量子力学：06-算符的运算规则

1作业题作业题zyxpkpjpiipir证明：动量表象当中rdrrrr3*)()(坐标表象中坐标平均值计算公式为：根据傅立叶变换可得：pdrpipr3exp)()2(1)(23取复共轭后代入 有：r2作业题作业题prddrrrpipr33*)(exp)()2(123prddrrpipip33*)(exp)()2(123pdrdrpirpip33*exp)()2(1)()(23pdppip3*)()()()(zyxpkpjpiipir3量子力学的基本假设1、微观粒子的状态由波函数 描写。波函数的模方 表示 t 时刻粒子出现在空间点(x,y,z)附近的概率。2、力学量用算符表示。3、波函数的运动满足薛定谔方程力学量的力学量的本征值概率及平均值假定本征值概率及平均值假定。),(tr2|),(|tr2222(,)()(,)(,),2(,)2ir tVr tHr ttmHV r tm 哈密顿算符4量子力学量子力学第六讲第六讲 算符的运算规则算符的运算规则 厄密算符厄密算符5第第6讲目录讲目录一一、算符引入的回顾算符引入的回顾二二、力学量在坐标表象下算符的形式力学量在坐标表象下算符的形式三、三、算符的运算规则算符的运算规则四、四、算符的对易关系算符的对易关系五、五、厄密算符厄密算符例题例题 6一一、算符引入的回顾算符引入的回顾为了在坐标表象中计算动量的平均值为了在坐标表象中计算动量的平均值引入了动量算符引入了动量算符从而，动量平均值可以表示为从而，动量平均值可以表示为pdpppp3*)()(rdrir3*)()(rdrprp3*)()()(yyxeyeyexiip7二二、力学量在坐标表象下算符的形式力学量在坐标表象下算符的形式动能动能 ，动能算符，动能算符动能平均值动能平均值角动量角动量 ，角动量算符，角动量算符角动量平均值角动量平均值mpT2/2222mTprlprlrdrTrT3*)()(rdrlrl3*)()(2222222zyx8第三章第三章力学量用力学量用算符算符表示表示operator表示力学量算符的性质表示力学量算符的性质（1）一般运算规则）一般运算规则：一个力学量如以算符：一个力学量如以算符表示。它是一种对波函数的运算表示。它是一种对波函数的运算代表一个变换，是将空间分布的几率振幅从代表一个变换，是将空间分布的几率振幅从 O)z,y,x()z,y,x(O )z,y,x()z,y,x(O 9动量算符由于态叠加原理，所以在量子力学中的算由于态叠加原理，所以在量子力学中的算符应是线性算符。符应是线性算符。线性算符线性算符?量子力学中表示可观测力学量的算符都是量子力学中表示可观测力学量的算符都是线性厄米算符线性厄米算符;:()()()()()()()()()cos()cos()cos()sin()sin()sin()PPxxPxxxPxxxxPxxxPxxx 定义空间反演算符 为如果或，称具有确定的偶宇称或奇宇称，如偶宇称奇宇称注意：一般的函数没有确定的宇称 ip 10 Oc)c(O22112211OcOc)cc(O 1 2 2211cc Hti例例22112211tictic)cc(ti 2211HcHc 是线性算符是线性算符仅当仅当H)cc(H2211 11三、算符的运算规则三、算符的运算规则（1）1、线性算符线性算符则称则称 为线性算符，如为线性算符，如2、单位算符单位算符则称则称 为单位算符，并记为为单位算符，并记为 。如果。对算符常数并且、波函数,2121Acc22112211)(AcAcccAAA,如果对算符AAIA xipx12三、三、算符的运算规则算符的运算规则（2）3、算符相等算符相等4、算符之和算符之和5、交换律和结合律交换律和结合律之和与为算符则称如果和对算符BABABABABA,)(,满足结合律和、（，若满足交换律和若CBACBACBABAABBA,)()()(,BABABA,记为则称两个算符相等，如果和对算符13三、算符的运算规则三、算符的运算规则（3）6、算符之积算符之积一般说来，算符之积不满足交换律，即一般说来，算符之积不满足交换律，即由此导致量子力学中的一个基本问题：由此导致量子力学中的一个基本问题：对易关系对易关系之积与为算符则称如果和对BABABABABA),()(,ABBA14四、算符的对易关系四、算符的对易关系（1）1、对易式对易式通常情况下，通常情况下，2、坐标动量对易关系坐标动量对易关系最基的本对易关系最基的本对易关系ABBABABA,设和0,BAxxipxxx,为例，以.,zyxip已知动量算符为xxiixxixpx)(ipxixppxxxx,)(15四、四、算符的对易关系算符的对易关系（2）同理同理 ，但是，但是，归纳起来，得到，归纳起来，得到，ipyy,ipzz,0,0)()(yyypxyyxixppx即,0,iipzyx,最基本的对易关系式，记住！最基本的对易关系式，记住！16四、四、算符的对易关系算符的对易关系（3）3、角动量的对易式角动量的对易式（1）)(,),(),(,)(,xyyxipypxlzyxzxxzipxpzlyzzyipzpylelelellezeyexrezeyexiipprlprlxyzzxyyzxzzyyxxzyxzyx关系来记忆的右手螺旋用在直角坐标下，角动量算符角动量17四、四、算符的对易关系算符的对易关系（4）3、角动量的对易式角动量的对易式（2）ziylziylziyyzyzyziyyzyyziyzzyyyyzzyil yylyll xxlxlyzzyilxxxxxxxxx,)()()()(,0)(,),(18四、四、算符的对易关系算符的对易关系（5）3、角动量的对易式角动量的对易式（3）不难验证（用不难验证（用x,y,z的的右手螺旋关系来记忆）右手螺旋关系来记忆）,0,0,0,0,0,0,zyxyzyxzxzyyyzxyyzxzyxxxyzzyyyxxxplpiplpiplpiplplpiplpiplpiplplzlxiylyixlxizlylzixlyizlziylxl19四、四、算符的对易关系算符的对易关系（6）3、角动量的对易式角动量的对易式（4）的右手螺旋关系来记忆亦可用用类似的方法可以证明zyxlilllilllillllllllyxzxzyzyxzzyyxx,0,0,0,0,0,0,2222222zyxzyxllllllllll有令20四、算符的对易关系四、算符的对易关系（7）4、对易恒等式对易恒等式,ABBAABBAABABBABA交换律,CABACBA同理可证,CABCBACBABCACBACBA,0,BACACBCBA21五、五、厄密算符厄密算符（1）1、逆算符逆算符已知已知 ，若存在唯一的，若存在唯一的 ，使得使得则可将则可将 表示为表示为 ，其中，其中 和波函数算符AA1 A的逆算符称为算符算符AA10,111AAIAAAA111)(ABBA22五、厄密算符五、厄密算符（2）2、转置算符转置算符动量算符动量算符*AdBd若有和,的转置算符。为则称AAB*AdAd即，,xipx)()(*xxxpdxpdxxdxixdxixdxipdx的条件注意用到了所以，0)(,|.xxppxxABCBACBA,则设和束缚态条件束缚态条件*,AB*,AA23五、五、厄密算符厄密算符（3）3、复共轭算符复共轭算符4、厄密共轭算符厄密共轭算符的共轭算符为称AAA,*xxxpxixipxip)(,*则如。即记为的厄密共轭算符称为的复共轭转置算符则*,AAAAAAA*xxpp 如ABBABA)(,则和24五、五、厄密算符厄密算符（4）5、厄密算符厄密算符或自共轭算符。为厄密算符则称若,AAAA就是厄密算符。则若也就是说，AAAA,*等都是厄密算符。可以证明，)(,xVlpxx,xipx如xxxxpppp,*已知xxxxxxpppppp,)(*即所以25五、五、厄密算符厄密算符（5）6、厄密算符的平均值厄密算符的平均值(1)定理：厄密算符的平均值为实数。定理：厄密算符的平均值为实数。证：证：是实数。所以则，即，若和AAAArdrArrdrArrdrArrdrArAAAAArA,)()()()()()()()()(*3*3*3*3*AdAd26五、五、厄密算符厄密算符（6）6、厄密算符的平均值厄密算符的平均值(2)推论：厄密算符平方的平均值大于等于零推论：厄密算符平方的平均值大于等于零算符。而，它们应该都是厄密均值都应该是实数，因的平此，它们在任何状态下实验上的可观察量，因它们都是等都是厄密算符？因为为什么)(,xVlpxx*2*23*3*3*323()()|0ArAAAAAAd rAA d rA Ad rA Ad rAd r和，若，即则*AdAd27例例1：设势场为：设势场为证明阱口刚好出现一个束缚态能级证明阱口刚好出现一个束缚态能级（即（即 ）的条件为）的条件为 其中，其中，证明：当证明：当 时时，能量本征值方程为，能量本征值方程为 解得解得 当当 时，能量本征值方程为时，能量本征值方程为 由束缚态条件由束缚态条件 解得解得 axxa,0,Vx0 0,V(x)00VE./2k0mE,k0na,3,2,1n0 x 0)()(2)(02xVEmx0)(x0)(2)(2xEmx()AcoskxBsinkx (1)x(2)Ce)(xx/)(20EVm/2mEk a x028当当 时，能量本征值方程为时，能量本征值方程为由束缚态条件由束缚态条件 解得解得因为阱口刚好出现一个束缚态，即因为阱口刚好出现一个束缚态，即所以所以 时时 时时根据根据 ，在在 和和 连续，可知连续，可知势阱刚好出现束缚态的条件为势阱刚好出现束缚态的条件为ax0)()(2)(02xVEmx0)(x(3)De)(xx0VE 0,/2/200mVkmEk0 x axCx)(Dx)()(x()x0 x ax,3,2,1,0nnak0sincos00000akAkDakABkAC0sin,00akB