简谐运动能量

”假设在t时刻质点的位移为x,速度为v,则 +e)1r1才亍1T0+A -145简谐运动的能量Energy of Simple Harmonic Vibration引言：作简谐运动的系统，因物体有速度而具有动能，因弹簧发生形变而具有势能，动能和势能之和就是其能量。一、简谐运动的能量1 能量表达式(1) 推导 以弹性振子为例x = A cos + 申丿v = - A sin Cot + 申则系统动能为：E = mv2 = mA2 2 sin2Cot + 申) k 2 2系统势能为：E = kx2= kA2 cos2Ct + 申) p 22因此系统的总能量为+ 申h 2 kA2 COS2+申）E=E +E = mA2 2 sin2k p 2k考虑到o 2=，则m厂1人,E= mA2 2= kA22 2(2) 结论 弹簧振子作简谐运动的能量与振幅的平方成正比。(3) 解释 由于系统不受外力作用，而且内力为保守力，故在简谐运动的进程中，动能与 势能彼此转化，总能量维持不变。(4) 说明1) E-A2,对任何简谐运动皆成立；2) 动能与势能都随时间作周期性转变， 转变频率是位移与速度转变频率的两倍， 而总能量维持不变；且总能量与位移无 关。动能Ek=E-EkP2.能量曲线二、能量平均值概念：一个随时间转变的物理量f(t),在时间T内的平均值概念为 f = 1 f f C h0因此弹簧振子在一个周期内的平均动能为E =丄k T百度文库-让每个人平等地提升自我 注意理解能量守恒和动能、势能彼此转化进程。mA 2 2 sin 2 6t + 串)it = mA 2 2 = kA 22440因此弹簧振子在一个周期内的平均势能为E =丄 f 丄kA2 cos2 (t + p)dt = kA2 = mA22p T 2440结论：简谐运动的动能与势能在一个周期内的平均值相等，它们都等 于总能量的一半。三、应用1. 应用1记忆振幅公式由能量守恒关系可得：k A2/2= mv02/2+ kx02/2 解之即得：r v)出+00 0L丿22应用2推导简谐运动相关方程 在忽略阻力的条件下，作简谐运动的系统只有动能和势能(弹性势能和重 力势能)，且二者之和维持不变，因此有Q + E )= 0 dt k p将具体问题中的动能与势能表达式代入上式，通过简化后，即可取得简谐 运动的微分方程及振动周期和频率。这种方式在工程实际中有着普遍的应用。此方式对于研究非机械振动超级方便。例1用机械能守恒定律求弹簧振子的运动方程。 解：弹簧振子在振动进程中，机械能守恒，即mv 2 + kx 2 = kA 2 = C2 2 2两边对时间求导，得1 dv 丄 1 dxm - 2v + k - 2x = 02 dt 2dtd2 x cm - v + k - xv = 0 dt 2d2 x k门+ x = 0dt 2mk令 2=，则md2 x+ 2 x = 0其解为dt 2x = A cosCt + 申)代入守恒方程可得A=A例2.劲度系数为k、原长为1、质量为m的匀质弹簧，一端固定，另一端系一 质量为M的物体，在滑腻的水平面上作直线运动，求其运动方程。岂灿伽讹如历I解：取物体受力平衡位置O为坐标原点，向右为x轴正方向，如图所示，设 m ur3 J 总能舐 E = Ekrm=2 0101百度文库-让每个人平等地提升自我 146简谐运动的合成Composition of Simple Harmonic Vibration引言：在实际问题中，振动系统常常参与多个振动。本节讨论一个物体同 时参与两个或两个以上振动的合成问题。振动的合成在声学、光学、无线电技 术与电工学中有着普遍的应用。本节主要讨论简单的情况。是通过振动的方原理：振动的合成符合叠加原理，振动也具有矢量性向与相位反映出来的。一、同方向同频率简谐运动的合成问题：某质点同时参与两个同频率且在同一条直线上的简i牛运动、x = A cosQot + 申 /x = A cosCot + 申)2 2 2合振动 x = x +x1 21. 应用解析法：CC 、x = x + x A cos nOt + Q / I A cos xOt + q )(21 AY2 G -2 人.)=A cos Q + A cos Q 丿cos ot - A sin Q + A sm Q 丿sm ot112 2 112 2令：A sin Q = A sin Q + A sin Q , A cos Q = A cos Q + A cos Q1 1 2 2 / 1 、1 2 2则：x=A cos Q cos ot - A sin Q sin ot=A cosot +Q丿2. 应用旋转矢量法：AA2大小不变，且以一路角速度3旋转，它们的相对位置不变，即夹角 G -Q)维持不变，所以合振动的振幅A大小不变，也以角速度3绕O作逆 2 1(DA =时针旋转，故合成振动也是简谐运动。vA2 + A2 + 2A A cosG -Q )1 2 1 2 2 1A sin Q + A sin QQ = arctg 1122-A cos Q + A cos Q1122x = A coskot + Q丿圆频率：初相位:合振幅：3.1)2)合振动：讨论：合振动仍然是简谐运动，且频率仍为3;合振动的振幅不仅与A、A2有关，而且还与相位差Q -Q)有关。1 2 2 1若 Q -Q =2k兀,k = 0,1,2,，则 cosG -Q)= 1，A=A +A即两个分振动若Q -Q :2 1cosQ -Q2 1即两个分振动反相时，合振幅等于分振幅之差的绝对值。2 1 1 2I动同相叫合振幅等于分振幅之和。(2k+1)i， k = 0,1,2,，贝y)=1， A A A百度文库-让每个人平等地提升自我一般情况下，合振动的振幅则在A】一A2 3）上述结论可以推行到多个同方向同频率简谐 运动的合成，即,、x = A cosOot + Q ）, i = 1,2, niift)Ip与A +A之间。ix = 2 x也是简谐运动i合振动:i=1x = A cosCot + 申）A和9也可以用一般矢量求和的方式取得。二、同方向不同频率简谐运动的合成问题：某质点同时参与两个不同频率且 在同一条直线上的简谐运动、x = A cosOo t + 9 /x = A cosCo t + 9 ）2 2 2 2x = x + x1 2c相）位 差 t + p9）随时间转变，2 1合振动由/ 于= Ho -o ,2 1故合振动的振幅也随时间而转变，不是简谐 运动。 这里只 讨论A = A = A , 9 =9 = 012 0 12V +V V -V 的情形，即两个频率相12I -差很小，此时x = A cos o t=A cos 2兀V t11 10 1x = A cos o t=A cos 2兀V t2 2 2 0 2x = x + x = A cos 2兀V t + A cos 2兀V t1 2 0 1 0 2V -V )2A cos 2k t cos 2兀0 2丿V +V2112宀 v +Vt随时间转变比cos2兀 p 11要缓慢得多，因V -V 21由于 2A cos 2k0此可以近似地将合振 动看成是振幅按V -V2A cos 2k 110 2缓慢转变得角频率为V +v 亠厂的“准周期运动”这种两个频率都 较大但二者频差很小 的同方向简谐运动合J v岬zwyvw麻MAXpvwM/viUW/wvv /i成时，所产生的合振幅时而增强时而减弱的现象称为拍频（beat）。即合振动的频率为:合振幅转变的周期:拍频:V = V V2用旋转矢量法理解：_假设V V，所以A比一 212 一A转动得快，当A转到与A1 2 1 反方向位置时，合振幅最小； 当A转到与A同方向位置2 1 时，合振幅最大，而且这种转 变是周期性的。拍的应用： 用音叉的振动来校准乐器； 利用拍的规律测量超声波的频率； 在无线电技术中，可以用来测定无线电波频率和调制V +v212T = 1/V V三、两个彼此垂直的同频率简谐运动的合成问题：某质点同时参与两个同频率的彼此垂直方向的简谐运动x = A cosQot + p / y = A cosCot + p )- 2=cos ot cos p 一 sin ot sin pA111y.=cos ot cos p 一 sin ot sin pA222别离对上述两式乘以coset sin3 t,并相加，可得x 2y 2xy+ A 2A 2 A A1 2 1 2这是椭圆方程，其形状由分振动的振幅A1，A?和相位差Ap=p p肯1 2 2 1改写为:X方向：方向：XcosG -P)= sin2G -p)2 1 2 1定:1 22 1,3兀x 2 y 2（4） A=申申= 时，二一+二1，轨迹为椭圆（逆椭圆）。21 2A 2 A 21 2关于（3）的说明：y方向的振动相位比x方向超前n/2,当质点在x方向 达到最大位移时，在y方向质点正通过原点向负方向运动，因此质点沿椭圆轨 道运动的方向是顺时针的，或说是右旋的。另外，当0 人申兀时，质点沿顺时针方向运动；当兀A 0时， 质点沿顺时针方向运动。问题：某质点同时参与两个不同频率的彼此匕垂直方向的简谐运动x = A cosQo t + 申）y = A cosCo t + 申）2 2分两种情况讨论。四、两个彼此垂直的不同频率两个简谐运动的合成x方向：y方向： 合振动比较复杂，1. 两个分振动的频率相差很小：此时可以近似地把两个振动的合成看 成同频率简谐运动的合成，但它们的相位差 随时间缓慢地转变，于是合振动的轨迹将由 直线变成椭圆，又由椭圆变成直线，并循环 地改变下去。2. 两个分振动的频率相差较大，但 有简单的整数比关系：此时合振动的轨迹为封锁的图形，称 为李萨如（Lissajous Figures）图形。该 图形的的具体形状取决于两个彼此垂直 方向简谐运动的频率之比合初相位，而且 该图形坐标轴的切点之比与频率之比相 等。用此方式可以测量一未知振动的频率 与彼此垂直方向的两个简谐运动的相位 差。 147阻尼振动、受迫振动、共振Damped Vibration, Forced Vibration Resonance引言：简谐运动的振幅不随时间转变，这就是说，振动一经发生，就可以够永远 不断地以相同的振幅振动下去。这是一种理想的情况，称为无阻尼自由振动。实际上，任何振动系统都会受到阻力的作用，系统的能量将因不断克服阻 力作功而损耗，振幅将逐渐减小。这种振幅随时间减小的振动称为阻尼振动。 为了取得所需的稳定振动，必需克服阻力的影响而对系统施以周期性外力的作 用。这种振动称为受迫振动。本节讨论这种情况。一、阻尼振动 Damped Vibration 1.2.3.引言：消耗系统能量的两种方式：摩擦阻尼：系统与周围介质或系统内部的摩擦，使系统的能量变成热能； 辐射阻尼：振动向外界传播而将系统的能量变成波动能量。本节讨论第一种阻尼作用下的振动情况。什么是阻尼振动？振幅随时间的转变而减小的振动称为阻尼振动。阻尼振动的运动（微分）方程在系统的振动进程中，振子除受到弹性力的作用外，还受到粘滞阻力的作用。当物体速度不太大时，粘滞阻力大小与速度的大小成正比，方向相反。dxf =-Cv= - C dXdt其中C是阻尼系数，由物体的形状、大小和周围介质的性质而定。在有阻力作 历时，按照牛顿第二定律，有d2 xdx m= -C- kxdt 2dtk q C令2=，卩=，则上式可写成0m2md2xdx.小+202 x=0dt 2dt 0其中是系统的固有角频率（natural angular frequency）, 0是表征系统阻尼的 大小，称为阻尼因子，B越大，阻力越大。4.讨论:阻尼振动的微分方程的特征方程（即将eDx形式的解代入此方程，化简后 可得）为D 2+20D + 2=0022/阻尼较大22 /阻尼较小0 122丿临界阻尼0其解为2 CO 2v 00 i.O 2 0 2 0-01）弱阻尼（情况2） 解为 x = A e-01 cos0t+q）A0、9 :积分常数，由初始条件肯定；3=、2 0 0 由振动系统的固有角频率和阻尼因子肯定。由振动方程可知，阻尼振动可看成是振幅为 A0e-t，角频率为co的振动，阻尼振动的振幅为 A0e-Bt随时间作指数衰减，阻尼越大，振幅衰减越 快，不是简谐运动。在阻尼不大时，可近似地看 成是一种振幅逐渐减小的振动，周期为32 - p 20注意：阻尼振动不是严格意义下的周期运动，因为通过一按时间后，振子不在回到原来的位置。通常称为准周期运动。2）过阻尼（O ver damping，情况1）解为x 二 Ce-（pp2-32） + C e-（叶邙2-3o）t1 2可见偏离平衡位置的振子只能缓慢地回到平 衡位置，再也不作周期性的往复运动，是一种非周期运动。3）临界阻尼（critical damping 情况 3）解为 x =（C + C t-pt1 2振子恰好从准周期运动变成非周期运动。与弱阻尼和过阻尼比较，在临界 阻尼情况下振子回到平衡位置而静止下来所需时间最短。此时，B可以理解为衰减常量（attenuation constant），它的倒数称为弛豫 时间（relaxation time）， t =1/B,B越大，弛豫时间越短，则振动衰减越快。 4.应用 减小阻尼：活塞 增大阻尼：弦乐器、空气箱、减振器 利用临界阻尼：阻尼天平、灵敏电流计：使指针尽快回到平衡位置， 节约时间，便于测量。二、受迫振动 Forced Vibration1引言一切实际的振动都是阻尼振动，而且阻尼振动最终都将因为能量的损耗而 停止下来。为了使系统的振动能够维持下去，要给系统补冲能量。一般是对系 统施加一周期性外力的作用。这种周期性的外力称为策动力（driving Force ）， 或强迫力。在强迫力作用系统发生的运动称为受迫振动。如扬声器中纸盆的振 动，机械运转时引发机坐的振动等，都是受迫振动。2.运动方程设振子质量为m，除受到弹性力-kx,阻尼力-Cv的作用外，还受到强迫力 Hcos（Pt）的作用。其中H是强迫力的最大值，称为力幅，P为强迫力的角频率。 按照牛顿第二定律可知d2 xm -dt 2=-C 不-5 cos（Pt）人 _ka CI H令2 ，卩=，h =则上式可与成0 m2mm空 +2卩竺 + e 2x=h cos（Pt）dt 2dt0COS (pt +q)这就是受迫振动的运动微分方程。x = A e-B t cos03. 解的讨论：第一项：阻尼振动，通过必然的时间后将消失。第二项：与简谐运动形式相同的等幅振动，是受迫振动的稳定解。即：在受迫振动进程中，系统一方面因阻尼而损耗能量，另一方面又因周 期性外力作功而取得能量。初始时，能量的损耗和补充并非是等量的，因此受 迫振动是不稳定的。当补充的能量和损耗的能量相等时，系统才取得一种稳定 的振动状态，形成等幅振动。于是受迫振动就变成简谐运动，即定态解（Stationary solution）其运动方程为Offx = A cos（Pt + 9 ）2 P 2 )+ 4 P 2 P 20稳定后的振幅（受迫振动位移与强迫力之间的相位差为2 BPtg9=匕亍 2 一 P 20A = h.说明：稳定状态下的受迫振动的角频率不是振动系统的固有角频率，而是强迫力 的角频率；A、9并非决定于系统的初始状态，而是依赖于系统的性质、阻尼的大小 和强迫力的特性。三、共振 Resonance1引言：在稳定状态下，受迫振动的振幅与强迫力的角频率有关。当强迫力的角频 率P与固有角频率3相差较大时，受迫振动的振幅较小；而当P与3相差较 小时，受迫振动的振幅较大；当P为某必然值时，受迫振动的振幅取得最大值。 咱们把受迫振动的振幅达到最大值的现象称为共振。2共振角频率与共振振幅：1）共振角频率：系统发生共振时强迫力的角频率称为共振角频率，用3r表示。 用求极值的方式r（2 P 2 丿+ 4 P 2 P 20 丿=0QAd计算可得2）共振振幅A =r2 队 2 B 2 03）共振时受迫振动位移与强迫力之间的相位差i、=arctg4 2 一 2 P 2:_0P丿3.说明：1）匕略小于3,当阻尼因子B趋于零而发生共振现象时，共振角频率等于系 统的固有角频率，3=3；2）当B-O,3r=30时，共振振幅趋于无穷大，这种情况称为尖锐共振；此时 受迫振动位移与强迫力之间的相位差为申=arctg （-r 2振动物体的速度为v = = -A sin6 t + 申)=A cos6 t)dtr rr r即在B-0时，在共振情况下，速度与强迫力的相位相同。因此强迫力的方向 与物体振动方向相同，强迫力始终对物体作正功，所以输入振动系统的能量最 大，振幅具有极大值。3）严格地从外界与系统互换能量的角度看，速度振幅达到极大值才是严格的共 振。但在实际中振幅共振与速度共振是较接近的。4共振现象的应用：1）应用：钢琴、小提琴等乐器利用共振来提高音响效果；收音机利用电磁共振进行选台； 核内的核磁共振被用来进行物质结构的研究和医疗诊断等。2）危害： 1904年，一队俄国士兵以整齐的步法通过彼得堡的一座桥时，由于产生共 振而使桥倒塌； 1940 年,美国华盛顿州的塔科麦桥，因大风引发的振荡作用同桥的固有频 率相近，产生共振而致使损坏； 汽车行驶时，若发动机的频率接近于车身的固有频率，车身也会车身强烈 的振动而受到损坏。附：人体的共振频率（Hz）：胸一腹：36头一肩：2030眼球：6090下颚一头盖骨:1001203）避免共振: 重庆綦江彩虹桥倒塌，专家通过计算说明不是由于武警战士产生的共振引 发的。 改变系统的固有频率或外力的频 率； 破坏外力的周期性； 增大系统的阻尼； 对精密仪器利用减振台。