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问题的提出问题的提出方向导数的定义方向导数的定义梯度的概念梯度的概念实例实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的问题的实质实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即负梯度方向）爬行向（即负梯度方向）爬行一、问题的提出一、问题的提出 讨论函数讨论函数 在一点在一点P沿某一方向沿某一方向的变化率问题的变化率问题),(yxfz oyxlP xyP引射线引射线内有定义，自点内有定义，自点的某一邻域的某一邻域在点在点设函数设函数lPPUyxPyxfz)(),(),().(),(,pUPlyyxxPlx 上的另一点且上的另一点且为为并设并设为为的转角的转角轴正向到射线轴正向到射线设设（如图）（如图）二、方向导数的定义二、方向导数的定义1.1.定义定义|PP,)()(22yx ),(),(yxfyyxxfz 且且当当 沿着沿着 趋于趋于 时，时，P Pl存在存在若若 ),(),(lim0yxfyyxxf ,:z 平均变化率平均变化率定义定义 这极限为函数在点这极限为函数在点P 沿方向沿方向l 的方向导数的方向导数.),(),(lim0 yxfyyxxflf 记为记为.),(),(lim0 yxfyyxxflf 0),(),(,0 yxfyyxxflf则则若若.),(增增加加的的函函数数值值沿沿着着方方向向则则lyxf0),(),(yxfyyxxf即即注1注2时时当当时时当当时时当当时时当当存存在在时时、由由定定义义知知，当当1,0)(0,1)(1,0)(0,1)(,)()(0000000000 lMflflMflflMflflMflfMfMfyMxMyMxMyx。0 。90 。180 。270 系系偏偏导导数数与与方方向向导导数数的的关关偏导数存在偏导数存在 各个方向的方向导数存在各个方向的方向导数存在例如例如,函数函数 0,00,),(222222yxyxyxxyyxf,.)tan1(tanlim)0,0()0,0(lim2/3200不不存存在在但但xfyxfx 各个各个 方向的方向导数存在方向的方向导数存在 偏导数存在偏导数存在xfxfxzx )0,0()0,(lim0)0,0(.|lim0 xxx 同理：同理：)0,0(yz yyy|lim0故两个偏导数均不存在故两个偏导数均不存在.且且有有导导数数都都存存在在的的方方向向方方向向那那么么函函数数在在该该点点沿沿任任意意处处可可微微在在点点设设,),(),(lyxMyxfz.:cos,cos.:,轴轴的的方方向向余余弦弦轴轴和和关关于于方方向向轴轴的的方方向向角角轴轴和和关关于于方方向向yxlyxl 2.2.方向导数的存在性与计算方向导数的存在性与计算定理定理)1(sincoscoscos yfxfyfxflf证明证明由于函数可微，则增量可表示为由于函数可微，则增量可表示为)(),(),(oyyfxxfyxfyyxxf 两边同除以两边同除以,得到得到cos cos )(),(),(oyyfxxfyxfyyxxf 故有方向导数故有方向导数 ),(),(lim0yxfyyxxf .sincoscoscos yfxfyfxf lf)1,1(26,lzlyxz ，求求的的极极角角为为设设,0)1,1(lz由由于于例例1 解解1,22)1,1(2)1,1()1,1()1,1(xzxyzyx）得）得由公式（由公式（1232.2212326sin6cos)1,1()1,1()1,1(yxzzlz)1,1(lz 为为是是增增加加的的，其其增增长长率率即即方向方向沿沿在点在点lyxz)1,1(2 例例 2 2 求函数求函数22),(yxyxyxf 在点（在点（1，1）沿与沿与x轴方向夹角为轴方向夹角为 的方向射线的方向射线l的方向导数的方向导数.并并问在怎样的方向上此方向导问在怎样的方向上此方向导 数有数有 （1）最大值最大值；（2）最小值最小值；（3）等于零等于零？解解 sin)1,1(cos)1,1()1,1(yxfflf 由方向导数的计算公式知由方向导数的计算公式知,sin)2(cos)2()1,1()1,1(xyyx sincos),4sin(2 故故（1）当）当4 时，时，方方向向导导数数达达到到最最大大值值2;（2）当当45 时时，方方向向导导数数达达到到最最小小值值2;（3）当）当43 和和47 时，时，方向导数等于方向导数等于 0.的的方方向向导导数数。方方向向沿沿在在点点设设2,1)0,0(),2sin(lyxxyz例例3 解解2)2cos(2,1)2cos()0,0()0,0()0,0()0,0(yxxzyxyzyx）得）得由公式（由公式（155225115251)0,0()0,0()0,0(yxzzlz,),(),(lim0 zyxfzzyyxxflf 3.推广可得三元函数方向导数的定义推广可得三元函数方向导数的定义（其中其中222)()()(zyx ）.coscoscos zfyfxflf ,cos x,cos y,cos z例例 4 4 设设n是曲面是曲面632222 zyx 在点在点),1,1(P处的指向外侧的法向量，求函数处的指向外侧的法向量，求函数2122)86(1yxzu 在此处沿方向在此处沿方向 n的方向的方向导数导数.解解令令,632),(222 zyxzyxF,44 PPxxF,66 PPyyF,22 PPzzF故故 zyxFFFn ,2,6,4,142264222 n方向余弦为方向余弦为1,142cos ,143cos .141cos PPyxzxxu22866 ;146 PPyxzyyu22868 ;148 PPzyxzu22286 .14 PPzuyuxunu)coscoscos(.711 故故定义定义 设函数设函数),(yxfz 在平面区域在平面区域D内具有一内具有一阶连续偏导数，则对于每一点阶连续偏导数，则对于每一点DyxP),(，都可，都可定出一个向量定出一个向量jyfixf ，这向量称为函数，这向量称为函数),(yxfz 在点在点),(yxP的梯度，记为的梯度，记为 ),(yxgradfjyfixf .?:最快最快沿哪一方向增加的速度沿哪一方向增加的速度函数在点函数在点问题问题P三、梯度的概念三、梯度的概念),cos(cos,cos,coscoslgradflgradflgradfyfxfyfxflfM gradflfgradflfM 是是最最小小：时时，当当是是最最大大：时时，当当 ;0),(lgradf 记记)(cosgradfprjgradfl 由方向导数公式知由方向导数公式知 结论结论.:),(22方向一致方向一致与取得最大方向导数的与取得最大方向导数的方向方向即即方向导数的最大值方向导数的最大值大小大小的梯度是一个向量的梯度是一个向量在点在点yxffgradfMyxf 当当xf 不不为为零零时时，x轴轴到到梯梯度度的的转转角角的的正正切切为为xfyf tan结论结论22),(yxffgradfMyxf 最大。最大值为最大。最大值为数数处沿梯度方向的方向导处沿梯度方向的方向导在点在点22),(yxffgradfMyxf 最小。最小值为最小。最小值为导数导数处沿负梯度方向的方向处沿负梯度方向的方向在点在点。方向导数为方向导数为向的向的处沿与梯度方向垂直方处沿与梯度方向垂直方在点在点0),(Myxf 三元函数三元函数),(zyxfu 在空间区域在空间区域 G 内具有内具有一阶连续偏导数，则对于每一点一阶连续偏导数，则对于每一点GzyxP),(，都可定义一个向量都可定义一个向量(梯度梯度).),(kzfjyfixfzyxgradf 类似于二元函数，此梯度也是一个向量，类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值为方向导数的最大值.2 梯度的概念可以推广到三元函数梯度的概念可以推广到三元函数例例 5 5 求求函函数数 yxzyxu2332222 在在点点 )2,1,1(处处的的梯梯度度，并并问问在在 哪哪些些点点处处梯梯度度为为零零？解解 由梯度计算公式得由梯度计算公式得kzujyuixuzyxgradu ),(,6)24()32(kzjyix 故故.1225)2,1,1(kjigradu 在在)0,21,23(0 P处梯度为处梯度为 0.),(yxfz 在几何上在几何上 表示一个曲面表示一个曲面曲面被平面曲面被平面 所截得所截得cz ,),(czyxfz所得曲线在所得曲线在xoy面上投影如图面上投影如图oyx2),(cyxf1),(cyxfcyxf),(等高线等高线),(yxgradf梯度为等高线上的法向量梯度为等高线上的法向量P3 梯度与等高线的关系：梯度与等高线的关系：等高线的画法等高线的画法播放播放图形及其等高线图形图形及其等高线图形函数函数xyzsin 例如例如,梯度与等高线的关系：梯度与等高线的关系：向导数向导数的方的方于函数在这个法线方向于函数在这个法线方向模等模等高的等高线，而梯度的高的等高线，而梯度的值较值较值较低的等高线指向数值较低的等高线指向数从数从数线的一个方向相同，且线的一个方向相同，且在这点的法在这点的法高线高线的等的等的梯度的方向与点的梯度的方向与点在点在点函数函数cyxfPyxPyxfz ),(),(),(类似地类似地,设曲面设曲面czyxf),(为函数为函数),(zyxfu 的等量面，此函数在点的等量面，此函数在点),(zyxP的梯度的方向与的梯度的方向与过点过点 P的等量面的等量面czyxf),(在这点的法线的一在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数向的方向导数.1、方向导数的概念、方向导数的概念2、梯度的概念、梯度的概念3、方向导数与梯度的关系、方向导数与梯度的关系（注意方向导数与一般所说偏导数的（注意方向导数与一般所说偏导数的区别区别）（注意梯度是一个（注意梯度是一个向量向量）小结.),(最快的方向最快的方向在这点增长在这点增长梯度的方向就是函数梯度的方向就是函数yxf
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