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第二章第二章 一维随机变量及其分布一维随机变量及其分布第一节 随机变量第二节 离散型随机变量及其分布律第三节 随机变量的分布函数第四节 连续型随机变量及其概率密度第五节 随机变量的函数的分布v许多事件的概率不能用等可能概型许多事件的概率不能用等可能概型的计算公式，应该如何计算呢？的计算公式，应该如何计算呢？E6在一批灯泡中任取一只，测试其寿命在一批灯泡中任取一只，测试其寿命v只利用了初等数学的知识，如何把只利用了初等数学的知识，如何把微积分这些工具引入到这门课程呢？微积分这些工具引入到这门课程呢？例例1 将一枚硬币抛掷将一枚硬币抛掷3次次.以以X记三次抛掷中出现记三次抛掷中出现H的总数的总数,则对样本空间则对样本空间S=e中的每一个样本点中的每一个样本点e,X都有一个数与之对应都有一个数与之对应,即有即有样样本本点点HHH HHT HTH THH HTT THTTTHTTTX的的值值322211101 随机变量定义定义 设设X X(e e )是定义在样本空间是定义在样本空间S S上的实上的实值函数，称值函数，称X X(e )为随机变量为随机变量.随机变量通常用大写字母随机变量通常用大写字母X，Y，Z，W，.等等表示表示S1e2e3ex例例1 将一枚硬币抛掷将一枚硬币抛掷3次次.以以X记三次抛掷中出现记三次抛掷中出现H的次数的次数,则对样本空间则对样本空间S=e中的每一个样本点中的每一个样本点e,X都有一个数与之对应都有一个数与之对应,即有即有样样本本点点HHH HHT HTH THH HTT THTTTHTTTX的的值值32221110例例1 1 一射手对目标进行射击，击中目标记为一射手对目标进行射击，击中目标记为1分，分，未中目标记为未中目标记为0分分.设设X表示该射手在一次射击中的得表示该射手在一次射击中的得分，它是一个随机变量，可以表示为分，它是一个随机变量，可以表示为.,0,1未中击中；X例例2 2 观察一个电话交换台在一段时间（观察一个电话交换台在一段时间（0，T）内接）内接到的呼叫次数到的呼叫次数如果用如果用X表示呼叫次数，表示呼叫次数，那么那么 表示一随机事件，表示一随机事件，显然显然 也表示一随机事件也表示一随机事件),2,1,0(kkX),2,1,0(kkX 有些随机变量有些随机变量,它全部可能取到的值它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个是有限个或可列无限多个,这种随机变量这种随机变量称为称为离散型随机变量离散型随机变量.2 离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律 记记X为掷骰子出现的点数为掷骰子出现的点数;记记Y为灯泡的寿命为灯泡的寿命;要掌握一个离散型随机变量要掌握一个离散型随机变量X的统计规律的统计规律,必须且只需知道必须且只需知道X的所有可能取的值及取每的所有可能取的值及取每一个可能值的概率一个可能值的概率.设设X所有可能取的值为所有可能取的值为xk(k=1,2,.),而而PX=xk=pk,k=1,2,.(2.1)pk满足如下两个条件满足如下两个条件)3.2(.1,2)2.2(;,2,1,0,11kkkpkp称称(2.1)式式为离散型随机变量为离散型随机变量X的分布律的分布律.分布律也可用表格的形式来表示分布律也可用表格的形式来表示:Xx1x2.xn.pkp1p2.pn.(2.4)v掷一颗均匀的骰子出现的点数掷一颗均匀的骰子出现的点数X为为一个离散型随机变量，其分布律为一个离散型随机变量，其分布律为vP(X=k)=1/6 k=1,2,6X123456pk1/61/61/61/61/61/6例例1 设一汽车在开往目的地的道路上需经过设一汽车在开往目的地的道路上需经过四组信号灯四组信号灯,每组信号灯以每组信号灯以p=1/2概率禁止汽概率禁止汽车通过车通过.以以X表示汽车首次停下时表示汽车首次停下时,它已通过它已通过的信号灯组数的信号灯组数(设各组信号灯的工作是相互独设各组信号灯的工作是相互独立的立的),求求X的分布律的分布律.PX=k=(1-p)kp,k=0,1,2,3,PX=4=(1-p)4.X 01234pkp(1-p)p(1-p)2p(1-p)3p(1-p)4列表法列表法列式法列式法v课堂练习课堂练习 P55第第2题（题（1）(一一)(0-1)分布分布 设随机变量设随机变量X只可能取只可能取0与与1 两个值两个值,它的分布律是它的分布律是 P(X=k)=pk(1-p)1-k,k=0,1(0p0是常数是常数.则称则称X服从参数为服从参数为 的泊松分的泊松分布布,记为记为Xp p().泊松分布的背景及应用泊松分布的背景及应用二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时,他他们做了们做了2608次观察次观察(每次时间为每次时间为7.5秒秒)发现放射发现放射性物质在规定的一段时间内性物质在规定的一段时间内,其放射的粒子数其放射的粒子数X 服从泊松分布服从泊松分布.电话呼唤次数电话呼唤次数交通事故次数交通事故次数商场接待的顾客数商场接待的顾客数地震地震火山爆发火山爆发特大洪水特大洪水泊松定理泊松定理 设设 0是一个常数是一个常数,n是任意正是任意正整数整数,设设npn=,则对于任一固定的非负则对于任一固定的非负整数整数k,有有24上述定理表明当上述定理表明当n很大很大,p很小很小(np=)时时有以下近似式有以下近似式例例5 计算机硬件公司制造某种特殊计算机硬件公司制造某种特殊型号的微型芯片型号的微型芯片,次品率达次品率达1%,各芯各芯片成为次品相互独立片成为次品相互独立.求在求在1000只产只产品中至少有品中至少有2只次品的概率只次品的概率.以以X记产品中的次品数记产品中的次品数,Xb(1000,0.001).25v分布律用来描述离散型随机变量分布律用来描述离散型随机变量的统计规律，那么对于非离散型的统计规律，那么对于非离散型随机变量呢？随机变量呢？v关注随机变量落在某个区间的概关注随机变量落在某个区间的概率，如何更方便地求出？率，如何更方便地求出？定义定义 设设X是一个随机变量是一个随机变量,x是是任意实数任意实数.函数函数F(x)=PX x,称为称为X的分布函数的分布函数.3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数分布函数分布函数F(x)具有以下的基本性质具有以下的基本性质:1.F(x)是一个不减函数是一个不减函数.1)(lim)(,0)(lim)(-xFFxFFxx 3.F(x+0)=F(x),即即F(x)是右连续的是右连续的.2.0 F(x)1,且且xX例例1 设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为X-123pk1/41/21/4求求X的分布函数。的分布函数。结果结果432141,1时当-x,21时当-x)(xXPxFx-12)(xXPxF1-XP;41xxiip)(xXPxFxxiip1-XP2XP;0,32时当 x3,3时当x)(xXPxFx-123xxiip1-XP2XP3XP1212141-.3,132,4/3,21,4/1,1,0)(xxxxxF-1O123x1 F(x)一般一般,设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布律为的分布律为PX=xk=pk,k=1,2,.则则X的分布函数为的分布函数为)2.3(,)(,)(xxkxxkkkpxFxXPxXPxF即 分布函数分布函数F(x)在在x=xk(k=1,2,.)处有跳处有跳跃跃,其跳跃值为其跳跃值为pk=PX=xk.例例2 一个靶子是半径为一个靶子是半径为2米的圆盘米的圆盘,设击设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比圆盘的面积成正比,并设射击都能中靶并设射击都能中靶,以以X表示弹着点与圆心的距离表示弹着点与圆心的距离.试求随机试求随机变量变量X的分布函数的分布函数.2,1,20,4/,0,0)(2xxxxxF.2,1,20,4/,0,0)(2xxxxxFx1231/21OF(x)容易看到本例中的分布函数容易看到本例中的分布函数F(x)对于任意对于任意x可可以写成形式以写成形式,d)()(-xttfxF.,0,20,2)(其它tttf F(x)是非负函数是非负函数f(t)在区间在区间(-,x上的积分上的积分,在这种情况下我们称在这种情况下我们称X为连续型随机变量为连续型随机变量.其中其中 如果对于随机变量如果对于随机变量X的分布函数的分布函数F(x),存在存在非负函数非负函数f(x),使对于任意实数使对于任意实数x有有)1.4(d)()(-xttfxF 则称则称X为连续型随机变量为连续型随机变量,其中函数其中函数f(x)称称为为X的的概率密度函数概率密度函数,简称简称概率密度概率密度.4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度由定义知道由定义知道,概率密度概率密度f(x)具有以下性质具有以下性质:;0)()1(xf;1d)()2(-xxf这两条性质是判定一个这两条性质是判定一个函数函数 f(x)是否为是否为概率密度的充要条件概率密度的充要条件)2.4(.)(lim)()(lim)(00 xxxXxPxxFxxFxfxx-例1 设随机变量X具有概率密度.271)3();()2(;)1(.,0,43,22,30,)(-XPxFXkxxxkxxf求的分布函数求确定常数其它 f(x)的曲线形状如图所示Ox341/2f(x)x/622x-xx(2)X的分布函数为的分布函数为-.4,1,43,423,30,12,0,0)(22xxxxxxxxF注意注意 对于任意可能值对于任意可能值 a,连续型随机变量取连续型随机变量取 a 的概率等于零的概率等于零.即即.0 aXP由此可得由此可得连续型随机变量取值落在某一连续型随机变量取值落在某一区间的概率与区间的开闭无关区间的概率与区间的开闭无关bXaP bXaP bXaP .bXaP 第二章第二章 一维随机变量及其分布一维随机变量及其分布第一节 随机变量第二节 离散型随机变量及其分布律第三节 随机变量的分布函数第四节 连续型随机变量及其概率密度第五节 随机变量的函数的分布10月月18日要交作业日要交作业v55页起页起 2（1）16 17（1）(一一)均匀分布均匀分布 设连续型随机变量设连续型随机变量X具有概率密度具有概率密度)5.4(,0,1)(-其它bxaabxf 则称则称X在区间在区间(a,b)上服从上服从均匀分布均匀分布,记为记为XU(a,b).ab-1af(x)b由(4.1)式得X的分布函数为)6.4(.,1,0)(-bxbxaabaxaxxFOab1F(x)x(二)指数分布 设连续型随机变量X的概率密度为)7.4(,0,0,e1)(/-其它xxfx 其中0为常数,则称X服从参数为的指数分布.)8.4(.,0,0,e1)(/-其它xxFxX的分布函数为f(x)的图形:Oxf(x)123123=1/3=1=2 X服从指数分布,则任给s,t0,有 PXs+t|X s=PX t(4.9)性质性质(4.9)称为无记忆性称为无记忆性.).,(,)0(,e21)(22)(22NXXxxfXx记为记为的正态分布或高斯分布的正态分布或高斯分布服从参数为服从参数为则称则称为常数为常数其中其中的概率密度为的概率密度为设连续型随机变量设连续型随机变量定义定义 -3.正态分布正态分布(或高斯分布或高斯分布)Om mxf(x)22()21()e,(4.10)2xf xxmp-Om mm m1 1xf(x)固定固定，改变，改变m m0.2660.3990.798m mxO 1.5 1.0 0.5由(4.10)式得X的分布函数为)12.4(,de21)(222)(-xttxFm1F(x)0.5xOm.d21)(21)(2/2/22texxexxtx-pp，称称 N(0,1)为标准正态分布，其为标准正态分布，其密度函数密度函数和分布函数常分别用和分布函数常分别用 来来表示。表示。xx和)(书末书末P382P382附有标准正态分布函数数值表，附有标准正态分布函数数值表，.d21)(2/2texxt-px-x)(x)(1)(xx-).1,0(),(2NXZNX-则则若若引引理理m m-3 m m-2 m m-m m m m 2 m m 3 68.26%95.44%99.74%【例【例 6】由(x)的对称性知z1-=-zz 设XN(0,1),若z满足条件PXza=a,0a1,(4.18)则称点z为标准正态分布的上分位点.问题的提出问题的提出 在实际中，有时对随机变量的函数更感兴趣。在实际中，有时对随机变量的函数更感兴趣。2.4 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布4/2dAp测量圆轴截面直径测量圆轴截面直径 d，关心截面面积关心截面面积问题问题：已知随机变量已知随机变量 X 的概率分布，的概率分布，如何求如何求Y=g(X)(设设 g 是连续函数是连续函数)的的概率概率分布分布？2.4.1 离散型随机变量离散型随机变量函数的分布函数的分布例例1 1：设随机变量设随机变量 X 有如下概率分布：有如下概率分布：求求 Y=(X 1)2 的概率分布。的概率分布。分布律分布律离散型随机变量的函数的分布离散型随机变量的函数的分布的分布律为，若也是离散型随机变量时函数是离散型随机变量、其如果XXgYX)(Xkpkxxx21kppp21的分布律为的分布律为则则)(XgY kp)(XgY kppp21)()()(21kxgxgxg.,)(合并合并应将相应的应将相应的中有值相同的中有值相同的若若kkpxg.82.,0,40,8)(的的概概率率密密度度求求随随机机变变量量其其他他的的概概率率密密度度为为设设随随机机变变量量 XYxxxfXX例例2例例3：设设 随机变量随机变量X 具有概率密度具有概率密度 fX(x)，求求Y=X2的密度的密度。.)()()(),(的反函数是其中xgyhgg-.,0,),()()(,)(,0)(,)(,),(1其他其概率密度为是连续型随机变量则称且恒有处处可导又设函数其中的具有概率密度设随机变量定理yyhyhfyfXgYxgxgxxfXXYX.)()()(),(的反函数是其中xgyhgg-.,0,)()()(,)(,0)(,)(,),(2其他其概率密度为是连续型随机变量则称且恒有处处可导又设函数其中的具有概率密度设随机变量定理yyhyhfyfXgYxgxgxxfXXYX.)()(),(),(max(),(),(min(的的反反函函数数是是其其中中xgyhgggg -.,0,)()()(,)(,)0)(0)(,)(,),(其他其概率密度为随机变量是连续型则称或恒有且恒有处处可导又设函数其中的具有概率密度定理设随机变量yyhyhfyfXgYxgxgxgxxfXXYX2(,),(0).XN XYaXb a设随机变量试证明的线性函数也服从正态分布例例4m-ba,1)2)(,(abaNbaXY得)1,0(NXYm-得n作业作业(10月月25日日 星期二交星期二交)n57页页 20;21(1);26;34n思考题：思考题：31；35
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