正弦定理的三种证明

ABC中的三个内角ZA,ZB,ZC的对边，分别用a,b,c表示.正弦定理：在三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即abcsin A sin B 证明：按照三角形的种类,分三种情形证明之. 在RtAABC中，如图1-1ab sm A= , sm B =cc ab 因此，=csin A sin B有因为sinC=1,所以sin A sin B sinC(2)在锐角ABC中，如图1-2CD 作 CD 丄 AB 于点 D，有 sin A=, sin B=bab 因此，bsin A=a sinB，即=sin A sin B a c a b同理可证：= ，故 =sin A sinCsin A sinB(3)在钝角ABC中，如图1-3作CD丄AB，交AB的延长线于点D，则CDCDsin A=, sin ZABC=sinCBD =baab因此，bsin A=a sinB，即=sin A sin Bcb同理可证：sin B sinCbcsin CCD,acsin Ca故sin A sin B sin C综上所述，在任意的三角形中，正弦定理总是成立.CBA证明：如图所示，圆o是ABC的外接圆，半径为R连接AO并延长，交圆O于点D，连接CD ,易知，ZACD=90，ZB=ZDi D AC b sin DAD 2 Rb因此=2 Rsin B即 sin B=b2R同理，延长BO,CO，ac可证 =2Rsin A sinCabc故 =2 Rsin A sin B sinC证明：过点B作单位向量j丄BC，那么就有jAC = jAB + jBC【小技巧】根据几何图形确定向量夹角的方法： 如果两个向量所在之间直线相交，或通过平移一个向量而相交，那么（1）向量夹角为锐角，很容易判断；（2）向量夹角为钝角时，可以先判断锐角，再取补角例如：确定向量j与向量AB的夹角时，由于是钝角，先确定向量j与向量BA的夹角为90。-B，再求补角，即为90 + B确定向量j与向量AC的夹角时，先平移j，同上可得，夹角为90 + C