线面垂直及面面垂直典型例题

线面垂直与面面垂直 基础要点线面垂直 面面垂直线线垂直、若直线与平面所成的角相等，则平面与的位置关系是（ B ） A、 B、不一定平行于 C、不平行于 D、以上结论都不正确、在斜三棱柱,又,过作底面ABC，垂足为H ，则H一定在（ B ） A、直线AC上 B、直线AB上 C、直线BC上 D、ABC的内部、如图示，平面平面，与两平面所成的角分别为和，过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为，则（ A ） A、2:1 B、3:1 C、3:2 D、4:3、如图示，直三棱柱中，,DC上有一动点P，则周长的最小值是5.已知长方体中，,若棱AB上存在点P，使得,则棱AD长的取值范围是 。题型一：直线、平面垂直的应用1.（2014，江苏卷）如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点. 已知.求证：(1) ；(2) .证明： (1) 因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DEPA. 又因为PA 平面DEF，DE 平面DEF，所以直线PA平面DEF. (2) 因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA6，BC8，所以DEPA，DEPA3，EFBC4. 又因 DF5，故DF2DE2EF2，所以DEF90，即DE丄EF. 又PAAC，DEPA，所以DEAC. 因为ACEFE，AC平面ABC，EF平面ABC，所以DE平面ABC. 又DE平面BDE，所以平面BDE平面ABC. 2. (2014,北京卷，文科)如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，、分别为、的中点.（1）求证：平面平面；（2）求证：平面.证明：（1）在三棱柱中，.(2)取AB的中点G，连接EG，FG、分别为、的中点, ,则四边形为平行四边形，.3如图，是所在平面外的一点，且平面，平面平面求证分析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直证明：在平面内作，交于因为平面平面于，平面，且，所以又因为平面，于是有另外平面，平面，所以由及，可知平面因为平面，所以说明：在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直线面垂直线线垂直4.过点引三条不共面的直线、，如图，若截取(1)求证：平面平面；(2)求到平面的距离 分析：要证明平面平面，根据面面垂直的判定定理，须在平面或平面内找到一条与另一个平面垂直的直线(1)证明：，又，和都是等边三角形，取的中点，连结，在中，在中，平面平面，平面平面或：，顶点在平面内的射影为的外心，又为，在斜边上，又为等腰直角三角形，为的中点，平面平面，平面平面(2)解：由前所证：，平面，的长即为点到平面的距离，点到平面的距离为、如图示，ABCD为长方形，SA垂直于ABCD所在平面，过A且垂直于SC的平面分别交SB、SC、SD于E、F、G，求证：AESB,AGSD6.在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD是正三角形，且与底面ABCD垂直，已知底面是面积为的菱形，M是PB中点。(1)求证：PACD(2)求证：平面PAB平面CDM7.在多面体ABCDE中，AB=BC=AC=AE=1，CD=2，面ABC，AE/CD。(1)求证：AE/平面BCD；(2)求证：平面BED平面BCD题型二、空间角的问题1.如图示，在正四棱柱中，E为上使的点，平面交于F，交的延长线于G，求：（1）异面直线AD与所成的角的大小（2）二面角的正弦值2.如图，点在锐二面角的棱上，在面内引射线，使与所成的角为，与面所成的角大小为，求二面角的大小分析：首先根据条件作出二面角的平面角，然后将平面角放入一个可解的三角形中（最好是直角三角形），通过解三角形使问题得解解：在射线上取一点，作于，连结，则为射线与平面所成的角，再作，交于，连结，则为在平面内的射影由三垂线定理的逆定理，为二面角的平面角设，在中，,在中，,是锐角，,即二面角等于说明：本题综合性较强，在一个图形中出现了两条直线所称的角，斜线与平面所称的角，二面角等空间角，这些空间角都要转化为平面角，而且还要彼此联系相互依存，要根据各个平面角的定义添加适当的辅助线3.正方体的棱长为1，是的中点求二面角的大小分析：求二面角关键是确定它的平面角，按定义在二面角的棱上任取了点，在二个半平面上分别作棱的垂线，方法虽简便，但因与其他条件没有联系，要求这个平面角一般是很不容易的，所以在解题中不大应用在解题中应用得较多的是“三垂线定理”的方法，如图考虑到垂直于平面，在平面上的射影就是再过作的垂线，则面，过作的垂线，即为所求二面角的平面角了解：过作及的垂线，垂足分别是、，连结面，面，又，面又，为所求二面角的平面角，而，在中，在中，在中，4.PA垂直于矩形ABCD所在平面，M、E、N分别是AB、CD和PC的中点，（）求证：MN平面PAD（）若二面角PDCA为，求证:平面MND平面PDC5.已知正方体中，E为棱上的动点，（1）求证：BD (2)当E恰为棱的中点时，求证：平面平面（3）在棱上是否存在一个点E，可以使二面角的大小为？如果存在，试确定E在棱上的位置；如果不存在，请说明理由。题型三、探索性、开放型问题1.如图，已知正方形ABCD的边长为2，中心为O。设平面ABCD，EC/PA,且PA=2。问当CE为多少时，PO平面BED。2.已知ABC中，,AB平面BCD，,E、F分别是AC、AD上的动点，且（1）求证：不论为何值，总有平面BEF平面ABC（2）当为何值时，平面BEF平面ACD?