电路理论基础：第6章 一阶电路分析

6.1 6.1 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应6.2 6.2 恒定电源作用下一阶电路的零状态响应恒定电源作用下一阶电路的零状态响应6.3 6.3 恒定电源作用下一阶电路的全响应和叠加恒定电源作用下一阶电路的全响应和叠加定理定理6.4 6.4 复杂一阶电路的分析方法复杂一阶电路的分析方法(*)6.5 6.5 阶跃函数和阶跃响应阶跃函数和阶跃响应第六章第六章 一阶电路分析一阶电路分析1.1.一阶电路的零输入响应、零状态响应和一阶电路的零输入响应、零状态响应和 全响应求解；全响应求解；l 重点重点 (*)3.)3.一阶电路的阶跃响应和冲激响应。一阶电路的阶跃响应和冲激响应。2.2.稳态分量、暂态分量求解；稳态分量、暂态分量求解；下 页上 页返 回6.1 6.1 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应换路后外加激励为零，仅由换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能产生的电动态元件初始储能产生的电压和电流。压和电流。1.1.RC电路的零输入响应电路的零输入响应已知已知 uC(0)=U00CRuutuCiCdd uR=Ri零输入响应零输入响应iS(t=0)+uRC+uCR下 页上 页返 回0)0(0ddUuutuRCCCCRCp1 特征根特征根特征方程特征方程RCp+1=0tRC eA1 ptCeAu 则则代入初始值代入初始值 uC(0+)=uC(0)=U0A=U0iS(t=0)+uRC+uCR下 页上 页返 回000teIeRURuiRCtRCtC0 0teUuRCtcRCtRCtCeRURCeCUtuCi00)1(dd 或或下 页上 页返 回tU0uC0I0ti0令令 =RC ,称称 为一阶电路的时间常数为一阶电路的时间常数 秒伏安秒欧伏库欧法欧 RC电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；连续连续函数函数跃变跃变响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关有关;表明表明0 0teUuRCtc00teIiRCt下 页上 页返 回时间常数时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短的大小反映了电路过渡过程时间的长短 =RC 大大过渡过程时间长过渡过程时间长 小小过渡过程时间短过渡过程时间短电压初值一定：电压初值一定：R 大大（C一定一定）i=u/R 放电电流小放电电流小放电时间长放电时间长U0tuc0 小小 大大C 大大（R一定一定）W=Cu2/2 储能大储能大11 RCp物理含义物理含义下 页上 页返 回a.:电容电压衰减到原来电压电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。所需的时间。工程上认为工程上认为,经过经过 35,过渡过程结束。过渡过程结束。U0 0.368U0 0.135U0 0.05U0 0.007U0 t0 2 3 5t ceUu 0U0 U0 e-1 U0 e-2 U0 e-3 U0 e-5 注意下 页上 页返 回 t2 t1 t1时刻曲线的斜率等于时刻曲线的斜率等于211C1C0C0)()(1dd11tttutueUtutttucU0t0 t1t2)(368.0)(1C2Ctutu次切距的长度次切距的长度RCteUu 0Cb.时间常数时间常数 的几何意义：的几何意义：下 页上 页返 回能量关系能量关系tRiWRd02电容不断释放能量被电阻吸收电容不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕直到全部消耗完毕.设设 uC(0+)=U0电容放出能量：电容放出能量：2021CU电阻吸收（消耗）能量：电阻吸收（消耗）能量：tReRURCtd)(2 002021CUteRURCtd2 02002 20|)2(RCteRCRUuCR+C下 页上 页返 回例例1图示电路中的电容原充有图示电路中的电容原充有24V电压，求电压，求k闭合后，闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。电容电压和各支路电流随时间变化的规律。解解这是一个求一阶这是一个求一阶RC 零输入响应问题，有：零输入响应问题，有：+uC45Fi1t 0等效电路等效电路0 0CteUuRCti3S3+uC265Fi2i1s 2045 V 240RCU下 页上 页返 回+uC45Fi10 V2420 teutc分流得：分流得：A6420 1tCeuiA43220 12teiiA23120 13teiii3S3+uC265Fi2i1下 页上 页返 回2.2.RL电路的零输入响应电路的零输入响应特征方程特征方程 Lp+R=0LRp特征根特征根 代入初始值代入初始值A=iL(0+)=I001)0()0(IRRUiiSLL00ddLLtRitiLptAeti)(L0)(00LteIeItitLRptt 0iLS(t=0)USL+uLRR1+-iL+uLR下 页上 页返 回RLt LLeRItiLtu/0)(dd0)(/0teItiRLtLtI0iL0连续连续函数函数跃变跃变电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；表明-RI0uLt0iL+uLR下 页上 页返 回响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与L/R有关有关;秒欧安秒伏欧安韦欧亨 RL 令令 称为一阶称为一阶RL电路时间常数电路时间常数 =L/R时间常数时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短的大小反映了电路过渡过程时间的长短L大大 W=LiL2/2 起始能量大起始能量大R小小 P=Ri2 放电过程消耗能量小放电过程消耗能量小放电慢，放电慢，大大 大大过渡过程时间长过渡过程时间长 小小过渡过程时间短过渡过程时间短物理含义物理含义电流初值电流初值iL(0)一定：一定：下 页上 页返 回能量关系能量关系tRiWRd 02电感不断释放能量被电阻吸收电感不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕。直到全部消耗完毕。设设 iL(0+)=I0电感放出能量：电感放出能量：2021LI电阻吸收（消耗）能量：电阻吸收（消耗）能量：tReIRLt d2/00)(2021LI teRIRLt d/2020 0220|)2/(RCt eRLRIiL+uLR下 页上 页返 回iL(0+)=iL(0)=1 AuV(0+)=10000V 造成造成V损坏损坏。例例1t=0时时,打开开关打开开关S，求求uv0/t eit L。电压表量程：。电压表量程：50VsRRLV4104100004 0100002500 teiRutLVV解解iLS(t=0)+uVL=4HR=10VRV10k10ViLLR10V+-下 页上 页返 回例例2t=0时时,开关开关S由由12，求求电感电压和电流及电感电压和电流及开关两端电压开关两端电压u12。s 166RL解解A26366/32424)0()0(LLii66/)42(3 Ri+uL66Ht 0iLS(t=0)+24V6H3446+uL212下 页上 页返 回0 V12A 2 tetiLueitLLtLddV424242412tLeiui+uL66Ht 0iLS(t=0)+24V6H3446+uL212下 页上 页返 回一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应起的响应,都是由初始值衰减为零的指数衰减都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。函数。teyty )0()(iL(0+)=iL(0)uC(0+)=uC(0)RC电路电路RL电路电路小结下 页上 页返 回一阶电路的零输入响应和初始值成正比，一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。称为零输入线性。衰减快慢取决于时间常数衰减快慢取决于时间常数 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。同一电路中所有响应具有相同的时间常数。小结 =R C =L/RR为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。RC电路电路RL电路电路下 页上 页返 回动态元件初始能量为零，由动态元件初始能量为零，由t 0电电路中外加激励作用所产生的响应。路中外加激励作用所产生的响应。SCCddUutuRC方程：方程：6.2 6.2 恒定电源作用下一阶电路的零状态响应恒定电源作用下一阶电路的零状态响应解答形式为：解答形式为：CCCuuu 1.1.RC电路的零状态响应电路的零状态响应零状态响应零状态响应非齐次方程特解非齐次方程特解齐次齐次方程方程通解通解iS(t=0)US+uRC+uCRuC(0)=0+非齐次线性常微分方程非齐次线性常微分方程下 页上 页返 回与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解RCtAeu C变化规律由电路参数和结构决定变化规律由电路参数和结构决定的通解的通解0ddCCutuRCSCUu 通解（自由分量，暂态分量）通解（自由分量，暂态分量）Cu 特解（强制分量）特解（强制分量）CuSCCddUutuRC的特解的特解下 页上 页返 回全解全解uC(0+)=A+US=0 A=US由初始条件由初始条件 uC(0+)=0 定积分常数定积分常数 ARCtAeUuutu SCCC)()0()1(S SSCteUeUUuRCtRCt从以上式子可以得出：从以上式子可以得出：RCteRUtuCiSCdd下 页上 页返 回-USuCuC“UStiRUS0tuC0电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；电容电压由两部分构成：数；电容电压由两部分构成：连续连续函数函数跃变跃变稳态分量（强制分量）稳态分量（强制分量）暂态分量（自由分量）暂态分量（自由分量）表明+下 页上 页返 回响应变化的快慢，由时间常数响应变化的快慢，由时间常数 RC决定；决定；大，大，充电慢，充电慢，小充电就快。小充电就快。响应与外加激励成线性关系；响应与外加激励成线性关系；能量关系能量关系2S21CU电容储存能量：电容储存能量：电源提供能量：电源提供能量：2SS0SdCUqUtiU2S21CU电阻消耗能量：电阻消耗能量：tRRUtRiRCted)(d20S02 电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。转换成电场能量储存在电容中。表明RC+-US下 页上 页返 回例例t=0时时,开关开关S闭合，已知闭合，已知 uC(0)=0，求求(1)电容电容的电压和电流的电压和电流,(2)uC80V时的充电时间时的充电时间t。解解(1)(1)这是一个这是一个RC电路零电路零状态响应问题，有：状态响应问题，有：)0(V)1(100)1(200 SCt-eeUut-RCts1051050035 RCA2.0d200SCtRCteeRUtuCid(2)(2)设经过设经过t1秒秒，uC80V .t-et-s0458)1(1008012001m50010F+-100VS+uCi下 页上 页返 回2.2.RL电路的零状态响应电路的零状态响应SLLUiRtiLdd)1(SLtLReRUi已知已知iL(0)=0，电路方程为：，电路方程为：LLLiii tiLRUS0RUiSLA0)0(tLRAeRUSiLS(t=0)US+uRL+uLR+下 页上 页返 回)1(SLtLReRUitLReUtiLuSLLdduLUSt0iLS(t=0)US+uRL+uLR+下 页上 页返 回例例1t=0时时,开关开关S打开，求打开，求t 0后后iL、uL的变化规律。的变化规律。解解这是这是RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：电路零状态响应问题，先化简电路，有：200300/20080eqRs01.0200/2/eqRLt 0A10)(LiA)1(10)(100LtetiV200010)(100100eqLtteeRtuiLS+uL2HR8010A200300iL+uL2H10AReq下 页上 页返 回例例2t=0开关开关k打开，求打开，求t 0后后iL、uL及电流源的电压。及电流源的电压。解解 这是这是RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：电路零状态响应问题，先化简电路，有：201010eqRV201020Us1.020/2/eqRLiL+uL2HUoReq+t 0A1/)(eq0RUiLA)1()(10tLetiV20)(10100ttLeeUtu)V1020(10510StLLeuiIuiLK+uL2H102A105+u+下 页上 页返 回6.3 6.3 恒定电源作用下一阶电路的全响应和叠加定理恒定电源作用下一阶电路的全响应和叠加定理电路的初始状态不为零，同时又有外电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。加激励源作用时电路中产生的响应。SddUutuRCCC以以RC电路为例，电路微分方程：电路为例，电路微分方程：1.1.全响应全响应全响应全响应iS(t=0)US+uRC+uCR解答为：解答为：uC(t)=uC+uC特解特解 uC =US通解通解tCAeu =RC下 页上 页返 回uC(0)=U0uC(0+)=A+US=U0 A=U0-US由初始值定由初始值定A0)(0 teUUUAeUutSStSC强制分量强制分量(稳态解稳态解)自由分量自由分量(暂态解暂态解)下 页上 页返 回2.2.全响应的两种分解方式全响应的两种分解方式uC-USU0暂态解暂态解uCUS稳态解稳态解U0uc全解全解tuc0全响应全响应 =强制分量强制分量(稳态解稳态解)+自由分量自由分量(暂态解暂态解)着眼于电路的两种工作状态着眼于电路的两种工作状态物理概念清晰物理概念清晰下 页上 页返 回全响应全响应 =零状态响应零状态响应 +零输入响应零输入响应)0()1(0 teUeUuttSC着眼于因果关系着眼于因果关系便于叠加计算便于叠加计算零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应S(t=0)USC+RuC(0)=U0+S(t=0)USC+RuC(0)=U0S(t=0)USC+RuC(0)=0下 页上 页返 回)0()1(0 teUeUuttSC零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应tuc0US零状态响应零状态响应全响应全响应零输入响应零输入响应U0下 页上 页返 回*线性动态电路的叠加定理：线性动态电路的叠加定理：*一阶电路的零输入响应与原始状态成正比。一阶电路的零输入响应与原始状态成正比。*单电源电路的零状态响应与该电源成正比。单电源电路的零状态响应与该电源成正比。*全响应等于零输入响应与零状态响应的叠加。全响应等于零输入响应与零状态响应的叠加。*若电路中含有多个独立电源和多个储能元件，若电路中含有多个独立电源和多个储能元件，则电路中任一电流或电压响应等于各独立源以则电路中任一电流或电压响应等于各独立源以及各储能元件原始状态单独作用时该响应的叠及各储能元件原始状态单独作用时该响应的叠加。加。下 页上 页返 回例例1 t=0 时时 ,开关开关k打开，求打开，求t 0后的后的iL、uL。解解 这是这是RL电路全响应问题，电路全响应问题，有：有：s20/112/6.0/RLA64/24)0()0(LLiiA6)(20tLeti零输入响应：零输入响应：A)1(1224)(20tLeti零状态响应：零状态响应：A42)1(26)(202020tttLeeeti全响应：全响应：iLS(t=0)+24V0.6H4+uL8下 页上 页返 回或求出稳态分量：或求出稳态分量：A212/24)(Li全响应：全响应：A2)(20tLAeti代入初值有：代入初值有：62AA=4例例2 t=0时时 ,开关开关K闭合闭合，求求t 0后的后的iC、uC及电及电流源两端的电压。流源两端的电压。解解这是这是RC电路全响电路全响应问题，有：应问题，有：)1,V1)0(FCuC稳态分量：稳态分量：V11110)(Cu+10V1A1+uC1+u1下 页上 页返 回V1011)(5.0tCetuA5)(5.0tCCetutiddV512111)(5.0tCCeuitus21)11(RC全响应全响应：V11)(5.0tCAetu+10V1A1+uC1+u1下 页上 页返 回l三要素法分析一阶电路三要素法分析一阶电路一阶电路的数学模型是一阶线性微分方程：一阶电路的数学模型是一阶线性微分方程：teAtftf )()(令令 t=0+Atff 0)()0(0)()0(tffAcbftfadd其解答一般形式为：其解答一般形式为：特特解解下 页上 页返 回6.4 6.4 复杂一阶电路的分析方法复杂一阶电路的分析方法tefftftf )0()0()()(时间常数时间常数初始值初始值稳态解稳态解三要素三要素 f f)0()(分析一阶电路问题转为求解电路的三分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题。个要素的问题。用用0+等效电路求解等效电路求解用用t的稳态的稳态电路求解电路求解直流激励时：直流激励时：)()0()(fftfteffftf )()0()()(A注意下 页上 页返 回V2)0()0(CCuuV667.01)1/2()(Cus2332eqCR033.1667.0)667.02(667.05.05.0 t eeuttC例例1已知：已知：t=0 时合开关，求换路后的时合开关，求换路后的uC(t)解解tuc2(V)0.6670tCeuuutu)()0()()(CCC1A213F+-uC下 页上 页返 回例例2t=0时时 ,开关闭合，求开关闭合，求t 0后的后的iL、i1、i2解解三要素为：三要素为：s5/1)5/5/(5.0/RLA25/10)0()0(LLiiA65/205/10)(LiiL+20V0.5H55+10Vi2i1tLLLLeiiiti )()0()()(三要素公式三要素公式046)62(6)(55 t eetittLV10)5()4(5.0)(55ttLLeetiLtuddA225/)10()(51tLeutiA245/)20()(52tLeuti下 页上 页返 回三要素为：三要素为：s5/1)5/5/(6.0/RLA25/10)0()0(LLiiA65/205/10)(Li046)62(6)(55 t eetittLA22)20(2)(551tteetiA24)42(4)(552tteetiA0110)2010()0(1iA2110)1020()0(2iA25/10)(1iA45/20)(2i0等效电路等效电路+20V2A55+10Vi2i1下 页上 页返 回例例3已知：已知：t=0时开关由时开关由12，求换路后的求换路后的uC(t)解解三要素为：三要素为：V12624)(111iiiuCV8)0()0(CCuu4+4i12i1u+10/1011 iuRiueq2A410.1F+uC+4i12i18V+12下 页上 页返 回teuuutu)()0()()(CCCCV201212812)(Ctteetus11.010eqCR例例4已知：已知：t=0时开关闭合，求换路后的电流时开关闭合，求换路后的电流i(t)。+1H0.25F52S10Vi解解三要素为：三要素为：V10)0()0(CCuu0)(Cus5.025.02eq1CR下 页上 页返 回V10)()0()()(2CCCCtteeuuutu0)0()0(LLiiA25/10)(Lis2.05/1/2eqRLA)1(2)()0()()(5ttLLLLeeiiiti)A5)1(2(2)()()(25ttCLeetutiti+1H0.25F52S10Vi下 页上 页返 回已知：电感无初始储能已知：电感无初始储能t=0 时合时合S1,t=0.2s时合时合S2，求两次换路后的电感电流，求两次换路后的电感电流i(t)。0 t 0.2sA52/10)(5.02/1/A26.1)2.0(2iRLi26.122)2.0(2.05 eiA74.35)()2.0(2tetii10V+S1(t=0)S2(t=0.2s)32-下 页上 页返 回tei522(0 t 0.2s)2.0(274.35tei(t 0.2s)it(s)0.25(A)1.2620下 页上 页返 回6.5 6.5 阶跃函数和阶跃响应阶跃函数和阶跃响应6.5.1 6.5.1 阶跃函数阶跃函数6.5.2 6.5.2 阶跃响应阶跃响应下 页上 页返 回6.5.1 6.5.1 阶跃函数阶跃函数单位阶跃函数单位阶跃函数0100)(tttu延时单位阶跃函数延时单位阶跃函数00010)(ttttttu下 页上 页返 回单位阶跃函数的起始作用单位阶跃函数的起始作用000)(0)()(tttfttttutf0)(00)()(ttfttutf利用阶跃函数可将分段函数用一个式子表示利用阶跃函数可将分段函数用一个式子表示若若31322211,0)()()(ttttttttfttttftf)()()()()()()(322211ttuttutfttuttutftf则则下 页上 页返 回阶跃函数可表示接入恒定电源的换路情况阶跃函数可表示接入恒定电源的换路情况05f(t)t26例如右图波形可表为例如右图波形可表为)6(5)2(5)(tututfRUSC(t=0)CuSR)(tuUuSS下 页上 页返 回6.5.2 6.5.2 阶跃响应阶跃响应 电路对单位阶跃电源的零状态响应称为单电路对单位阶跃电源的零状态响应称为单位阶跃响应，用位阶跃响应，用 s s(t)(t)表示。表示。一阶电路的阶跃响应可用三要素法求解。一阶电路的阶跃响应可用三要素法求解。例：求图示电路的单位阶跃响应例：求图示电路的单位阶跃响应 i i(t)(t)。us2F+-uC21i解：解：0)0(,)(CSutuu0)0()0(CCuu)(5.021)0(Ai)(31)(Ai)(342)32(SRC)()61(31)()3121(31)(75.075.0tuetuetitt上 页返 回