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第十二章第十二章 电路的频率响应电路的频率响应 12 1 串联电路的谐振串联电路的谐振 电路中的谐振现象：电路中的谐振现象：谐振现象是正弦稳态电路的一种特定的工作状态，主谐振现象是正弦稳态电路的一种特定的工作状态，主要由于要由于L、C 的存在而引起的，由于的存在而引起的，由于L、C的联接关系不的联接关系不同，可分为串联谐振与并联谐振。例如，无源一端口网同，可分为串联谐振与并联谐振。例如，无源一端口网络，端口上电压相量与电流相量的比为：络，端口上电压相量与电流相量的比为：P+UI11 ZIUIUZ 0 电路呈感性电路呈感性=0 电路呈阻性电路呈阻性 0 电路呈容性电路呈容性 ，称电路发生了谐振，称电路发生了谐振 下面以下面以 R、L、C 串联电路为例研究串联谐振串联电路为例研究串联谐振一、定义：在一、定义：在 R、L、C 串联电路中串联电路中，在正弦激励下，当端口上，在正弦激励下，当端口上的电压相量与电流相量同相位时，这一工作状态称做串联谐振。的电压相量与电流相量同相位时，这一工作状态称做串联谐振。CjLjRZ 1IU IU+_jLRCj1+RULUCU二、发生串联谐振的条件二、发生串联谐振的条件 令阻抗的虚部等于零：令阻抗的虚部等于零：0(f0)：是电路的谐振频率，：是电路的谐振频率，又称为电路的固有频率其大小又称为电路的固有频率其大小 是由是由 L、C 决定，决定，与与 R 无关。无关。三、串联谐振时电路的特征三、串联谐振时电路的特征 1、阻抗、阻抗 Z 最小，电流最小，电流 I 最大。最大。最小最小Z R )1Lj(RZ 00 C 要满足电压电流同相位，必满足要满足电压电流同相位，必满足 ImZ=0 0100 CL CL001 ,2100fLC LCf 21 ,0 最最大大不不变变时时电电流流设设IU 0 RUZUII2、总电压等于电阻、总电压等于电阻 R 上的电压。电感上的电压。电感 L 上的电压与电容上的电压与电容 C上的上的电压大小相等，方向相反，相互抵消，对整个电路不起作用。但电压大小相等，方向相反，相互抵消，对整个电路不起作用。但是，是，L，C 上的电压不仅有而且还有可能很大，所以串联谐振又上的电压不仅有而且还有可能很大，所以串联谐振又叫做电压谐振。叫做电压谐振。RUUILUCU ,0100 CL CL001 CjICj IL00011j I CLUU 0U ,0U ,CL CLUU 如果过高，会击穿如果过高，会击穿 L、C 为了准确的研究为了准确的研究 UL、UC比比U高的倍数，引出电路的品质因数高的倍数，引出电路的品质因数 Q。UUURCLCL ,100时时当当 CLRRLCRUUUUQCL1100 可见，可见，Q 值只取决于电路的结构和参数与电源电压无关。值只取决于电路的结构和参数与电源电压无关。四四.串联谐振时电路中的功率串联谐振时电路中的功率 1、电路中的有功功率、电路中的有功功率,1 cos ,0 RI22RUUI cos UIP 阻阻性性被被电电阻阻所所消消耗耗，电电路路呈呈电电源源供供给给电电路路的的能能量量全全 可见，电路吸收的无功功率为可见，电路吸收的无功功率为 0，也就是说电路与电源之，也就是说电路与电源之间无能量交换，但电路内部的电感与电容之间周期性地进行磁间无能量交换，但电路内部的电感与电容之间周期性地进行磁场能量与电场能量的交换。场能量与电场能量的交换。3、谐振时、谐振时L 和和C 中所储存的磁场能量和电场能量的总和中所储存的磁场能量和电场能量的总和2、电路中的无功功率、电路中的无功功率0sin ,0 0|,0sin CLcLQQQQUIQ但但 20C201Q ,ICLIQL tUcos2Qu 0C 由由相相量量图图可可知知：tRUt00sin2Rui ,Usin2u 设设谐谐振振时时：CLRQ221 LUCURUUI222121CCLCuLiWWW )t(cosUCQ)t(sinURL W 02220222 )(cos)(sin 02220222tUCQtUCQ 常常量量 222221 mUCQUCQIU+_jLRCj1+RULUCUsradLC/10510200102011:51230 解解 10 1000011020105 350VUVLIUUCL 10001010000 UUQL电电路路中中已已知知例例:112 200pFC ,20mHL ,10V U ,10R 1AI QUULc ,:0 求求五、五、R L C 串联电路的频率特性串联电路的频率特性定义：定义：R L C串联电路中的电流、电压、阻抗或导纳的模及串联电路中的电流、电压、阻抗或导纳的模及 幅角随频率变化的特性，称为频率特性。其中电流、电压幅角随频率变化的特性，称为频率特性。其中电流、电压 模的频率特性又称为谐振曲线。模的频率特性又称为谐振曲线。1、阻抗导纳频率特性：、阻抗导纳频率特性：jXRXXjRCjRZCL )()1-L(2222)C 1L(|RXRZRCL 1arctan)(阻抗的频率特性阻抗的频率特性L LX|C 1L|X0|Z0 阻性阻性容性容性C 1CXRC 1L X感性感性 0)(2 2 0 容性容性感性感性阻性阻性|11|22ZXRY 0|Y|0|Z 0导纳的频率特性导纳的频率特性2、电流谐振曲线：、电流谐振曲线：电流的谐振曲线电流的谐振曲线)(I0 0 I01I02R1R2R1R2系系曲曲线线有有效效值值随随频频率率变变化化的的关关)(I U|)(|)Z(j|U)I(jY)I(可见电流谐振曲线可见电流谐振曲线的频率特性完全相的频率特性完全相与与|)Y(j|倍倍似似只只是是扩扩大大了了U:R)I(有有关关的的最最大大值值与与 R R 21 如如果果202101 RUIRUI 则则3、用、用I()/I 0 表达表达 I()的频率特性的频率特性(1)、表达式：、表达式：因为，因为，I 0 和和0 都是不随频率的变化而变化的，所以，都是不随频率的变化而变化的，所以，I()/I 0与与 I()的变化规律完全相同的变化规律完全相同,/0 与与的变化规律也完全相同的变化规律也完全相同。如果以。如果以 =/0 为横坐标为横坐标 ，以，以 I()/I 0 为纵坐标为纵坐标 则得到的则得到的频率特性曲线和以频率特性曲线和以为横坐标，为横坐标，I()为纵坐标得到的频率特性曲线为纵坐标得到的频率特性曲线的变化规率是一样的，且称为通用谐振曲线。表达式如下。的变化规率是一样的，且称为通用谐振曲线。表达式如下。22)1()(CLRUZUI 200002)(CLRU ,1 ,00 又又200002)()(CLRUI 20000)(1CRRLRU QR1R 00 CL 2002)(1 QRU22)1(1 QRU220)1(11)(QII0 IRU 又又 这样画曲线的目的是第一、可以明显的看出这样画曲线的目的是第一、可以明显的看出Q对频率特性的对频率特性的影响，第二、可用分贝做单位：影响，第二、可用分贝做单位：dB=20log(I/I0)。(2)、通用谐振曲线、通用谐振曲线串联谐振电路的通用谐振曲线串联谐振电路的通用谐振曲线00I /I0 11220)1(11)(QII 因为曲线与因为曲线与Q值有关，值有关，Q值大时，曲线尖锐。值大时，曲线尖锐。Q值小时，曲线值小时，曲线平缓。下面画出不同平缓。下面画出不同Q值时的通用谐振曲线。值时的通用谐振曲线。Q值不同时的通用谐振曲线值不同时的通用谐振曲线0Q10I /I0 Q2Q31Q1 Q2 1偏离谐振偏离谐振点时，输出下降，点时，输出下降，随随 0和和 而逐而逐渐下降至零。只有在渐下降至零。只有在谐振点附近的区域内，谐振点附近的区域内，即即=1+，才有较大的输出幅度，电路的这种性能称为选择，才有较大的输出幅度，电路的这种性能称为选择性。性。I()/I 0的值称为相对抑制比，它表示当偏离谐振频率时电的值称为相对抑制比，它表示当偏离谐振频率时电路对非谐振频率电流的抑制能力。路对非谐振频率电流的抑制能力。00I /I0 114、选择性问题、选择性问题（1）、通频带的概念：在工程中，为了定量的衡量选择性，一般）、通频带的概念：在工程中，为了定量的衡量选择性，一般规定：通用曲线上规定：通用曲线上707.02/1/)(0 II 12 00I/I0 110.707 1(1)2(2)点之间的宽度做为通频带的带宽。又称为通频带。即点之间的宽度做为通频带的带宽。又称为通频带。即时对应的两个频率时对应的两个频率（2）、品质因数）、品质因数Q对选择性的影响对选择性的影响 由通频带由通频带BW的定义可得：的定义可得：由上式可见，由上式可见，Q值大时，通频带窄。值大时，通频带窄。Q值小时，通频带宽。值小时，通频带宽。21)1(11220 QII011 ,1)1(222 QQ 14121 ,141212221 QQQQ ,1 12Q /Q 012 BW在通用谐振曲线上也明显可见：在通用谐振曲线上也明显可见：0Q10I/I0 0.707Q2Q31Q1 Q2 :0)(,)(CCUU令令对对于于2222222222)1()1(2)1(2Q 2210)(QQUQUCQUQ222222)1(2)1(2Q 221 0)1(2122 Q22211 Q ),(211 222,1 舍舍去去频频率率没没有有负负的的Q 1211 21 Q 020101 211 :Q此此时时)(|)(|)(1max1 CCCUUU QUQQU 1411 2:0)(U,)(L 令令对对于于LU222222223223L)11(1)11(12)11(2221QU0)(U QQQ0 2)11(2 23223 Q1)11(2 22 Q2221)11(Q 22222122111 QQQ 2maxmax411QQUUULC )(122 2212舍舍去去负负值值 QQ 1 122 222 QQ 02202 122 :QQ此此时时)(|)(|)(2max2 LLLUUU QUQQU 1 411 2总结以上分析结果可得曲线：ULUC 0UC ULU1QU 1 2UC|max=UL|maxQU 1411|U,1 2112maxC21 QQUQ时时 QU 1411|U,1 1222maxL222 QQUQQ时时 结果：结果：Q值越大，两个峰值越近。值越大，两个峰值越近。Q值越小，两个峰值越远。值越小，两个峰值越远。Q0.707时，才有峰值。时，才有峰值。当当 Q 0.707 时时 UL 和和 UC 都不出现峰值。曲线如图中所示。都不出现峰值。曲线如图中所示。0UC UL U1 2 1Q1，则谐振时在电感和电容中会出现过电流。，则谐振时在电感和电容中会出现过电流。四、并联谐振时电路的功率四、并联谐振时电路的功率 1、有功功率、有功功率 P=ISR 电路呈阻性。电路呈阻性。LCRGCLGIIIIQSCSL 0000 1)()(说明，电路与电源之间无能量交换，但说明，电路与电源之间无能量交换，但L与与C之间有能量交换。之间有能量交换。2、无功功率、无功功率上式中的上式中的Q称为并联谐振电路的品质因数称为并联谐振电路的品质因数 0 Q ,0 1 20C20 CUULQL 0Q Q C LQ谐振曲线可以参照对偶关系按串联谐振曲线获得。谐振曲线可以参照对偶关系按串联谐振曲线获得。常常数数 22000)()()(SCLILQWWW 五、五、R、L、C并联电路的频率特性并联电路的频率特性1、并联电路导纳的频率特性、并联电路导纳的频率特性3、谐振时、谐振时L 和和C 中所储存的磁场能量和电场能量的总和中所储存的磁场能量和电场能量的总和LjCjRY 11 )1(1LCjR )(LCBBjG jeY2222)()1()1(LCBBGLCRY )1(arctanLCR 0YCBLB0 LCBB G 0 2 2 并联电路导纳的频率特性并联电路导纳的频率特性LCBB 0 并联电路电压的谐振曲线并联电路电压的谐振曲线22)1()1()(LCRIU Y00)(U2、并联电路电压的谐振曲线、并联电路电压的谐振曲线00)(U0U0707.0U1 2 RILCRIU 0022U)U(,)1()1()(RI707.00.707U)U()U(021 22,12,12)1()1(21707.0 LCRIRIRI 又又有有)(2)707.0(2020半功率半功率此时电路的有功功率此时电路的有功功率RURUP 22,12,12)1()1(21707.0LCRIRIRI 22,12,12)1()1(121LCRR 22,12,12)1()1(2LCRR 22,12,122)1()1(2LCRR 22,12,12)1(1LCR 22,12,12)1(1LCR )1(12,12,1LCR 12,12,1 LRRC 02,122,1 RLRLC 解方程可得：解方程可得：LCRCRC1)21(2121 LCRCRC1)21(2122 2021 有有关关系系Q1 00012 RCRCBW通通频频带带宽宽,1)21(2121LCRCRC LCRCRC1)21(2122 小小很很多多比比，当当0 BWQ LCQRC142102202 ）又又此此时时：有有（221001BWRC 221002BMRC ，为为频频率率可可变变的的正正弦弦电电流流电电路路中中已已知知例例i:212 1.5mAIF,10C0.25mH,L,2kR？）（试试求求：Q 1 0?BW 2 21？）（下下电电路路吸吸收收的的功功率率。、在在）（3 021 IU+_jCGLj1SILICIGIsradLC/102101025.01114530 ）解解：（400101021025340 RCQ sradQBW/50400102 )2(40 sradBW/199752501022401 sradBW/200252501022402 此此时时电电路路吸吸收收的的功功率率为为，中中的的电电流流为为谐谐振振时时 )3(IRWRIP33232105.4102)105.1(WPRURUUIUPP320002,12,11025.2222.221 的的条条件件分分析析电电路路发发生生并并联联谐谐振振试试电电路路如如图图所所示示。已已知知例例:312 IU+_CLRLICI第一步：首先判断电路将有可能第一步：首先判断电路将有可能 发生并联谐振。发生并联谐振。第二步：推出发生并联谐振的条件。第二步：推出发生并联谐振的条件。CjLjRUIjY 1)(CjLRLjR 22)(CjLRLjLRR 2222)()(发生并联谐振时复导纳为纯电导：发生并联谐振时复导纳为纯电导：0)(22 CLRL LCRLCCLCRL222011 可见，可见，振振。为为实实数数电电路路发发生生并并联联谐谐时时即即02 01 CLRLCR 谐谐振振。为为虚虚数数电电路路不不可可能能发发生生时时如如果果0 CLR 令其虚部为零，即令其虚部为零，即LCRLRRjY 2020)()(第三步、画出电路发生并联谐振时的相量图：第三步、画出电路发生并联谐振时的相量图：选选IU+_CLRLICI为为参参考考相相量量UUCILII 103 串并联电路谐振的判别及电路谐振频率的求法串并联电路谐振的判别及电路谐振频率的求法 一、当电路中，一、当电路中，L与与C是串联是串联，则只有可能发生串联谐振。，则只有可能发生串联谐振。谐振的条件可令：谐振的条件可令：0 0)(Im 求求出出谐谐振振频频率率 jZ二、当电路中，二、当电路中，L与与C是并联，则只有可能发生并联是并联，则只有可能发生并联 谐振。谐振。谐振的条件可令：谐振的条件可令：0 0)(Im 求求出出谐谐振振频频率率 jY三、当电路中，三、当电路中，L与与C即有并联又有串联即有并联又有串联，则有：，则有：第一种情况如图所示：第一种情况如图所示：IU+_C1L1L2Z(j)Y1(j)Z1(j)0)(Im(1 111111 jYCLCL令令发发生生并并联联谐谐振振 )(,)(,0)(Y,11 jZjZj此此时时的的频频率率特特性性画画出出)(jZ1 111111111C1LCLCj1LjLjCj1)(jZ j01)(1 jZ感性感性容性容性阻性阻性,C 1:111 L时时当当11111C1LL)(jZ C,11呈呈感感性性并并联联CL。整整个个电电路路不不会会发发生生谐谐振振 )(L j)(12 jZjZ IU+_C1L1L2Z(j)Y1(j)Z1(j);,C 1:11111呈呈容容性性并并联联时时当当CLL 联联谐谐振振。整整个个电电路路有有可可能能发发生生串串 0 0,)(Im 可可求求出出如如令令 jZ01)(1 jZ感性感性容性容性阻性阻性第二种情况如图所示：第二种情况如图所示：IU+_C1L1C2Z(j)Y1(j)Z1(j),1 11111发发生生并并联联谐谐振振当当CLCL 情情况况与与前前面面完完全全相相同同 IU+_C1L1C2Z(j)Y1(j)Z1(j)呈呈感感性性。时时当当111,:CL 联联谐谐振振整整个个电电路路有有可可能能发发生生串串 0,0)(Im 可可求求出出令令 jZ)(C 1)(Z12 jZjj 总总电电路路不不会会再再发发生生谐谐振振呈呈容容性性时时当当,:1,11CL ISU+_CLZZeqR1R210电电路路如如图图所所示示例例 312 F,10,1000,1.10:21 CRR已已知知VUsradS100,/10 30?U ,?:10 L电电路路发发生生谐谐振振时时的的求求ISU+_CLZZeqR1R210C 1C 1RL 221 jRjjRZ 222221)C 1(R)C 1(C Rj L R jRj2222222222221 1RC RjL 1R CjCRCR 有有可可能能发发生生串串联联谐谐振振是是串串联联与与由由图图可可知知解解,:CL:,0Im0的表达式的表达式求出求出可令可令 Z22022022 01R CCRL 2326236232322022202210)1010(11010101010 1 CRCRL mH9910101010101101010 465666 ISU+_CLZZeqR1R210:电路发生谐振时电路发生谐振时22022220210 1)(CRCRRZ 209.9 10.1 10101010.110110101010.1 101011010)1010(1010.146746432523623263 999.9 1R 1 1/Z020202eqjCjCjRCjR ISU+_CLZZeqR1R210:0100 SU设设AZUIS0520/0100)(/0 )999.9(0510jZIUeq Vj29.845.4974955.49 SUR 101U ,且且无无关关谐谐振振频频率率与与可可见见
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