资源描述
即即 设设),(yxfz=在点在点),(00yx的某一邻域内连续的某一邻域内连续且有直到且有直到1+n阶的连续偏导数阶的连续偏导数,为此邻域内任一点为此邻域内任一点,能否把函数能否把函数近似地表达为近似地表达为的的n次多项式，次多项式，且误差是当且误差是当 nr r 穷小穷小 ),(00yyxx+),(00yyxxf+00,yyxx-=-=yx0)()(22+=yxr一元函数的泰勒公式中令一元函数的泰勒公式中令n=0,得拉格朗日中值公式：得拉格朗日中值公式：.)()()(000之间与在xxxxfxfxf-+=则令,0 xxx+=.10)()()(000+=+xxxfxfxxf1.二元函数的微分中值定理二元函数的微分中值定理000100010,01,zf x yDDP xyP xx yyPPPPD=+设在区域 内有连续的偏导数,又假定 中有两个点与并且 到 的直线则存在 使得00000000(,)(,)(,)(,).f xx yyf xyffxx yyxxx yyyxy+=+定理定理1 1 (二元函数的拉格朗日中值公式二元函数的拉格朗日中值公式)或写成或写成),(00yyxxf+),(00yxf=).,(00yyxxdf+证),(00ytyxtxPt+考虑点落在时，显然当tPt10.P10的连线上与P内可微，在根据定理的假定可知，D),(yxf，引入一元函数：),()(00ytyxtxft+=.的可微函数是t有链规则得dtdxytyxtxxf+=),(00.),(00yytyxtxyf+另一方面，又一元函数的拉格朗日中值定理，可以推出，存在一个 ，使得10),()0()1(=-即),(00yyxxf+),(00yxf-xyyxxxf+=),(00.),(00yyyxxyf+证毕.推论推论 若函数z=f(x,y)在区域D 内具有连续的偏导数且 满足 证明：f(x,y)在D内为一常数.,0 xf,0yf证证).,(PD000yx内任意取定一点在区域，Dy)P(x,内，都在的连线与若DP00PPP有由拉格朗日中值定理，,0)()()()(0=+=-kPfhPfPfPfyx,00yykxxh-=-=其中为P.P0上之点P).()(0PfPf=这样，内，不全包含在若DP0P.PPPP210DPn 则必存在折线于是有).()()()()(011PfPfPfPfPfnn=-，我们证明了总之，)()(DP0PfPf=即f(x,y)在D内为一常数.0ppkkppkkppkyxfyxC=-=函数函数 在一点在一点 的的 阶微分为阶微分为:,fx y,x yk=),(yxfdk),()(yxfyyxxk+如：),(2yxfdppppppyxfyxC=-=222202.22222222yfyyxfyxxfx+=2.二元函数的泰勒公式二元函数的泰勒公式),(3yxfdppppppyxfyxC=-=333303333xfx=yxfyx+23232323yxfyx+.333yfy+利用这种记号拉格朗日种值公式可写成：),(),(0000yxfyyxxf=+).,(00yyxxdf+),(00yyxxdf+xyyxxxf+=),(00.),(00yyyxxyf+定理定理 21000100010 1,.,nDRf x yCDP x yD P xx yyDPPPPD+设 为一区域,而函数 且 至的连线 则有),(00yyxxf+),(00yxf=),(!1100yxdf+),(!21002yxfd+),(!100yxfdnn+),()!1(1001yyxxfdnn+阶微分，即的是其中，kffdk=),(yxfdk),()(yxfyyxxk+).1,2,1(+=nk证证，令),()(00ytyxtxft+=的泰勒公式有由)(t).,(002yxfd=).,(001yyxxfdn+=+)0(!11)0()1(=)0(!1)(nn),()!1(1)1(+nn显然由链规则)(t),()(00ytyxtxfyyxx+=).10()0(故),(00yxdf=且)(t).,()(002ytyxtxfyyxx+=)0(即有递推地得到)0()(k;,1),(00nkyxfdk =)()1(+n.)(证毕结果的的泰勒公式即得到要证将这些结果代入关于t1001(,),(1)!nxyf xx yynxy+=+其中其中1001(,)(1)!nnRdf xx yyn+=+-拉格朗日余项拉格朗日余项 nR1nM+假定的 阶偏导数有界,即存在常数 使得11,0,1,1;nlnlfMlnx y+-=+则则11!nnMRxyn+22,xyr=+令11112,1!1!nnnnnxyMMRnnrrrr+所以,xyr当固定 时,是一个常量,0.nRn 当 220nxyr=+当固定项数 而令 时,有.nnR rr=0二元函数的带皮亚诺二元函数的带皮亚诺 型的泰型的泰勒公式勒公式),(00yyxxf+),(00yxf=),(!1100yxdf+),(!21002yxfd+),(!100yxfdnn+),(nor+.022+=yxr其中泰勒多项式泰勒多项式的泰勒多项式是),(00yx在例如，fn,2=),(00yxfxyxfx+),(00yyxfy+),(00200),(!21xyxfxx+yxyxfxy+),(200.),(200yyxfyy+,1)1,1(=f 例例1 求函数 在点(1,1)的二阶泰勒多项式及带皮亚诺余项的泰勒公式.)2sin(),(2yxyxf=解解先计算函数在(1,1)点的各界偏导数：,0)1,1(=xf,0)1,1(=yf,)1,1(222-=xf,2)1,1(22-=yxf.4)1,1(222-=yf则有若令因此,1,1,-=-=yyxx)1,1(yxf+)()41(!212222royyxx+-=即)2sin(2yx)1(41)1)(1()1(!21222-+-+-=yyxx).1,1)1()1(22-+-+yxyxo（,nPxyxyn若是 与 的 次多项式,且有2,nfxx yyPxy r+=+22000;,.nxyPxyzf x yxyr=+=其中则是函数在处的泰勒多项式多元函数的泰勒多项式的唯一性定理多元函数的泰勒多项式的唯一性定理.例例2 在点(0,0)的邻域内，将函数 按带 皮亚诺型余项的泰勒公式展开至二次项.yeyxfxcos),(=解解,0),(21122+=xxoxxex已知ycos.0),(21122+-=yyoy),()(022rroxo=时注意当),()(22royo=),()(222royoxo=）且因而由上两式相乘可得yexcos.0),(21211222+-+=rroyxx有泰勒多项式的惟一性，上式即为所求.习题 1.2.(4).
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