的定义图二：RLC并联电路由电流源激励的 RLC 并联电路图如图所示，谐振时电感电流或电容电流与总电流之比称为RLC并联电路的品质因数：Q 二 + 二 + w oCR -作 C1.4由品质因数的能量定义推导RLC串联谐振电路品质因数LC图三：RCL串联电路如图所示RLC串联电路，设电路两端电压为u = 2冋t),当电路处于串联谐振时，讥二為，电路中电流=R 71 cos()电路中存储的电能为电感和电容存储电能之和。且电感和电容储能分别为：WL = 2Li2， Wc = 2Cuc2，且电容两端电压uc为:1 ） 兀2丿.11R（u = I=21 cos t -c jCCI根据品质因数的能量定义得： 路中品质因数的定义可以从能量定义的品质因数推导得出，体现了品质因数不同定义间的等 效性。q=2兀电路中存储的最大能量=2兀(Wl + Wc)-电路在一周期内消耗的总能量一wrtwrt为在一个周期内电阻消耗的电能。将以上电感储能、电容储能带入得:( 1 )C0S2t 一一兀(2丿LUC0S2 （t） +Q=2冗22C R21 U 2Uo2 TRLU C0S2 （t） +=2 兀R2 2C R2U2U o tR坐 sin2 （t）1.5由品质因数的能量定义推导RLC并联谐振电路品质因数图四：RLC并联电路如图所示为RLC并联谐振电路，不妨设设电路两端激励为电流源i =迈1 cos6t）,当T 1电路处于并联谐振时，= 。电路中存储的电能为电感和电容存储电能之和。且电感 和电容储能分别为：WL = 2Lil2， WC = 2Cuc2，在并联电路中电容两端电压等于电阻两端电压所以可得电容两端电压：uc = Ri =、；2RI cos6t）。通过电感的电流为iljLRijL(1 )cos t 一兀I2丿根据品质因数的能量定义得：Q=2兀电路中存储的最大能量=2兀（叫+ Wc）Tr T T电路在一周期内消耗的总能量WRTWRT为在一个周期内电阻消耗的电能。将以上电感储能、电容储能带入得:Q=2兀( 1 )COS2 t 一一兀 + CR 212COS2(2丿I2RT(ot)=2兀R sin2 (ot)+ CR212 cos2 (ot)o2 L12 RT1c在并联谐振电路中，oL =，带入上式化简得，Q = RoC = R，由此我们便证oCA1 L明了在并联谐振电路中品质因数的定义可以由从能量定义的品质因数推导得出，体现了品质 因数不同定义间的等效性。2. 品质因数的计算方法对于简单的RLC串联、并联电路品质因数的计算我们可以直接套用品质因数在RLC串 联、并联电路中的定义式进行计算，但是对于稍复杂的RLC谐振电路这些公式就不再适用。 通过品质因数最原始的定义即能量定义一定是可以计算的任意谐振电路的品质因数，但是却 会较为繁琐。下面将介绍对于复杂 RLC 谐振电路中品质因数计算的简单方法，并对其正确 性进行证明。2.1 品质因数计算简单方法对于任意的含L, C元件的任一无源二端电路，一定可以求得其电路等效阻抗为：Z 二 R + j（XT - X ）eqLeqCeq其中：Z 无源二端电路的等效阻抗，单位：。;Req 无源二端电路中的等效电阻，单位：。；xLeq 无源二端电路中的等效感抗，单位：。;XCeq无源二端电路中的等效容抗，单位：;根据Req，XLeq，XCeq就可以计算出电路的等效电阻、电感及电容。即对于任意的RLC 电路，我们一定可以将其等效成如下简单RLC串联的形式：ReqCeq图五：等效 RLC 电路图然后根据在简单 RCL 串联电路中品质因数的定义，代入求得的等效后的电阻、电感和 电容直接进行计算即可。品质因数的简单计算公式为：1iLeqR Ce qeq2.2 举例说明两种计算方法R2图六：RLC混联电路图如上图所示为稍复杂的RLC谐振电路，电路参数为R，R2，L和C。通过R的电流 i =辽I cosCt），且此时电路处于谐振状态，求该电路的品质因数Q。1）利用品质因数的能量定义求解品质因数图六所示电路处于谐振状态，求得整个电路的等效阻抗为0 Z = R +R 21 + co2C2 R且电路谐振时等效总阻抗的虚部为0，即ReZ二0，推得L =虫（1）1 + w 2C2 R电阻R在一个周期内消耗的电能为：电感L上存储的电能为：WL =扣根据R 2和C并联，利用导纳求得通过R 2的电流大小为：R2i cos6t_e）, 其中0 =arctan G）CR ?） + OoCR 2 ）25）当电路处于谐振状态时，3CR 2很大，所以2兀电阻R 2在一个电路周期中消耗的电能为：WR2R2T6）电容两端电压与电阻R 2两端电压相同，则uc = IR 2 R2（ 7）电容上存储的能量为：WC = Cu 2（8）C 2 c根据品质因数的能量定义有：9）Q = 2兀电路中存储的最大能量=2兀WC +巴电路在一周期内消耗的总能量WR1 + WR 2将以上（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）共 9 个式子联立，可解得该电路的品小3L质因数Q=-R1 + 1 CR 2定可以解出任意RLC由以上我们可以看出通过品质因数的基本定义，即能量的定义， 串联、并联电路的品质因数，但是从整个计算过程中我们也可以看到使用该基本定义计算复 杂的电路的品质因数是很繁琐的。2）利用品质因数的简单计算公式求解由式子 Z = R1 +R 21 + co2C2 R 22+ coL oCR.2).2 j，1 + 02C2 R 丿直接可以求得电路中的等效电阻 Re q= R1 +R 21 + o 2C2R22等效电感 Leq = L等效电容Ceq=1 + 32C 2 R 22 32CR 22，直接带入简单计算公式，结合电路处于谐振状态有（1）式成立，得：Q =笃 R1 +1 CR 2可以看出经过简单公式计算的结果与通过品质因数的能量定义推出的结果是一样的，这也就证明了简单计算公式的正确性。对于上面较简单电路品质因数的求解，使用品质因数的能量定义就经过了复杂的计算，对于更复杂的电路通过能量定义去计算品质因数则会相当困难，甚至难以求解。而通过品质因数简单计算公式只需要求得电路的等效阻抗就能很容易的求出所要的结果，证明了品质因数简单计算公式能够大幅度化简繁复的运算，使问题的求解 更加容易。3. 结论品质因数的能量定义清楚地表达了品质因数的物理意义，对于各种电路具有普遍意义 但是如果利用它去求解较为复杂的谐振电路的品质因数则相当困难，甚至难以求解。串联和 并联谐振电路的品质因数的定义，是从电路参数的角度对品质因数直接下了定义，这种定义 有利于求解品质因数的计算，但是从理解的角度讲,不如品质因数的能量定义更加明确，更 容易看清其所包含的物理意义。从第一部分的证明我们可以看出串联、并联谐振电路的品质 因数的定义可以由品质因数的能量定义推导得出的，两者是相互等效的。本文给出的任一谐 振电路推导品质因数的简单计算公式，对于各种集总参数谐振电路品质因数计算公式的推导 均有效，尤其对于较为复杂的谐振电路，只要求出电路谐振条件下等效的其等效电阻、电感 及电容，就可以直接套用串联谐振电路品质因数计算，直接求得电路的品质因数。该方法简 便易行，尤其对于复杂电路的求解体现出了极大的优越性。参考文献:1 孙立山.陈希有.刘洪臣.霍炬. 电路理论基础. 北京：高等教育出版社，2013: 172-1932 张洪让. 电工原理. 北京：中国电力出版社，1999: 154-166.3 邱关源. 电路(第四版). 北京：高等教育出版社，1999: 140-1774 燕庆明.电路分析教程. 北京:高等教育出版社,2003: 181-193.5 石生.韩肖宁.等.电路基本分析. 北京:高等教育出版社, 2004: 126-135.6 俎云霄吕玉琴谐振电路品质因数的计算J.南京：电气电子教学学报,2007, 29(1):16-177 任秀芳王翠珍黄聚义.对谐振电路品质因数的教学探讨J.济南：科技信息.2009(7): 548-549