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第十一讲第十一讲 功和功率功和功率【赛点知识】【赛点知识】一、功一、功物体（可看成质点）在恒力F的作用下产生了位移，则力F对物体所做的功为：W Fscos式中，是力F与位移s之间的夹角，功是标量，但有正、负之分，正功和负功的物理意义则须从与做功相联系的能量转化角度去理解。说明：（1）功是描述力的空间累积效果的物理量，由于位移总是与一个过程相联系的，所以功是过程量。（2）功在不同的参照条件中，可以有不同数值。但一般都取地面作为参照系。而一对作用力与反作用力做功之和却与参照系的选择无关，如一对滑动摩擦力做的总功是，一对静摩擦力做的总功为零。f s（式中s是相对位移）（3）当不能把物体当作质点处理时，物体的位移与力的作用点的位移可能是不相等的，这时公式中的s应理解为力的如在半径为R的圆柱体上缠绕着一根轻绳，当施一恒定的水平力F拉绳子，使圆柱体无滑滚动一周过程中，力F所（4）功的定义式中力应为恒力。如F为变力，中学阶段常用如下几种处理方法：a微元法。即把变力做功转化为恒力做功。b图像法。即作出力F与位移变化的图像，求出图线与位移轴之间所围的面积。c等效法。即用机械能的增量或Pt等效代换变为功。（5）几个特殊力做的功a重力做的功：只与始末位置的高度差有关，与运动的路径无关。表达式：W作用点的位移。做的功应为F 4R，而不是F 2R。mghb弹簧弹力做的功据胡克定律F kx，作出F x图线。112。kx12kx222当弹簧从形变x1变化到形变x2时，弹簧弹力所做的功相当于图中阴影部分的“面积”，即W弹簧弹性力的功与路径无关，只与弹簧初、末状态两点的形变有关。c万有引力的功。质量分别为m和M的两个质点，m相对M从初始位置 A（相距r0），沿任意路径运动到终止位置 B（相距r），质点m所受M的万有引力的功为：W GMmMmGr0r万有引力做的功与两质点初态的相对位置r0和终态的相对位置r有关，而与运动的路径无关。二、功率二、功率力所做的功与所用时间的比值，称为该力在这段时间内的平均功率，记为P Wt。若将W Fscos代入上式得P Fvcos式中，v若为平均速度，求得的P为平均功率，若v是即时速度，求得的P为即时功率，式中为F与v之间的夹角。第十二讲第十二讲 动能定理动能定理【赛点知识】【赛点知识】一、动能一、动能动能是描述质点机械运动状态的一个物理量。表达式：EK12mv2特点：动能是标量且恒为正值，它的大小跟参照系的选择有关。二、动能定理二、动能定理1内容：作用在质点上合外力所做的功等于质点动能的改变量。2表达式：3说明：（1）质点动能定理只能在惯性系中运动，其中位移和速度必须是同一惯性系的。（2）动能和功是完全不同的两个物理量，动能是描述质点机械运动状态的物理量；功是和运动过程相联系，是描述力4质点组动能定理（1）内容：对于质点组，外力做功与内力做功之和等于质点组动能的改变量。（2）表达式：1212W Emv2mv1合K22的空间累积效应的物理量，但动能和功又是密切联系的，体现在动能定理中，做功的本质是使物体的动能变化。WW E外内K2EK1第十三讲第十三讲 势能和机械能守恒定律势能和机械能守恒定律【赛点知识】【赛点知识】一、保守力和非保守力一、保守力和非保守力保守力：凡做功只依赖于质点组（或物体系）的初态和终态的相对位置的力，即与路径无关的力，如重力、万有引力等。非保守力：凡做功与路径有关的力，又称耗散力，如滑动摩擦力等。二、势能二、势能（一）概念在保守力场中，有一种仅由物体系内的相对位置决定的能量，称之为势能。物体系具有势能的条件是受保守力作用。（二）物体系的势能和保守力的关系势能的改变量等于保守力做功的负值：W保（三）特点（1）势能是标量。（2）势能是状态量，由于势能的概念只确定了其改变量，为确定某状态下物体系的势能值。必先规定某一状态势能为（3）势能是物体系共有的。（4）若物体系同时受几种保守力作用。则同时存在相应的几种势能。（四）力学中常见的势能（1 1）重力势能）重力势能：在物体跟地球组成的系统中，由物体跟地球之间相互作用的重力及相对位置决定的势能。表达式：EP EP。零，这状态称之为势能零点。mgh。（式中h为与选定的零势能面位置的高度差）（2 2）万有引力势能）万有引力势能a产生：两个质点组成的系统中，由两质点相互作用的万有引力及相对位置决定的势能。b势能零点的规定：一般规定两质点相距无限远处为势能零点。c大小：EP讨论：GMm。式中r为两质点间距。r GMm。式中r为质点到球心的距离。r质点及均匀球体组成的物体系，其引力势能为EP质点及均匀球壳组成的物体系：Mm。式中R为球壳半径。RMmb质点在均匀球壳外，其引力势能为：EP G。式中r为质点到球壳球心的距离。ra质点在均匀球壳内，其引力势能为：EP G（3 3）弹性势能）弹性势能产生在物体和弹簧组成的系统中，在弹簧弹性限度内，由物体跟弹簧相互作用的弹性力及相对位置决定的势能。势能零点的规定：一般规定弹簧处于原长的位置为势能零点。大小：EP1kx2。2三、机械能够守恒定律三、机械能够守恒定律（一）机械能物体系动能和势能的总和，其中势能包括重力势能和弹性势能。（二）机械能守恒定律1内容：一个物体系在某一过程中，外力不做功，内部非保守内力不做功，系统的机械能守恒。2说明：（1）定律只适用于惯性系，应用时必须选同一惯性系。（2）必须注意定律成立的条件：外力对系统不做功，表明系统与外界没有没有能量交换。非保守力不做功，表明系统内部不发生机械能与其它形式能的转化。第十四讲第十四讲 天体运动天体运动【赛点知识】【赛点知识】一、开普勒三定律一、开普勒三定律第一定律：行星沿椭圆轨迹绕日运动，太阳在椭圆轨道的一个焦点上。第二定律：行星与太阳的连线（称矢径）在相等的时间内扫过相等的面积。即：vrsin常数式中，r为从太阳中心引向行星的矢径的长度，为行星速度与矢径r之间的夹角。第三定律：行星公转周期的平方与轨道半长轴的立方成正比。即：T242a3GM式中，M为太阳质量，G为引力恒量。实际上，凡在中心天体的引力作用下，绕中心天体作周期运动的物体。如人造地球卫星，都遵循以上三定律，只需把二、万有引力定律二、万有引力定律任何两质点间都存在着相互吸引力，其大小与两质点的质量的乘积成正比，与两质点间的距离平方成反比，力的方向“太阳”改成“中心天体”即可。沿着两质点的连线。表达式：F GM1m2r2式中，G为引力恒量，大小G注意：6.671011N.m.kg2-2。（1）此式仅适用于两质点之间。（2）假如两物体不能看做质点，要求它们之间的引入，须把两物体分割成许多小块，然后再用上式计算，再矢量合成。（3）质量分布是球对称的球体产生的万有引力，等效于把球体质量集中于球心的质点所产生的万有引力。对均匀球面对球外质点的引力也等同于把球面的质量集中在球心处而成的质点与球外质点间的引力。对均匀球壳对位于球壳内的质点的引力等于零。三、天体运动三、天体运动天体运动的轨道一般是圆或椭圆，它做曲线运动的向心力是靠万有引力提供的，因天体本身的大小与它们之间的距离当一颗质量为m的行星以速度v绕着质量为M的恒星做半径为R的圆周运动时，如以无穷远处作为零势能，则它的比较起来很小，因此可以把它们当成质点来处理。动能EK和势能EP分别为：EK12Mmmv，EP G2RMmv2M2 m v G而GRRR2故EK121Mmmv G22R1MmMm1MmG G行星的总能量E EK EPG2RR2R由上可知，卫星飞得越高，其速度越慢，但它的总能量却越大，它是发射高轨卫星较困难的原因之一。在解决实际问题时，常把天体的能量问题与开普勒三定律结合起来解题。第十五讲第十五讲 动量定理与动量守恒定律动量定理与动量守恒定律【赛点知识】【赛点知识】一、动量和动量定理一、动量和动量定理在牛顿定律建立以前，人们为了量度物体做机械运动的“运动量”，引入了动量的概念。当时在研究碰撞和打击问题时认识到：物体的质量和速度越大，其“运动量”就越大。物体的质量和速度的乘积遵从一定的规律，例如在两物体的碰撞过程中，它们的改变量必然是数值相等、方向相反。在这些事实基础上，人们引入mv来量度物体的“运动量”，称之为动量。人们又发现：要使原来静止的物体获得某一速度，可用较大的力作用较短的时间或用较小的力作用较长的时间，只要由牛顿定律，容易得出它们的联系。对单个物体：F t力F和力的作用时间t的乘积相同，所产生的改变这个物体的速度效果就一样，在物理学中把F t叫做冲量。mvtmv0；F t p即冲量等于动量的增量，这就是动量定理。在应用动量定理时要注意它是矢量式，速度的变化前后的方向可以在一条直线上，也可以不在一条直线上。当不在一直线上时，可将矢量投影到某方向上，分量式为：Fxt mvtxmv0 xFyt mvtymv0 xFzt mvtzmv0 x对于多个物体组成的物体系，按照力的施力物体划分成内力和外力。对各个质点用动量定理：第 1 个第 2 个I1外 I1内 m1v1t m1v10I2外 I2内 m2v2t m2v20第n个In外 In内 mnvnt mnvn0 I2内 In内 0由牛顿第三定律：I1内因此得到：I1外 I2外 In外(m1v1t m2v2t mnvnt)(m1v10 m2v20 mnvn0)即I合外 I1外 I2外 In外 p系质点系所有外力的冲量等于物体系总动量的增量。二、动量守恒定律二、动量守恒定律动量守恒定律是人们在长期实践的基础上建立的，首先在碰撞问题的研究中发现了它，随着实践范围的扩大，逐步认对于相互作用的系统，在合外力为零的情况下，由牛顿第二定律和牛顿第三定律可得出物体的总动量保持不变。即识到它具有普遍意义。m2v2 mnvnm1v1 m2v2mnvn m1v1上式就是动量守恒定律的数学表达式。应用动量守恒定律应注意以下几点：（1）动量是矢量，相互作用的物体组成的系统的总动量是指组成物体系的所有物体的动量的矢量和，而不是代数和，（2）在合外力为零时，尽管系统的总动量保持不变，但组成系统的各个物体的动量却可能不断变化。系统内力只能改在具体计算时，经常采用正交分解法，写出动量守恒定律的分量方程，这样就可以把矢量运算转化为代数运算。变系统内物体的动量，却不能改变系统的总动量。在合外力不为零时，系统的总动量要发生改变，但垂直于合外力方向上系统的动量应保持不变，即合外力的分量在某一方向上为零，则系统在该方向上动量分量守恒。（3）动量守恒定律成立的条件是合外力为零，但在处理实际问题时，当系统受到的合外力不为零，若内力远大于外力时，我们仍可以把它当做合外力为零处理，动量守恒定律成立。如遇到碰撞、爆炸等时间极短的问题时，可忽略外力的冲量，系统动量近似认为守恒。（4）动量守恒定律是由牛顿定律推导出的，牛顿定律对于分子、原子等微观粒子一般不适用，而动量守恒定律却仍适用。因此，动量守恒定律是一条基本规律，它比牛顿定律具有更大的普遍性。第十六讲第十六讲 碰撞碰撞【赛点知识】【赛点知识】一、碰撞一、碰撞，v2，碰撞前后速度在一质量m1和质量m2的两个物块在直线上发生对心碰撞，碰撞前后速度分别为v1，v2及v1条直线上，由动量守恒定律得到：m2v2m1v1 m2v2 m1v1根据两物块碰撞过程中的恢复情况，碰撞又可分为下列几种：（一）弹性碰撞（一）弹性碰撞在碰撞过程中没有机械能损失的碰撞称为弹性碰撞，由机械能守恒定律有：111122m2v22m1v12m2v2m1v12222结合动量守恒定律解得：v1(m1 m2)v1 2m2v2m1 m2(m2 m1)v2 2m1v1m1 m2 v2对于上述结果可作如下讨论：（1）m1 v2，v2 v1，即m1、m2交换速度。m2时，则v1 v1，v2 2v1，即大物体速度几乎不变，而小物体以二倍于大物体速 m2，且有v2 0，则v1（2）若m1度运动。（3）若m1 v1，v2 0，则大物体几乎不动，而小物体原速率反弹。m2，且有v2 0，则v1（二）完全非弹性碰撞（二）完全非弹性碰撞两物体相碰后粘合在一起或具有相同的速度，被称为完全非弹性碰撞，在完全非弹性碰撞中，系统动量守恒，机械能损失最大。m1v1 m2v2(m1 m2)VV 碰撞过程中损失的机械能为：m1v1 m2v2m1 m2E 1111m1m22m1v12m2v2(m1 m2)v2(v1v2)22222 m1 m2（三）一般非弹性碰撞，恢复系数（三）一般非弹性碰撞，恢复系数一般非弹性碰撞是指碰撞后两物体分开，速度v1，且碰撞过程中有机械能损失，但比完全非弹性碰撞损失机械 v2能要小。物理学中用恢复系数来表示碰撞性质。恢复系数e定义为：v1v2e v1v2（1）弹性碰撞，e 1；（2）完全非弹性碰撞，v1（四）斜碰（四）斜碰，e 0；v2（3）一般非弹性碰撞，0 e 1。两物体碰撞前后不在一条直线上，属于斜碰，设两物体间的恢复系数为e，设碰撞前m1、m2的速度为v1，v2，其n，v2n，则有，v2，法向分量为v1法向分量分别为v1n，v2n，碰后速度为v1e nv1nv2v1nv2nt若两物体接触处光滑，则应有m1、m2切向分量不变，v1二、质心及质心的运动二、质心及质心的运动（一）质心及质心位置（一）质心及质心位置t v2t。v1t，v2若两物体接触处有切向摩擦，这一摩擦力大小正比于法向正碰力，也是很大的力，它提供的切向冲量便不可忽略。任何一个质点系中都存在着一个称为质心的特殊点，它的运动与内力无关，只取决于外力。当需将质点组处理成一个质点时，它的质量就是质点组的总质量。当需要确定质心运动时，就没想把质点组所受的全部外力集中作用在质心上。设空间有N个质点，其质量、位置分别记作mi，ri，质点组质心记为 C，则质量、位置：mCmi；在 x，y，z 直角坐标系中，记录质心的坐标位置为：rCm ri imixCm xmiii；yCm ymiii；zCm zmiii（二）质心的速度、加速度、动量（二）质心的速度、加速度、动量质心的速度：vCm viim；ivC质心的加速度：aCtmiaimiFimC。由此可知，当质点组所受外力为零，质心将保持静止或匀速直线运动状态。（三）质心的动能与质点组的动能（三）质心的动能与质点组的动能以两个质点为例，质量m1，m2的两质点相对于静止参照系速度v1，v2，质心 C 的速度为vC，两质点相对于质心的速度，v2，可以证明有是v1EK11111222m2v22m1v12m2v2mCvCm1v122222EK EKC EK即两个质点的总动能等于质心的动能与两个质点相对于质心的动能之和。第十七讲第十七讲 角动量与角动量守恒角动量与角动量守恒【赛点知识】【赛点知识】一、力矩一、力矩在某惯性系中，质点相对于参考点 O 的位移为r，质点所受力为F，设r于F不共线，它们惟一确定的平面记为F。在F平面上，通常r于F之间有一个较小的夹角和一个较大的夹角，其中0，规定为r于F之间的夹角。力F相对于参考点 O 的力矩是个矢量，它被定义为：大小：M rF sinM方向：按从r到F的右手螺旋法则确定力矩大小M表达式中的rsin即为参考点 O 到力F作用线的距离d，即有M Fd。常称d为力。也可将M达式中的F sin用F平面内F在垂直于r方向线上的分量F代替，即有：M rF。表M的方向与平面F垂直。以参考点 O 为坐标原点建立 Oxyz 坐标系，引入x，y，z 轴的方向矢量i，j，k，它们均为 1 个单位，方向沿 x，y，z 轴上的分量，那么M可分解为M Mxi Myj Mzk。Mx，My，Mz分别称M在 x，y，z 轴上的分量，有时也将它们称为F相对于 x 轴，y 轴，z 轴的力矩。可以证明，一个质点受若干个力作用时，相对于同一参考点的各分力力矩之和等于合力的力矩。二、角动量二、角动量将质点的质量记为m，速度记为v，它的动量便为设r和p mv。p不共线，它们惟一确定的平面记为p，在p平面上r和p的夹角如图所示，质点相对参考点 O 的角动量也是一个矢量，它被定义为：大小：L rpsin方向：按从r到如图所示，将p的右手螺旋法则确定。p分解为：p p p/p分量，即有：那么对L有贡献的只有L rp以 O 为坐标原点建立 Oxyz 坐标系后，L也可相应地分解为：L Lxi Lyj LzkLx，Ly，Lz分别称L在 x，y，z 轴上的分量，有时也将它们称为p相对于 x 轴，y 轴，z 轴的角动量。需要注意，相对同一参考点 O，p平面由r，p两矢量确定，F平面由共点的r，F两矢量确定，通常二者并不重合，L和M的方向也常互异。三、质点对参考点的角动量定理三、质点对参考点的角动量定理动量定律可表述为：FptMLtLyt即质点所受的力等于它的动量随时间的变化率。质点所受力矩与它的角动量随时间的变化率也恰好是相等关系，即有这就是质点的角动量定理，定理中M，L必须相对同一参考点，质点角动量定理有三个分量式：LMxxt，My，MzLzt质点在运动过程中若M恒为零，则L为守恒量，这就是质点角动量守恒定律。在某一惯性系中做匀速直线运动的质点，受力必为零，相对这一惯性系中任何参考点的力矩均为零，角动量守恒。变换惯性系，质点运动的匀速直线运动不变，因此它在任何惯性系中相对于任何参考点的角动量都守恒；考察行星的运动，略去其他天体施加的引力，以太阳为参考点，太阳引力的力矩恒为零，行星绕太阳运动过程中相对于太阳的角动量守恒。但若改取其他点为参考点，太阳引力力矩不恒为零，角动量便不再守恒。四、质点组对参考点的角动量定理四、质点组对参考点的角动量定理首先要取一个参考点 O，质点组中各质点相对 O 点的角动量一般记为Li，则称LLii为质点组相对 O 点的角动量。第i质点所受力相对 O 点的力矩记为Mi，引入MMii因MiLit，故必有ML。tMM外M内如前所述，质点组中各质点所受力有内力和外力之分，因此可将M分解为式中，M内为各质点所受内力相对 O 点力矩之和，M外为各质点所受外力相对 O 点的力矩之和。于是便有M外M内L。tLxtLytLt根据牛顿第三定律可以证明，任何一对作用力和反作用力相对于同一参考系的力矩之和为零。考虑到质点组中内力成对出现，必有M内0，即有：M外这就是质点组角动量定理。质点组角动量定理的三个分量式为：M外,x，M外,y，M外,zLzt如果在过程中，质点组各质点所受外力相对参考点 O 的力矩之和M外恒为零，那么质点组相对该参考点 O 的角动量L为守恒量。这就是质点组的角动量守恒定律。五、讨论五、讨论（1）地面上质点组中各个质点均受到重力作用，重力的方向由质点所在位置处重力角速度g的方向确定，重力的大小也与g的大小有关。线度远小于地球半径的质点组，各质点所在位置的重力加速度g可处理为相同的矢量，这种情况下可以证明，各质点所受重力相对某一参考点的力矩之和等效为全部重力集中在某一个部位后相对该参考点的力矩，这一点部位即为质点组的重心。证明中还可以得到这样的结论：此质点组的重心恰好位于它的质心。（2）刚体绕一个固定的几何轴线转动，称为刚体的定轴转动。有些情况中，刚体作定轴转动时没有实物支持轴，对称的陀螺在地面上无平移地绕竖直几何轴转动便是一例。实物支持轴可为转动的刚体提供支持力和摩擦力。刚体作定轴转动时，常将参考点选在几何轴上，与转动快慢变化直接相关的便是角动量定理沿几何转轴的分量式。将几何轴取为 z 轴，对应的分量式为:M外,zLzt常称M外,z为各外力相对转轴力矩之和。（3）质点所受都是外力，若质点所受合外力为零，便称它处于平衡状态。平衡状态的特征是加速度为零，此时质点或静止或做匀速直线运动。物体处于平衡状态的特征是质心的加速度为零和物体相对任何一个参考点的角动量守恒，这就要求：F合外 00）M外（相对任何一个参考点可以证明，在F合外 0的前提下，只要各外力相对某一参考点的力矩之和为零，那么外力相对任何参考点的力矩之和也必定为零，据此，可将物体平衡的条件放宽为：F合外 00M外（相对某个参考点）处于平衡态的物体可以是静止的，也可以是运动着的，讨论得较多的是静止状态。第十八讲第十八讲 转动定律转动定律【赛点知识】【赛点知识】一、转动惯量一、转动惯量质量是平动惯性的量度。在刚体的定轴转动中，描述转动惯性的物理量，称之为刚体对该轴的转动惯量，定义为：I miri2，式中ri为质点i绕定轴转动的半径。转动惯量可表示为刚体的质量m与某个长度k的平方的乘积mk。k称为回转半径。同一刚体，绕不同的轴转动，其转动惯量是不同的。刚体的转动惯量不但取决于刚体质量的大小，而且与其质量相对刚体的转动惯量的值，一般通过实验的方法进行测定。形状规则且密度均匀刚体的转动惯量，可根据定义式计算，限2轴的分布有关。在实际中，常常依此规律来改变转动惯量以适应需要。于数学工具，下面直接给出部分常见规则刚体的转动惯量。（1）质量为m、长度为L均匀细杆，绕过其中点并垂直于杆的垂直固定轴转动，转动惯量为1mL2。绕过其端点12的垂直固定轴转动，其转动惯量为12mL。32（2）质量为m、半径为R的匀质圆环，绕过其圆心并与环面垂直的固定轴转动，转动惯量为mR。（3）质量为m的中心有孔的匀质薄圆盘，外半径为R2，内半径为R1，绕过盘心并与盘面垂直的固定轴转动的转动惯量为12m(R2 R12)。中心有孔的匀质圆柱体绕其中心轴的转动惯量与此相同。212如果中心没有孔的圆盘或实心圆柱体，则R1 0，用R替代R2，则I mR。222（4）质量为m，半径为R的匀质球体，围绕其直径转动的转动惯量为mR。5对转动惯量的计算，有下面两个定理，一个定则。定理一：平行轴定理对不同的转轴，刚体的转动惯量不同。实验表明，如果几个轴相互平行，其中的一个轴过质心，刚体对此轴的转动惯量最小。若用IC表示刚体通过质心轴的转动惯量，对另一个与此平行相距为d的定轴的转动惯量为：I定理二：垂直轴定理 ICmd2。对于薄片状物体，相对于 z 轴的转动惯量Iz为相对于 x 轴的转动惯量Ix与相对于 y 轴的转动惯量Iy的和，即：Iz Ix Iy。定则：伸展定则如果将一个物体的任何一点，平行地沿着一根轴的方向作任意大小的位移，则此物体对此轴的转动惯量不变。我们可以想像，将一个物体，平行于直轴地，往两端拉开。在物体伸展的同时，保持物体任何一点离直轴的垂直距离不变，则伸展定则阐明此物体对此轴的转动惯量不变。二、转动定律二、转动定律力是产生加速度的原因。在刚体的定轴转动中，力矩是改变刚体转动状态的原因，在定轴转动中，刚体的角加速度与外界对轴的合外力矩成正比，与其对轴的转动惯量成反比，此规律称为转动定律，表达式为：M I，其中角加速度。第十九讲第十九讲 振动振动【赛点知识】【赛点知识】一、机械振动一、机械振动物体在某位置附近做往复运动，叫做机械振动。该位置称为振动的平衡位置。（1）产生振动的条件：有回复力的作用且所受阻力足够小。（2）回复力：物体离开平衡位置时所受到的指向平衡位置的力叫回复力。（3）振动位移：平衡位置指向物体所在位置的有向线段，为方便描述振动引入。二、简谐运动二、简谐运动（一）简谐运动的定义（一）简谐运动的定义如果物体所受的回复力大小总与位移成正比，方向总与位移相反，那么它所作的振动叫做简谐运动。简谐运动物体的上述受力特征，可表示为：F其动力学方程为：a kx。kxm上式中，F为简谐运动物体所受的回复力，x为振动物体相对于其平衡位置的位移，k为F与x间的比例系数（振动物体为弹簧振子时，k为弹簧的倔强系数），负号表示回复力F的方向与位移x的方向相反，a为振动物体在位移为x时的加速度。（二）简谐运动和匀速圆周运动（二）简谐运动和匀速圆周运动简谐运动是一种变加速运动，直接用数学方法求解其运动方程显得复杂，若定性画出运动图线会发现像正弦或余弦曲考察一个以角速度沿半径为R的圆周做匀速运动的质点，它的质量为m，受到的合外力构成向心力，方向指向圆线。联想到数学中的单位圆，则可以尝试与熟悉的匀速圆周运动联系。心，大小为：F心 m2R 0时质点的角位置为0，任意t时刻角位置t 0。质点在x方向的分运动为：取 xOy 坐标系如图所示。设tx Rcos Rcos(t 0)v vsin Rsin(t)0 x质点所受合力在x方向分量为：m2Rx F心cos m2xR即：Fx kx2k m由此可见，匀速圆周运动质点在x方向分运动具有两个特征：位移量x随时间t在零点附近作往返的余弦变化；质点在x方向受力与位移量x的大小成正比，方向相反，或者说是一个线性回复力，可见该运动是一个简谐振动。（三）简谐运动方程（三）简谐运动方程由上可知，满足F，这 kx的振动物体的位移x随时间t的变化规律是一余弦函数（当然也可以表述为正弦函数）就是简谐运动的方程：x Acos(t 0)式中，它与此振动A为此振动的振幅，即振动物体离开平衡位置最大位移的大小，叫此振动的角频率（也称圆频率）的周期T、频率f有如下的关系：2 2fT式中，(t若t0)叫此振动的相位，0叫此振动的初相位。0时刻（即起振时刻）振动位移和速度分别为x0和v0，则有：v022A x0()tan v00 x0需要注意的是：当v0v 0时，0可在、象限；当0 0时，0可在、象限。因此，还需结合x0或v0 x0 x0的正、负来辅助确定0所在象限。简谐运动的周期是由振动系统本身的物理条件来决定，其关系式为：T 2mk式中，m为振动物体的质量。故此周期又称为此物体的固有周期（对应地也有其固有频率）。一个作简谐运动的系统，若它不与外界交换能量，内部又没有机械能损失，则称该系统为谐振子。谐振子的机械能守恒。谐振子的能量可以用简谐运动的振幅、频率和相位表示。11Ekmv2m2A2sin2(t 0)2211EPkx2kA2cos2(t 0)22可见谐振子的动能和势能都随时间变化，但机械能：11E Ek EPm2A2kA222保持不变。Ek，EP，E与时间的关系如图所示。由图可见，动能和势能的变化频率都是振动频率的两倍。谐振子的总能量与振幅的平方成正比，与角频率的平方成正比。这是谐振子的一般特征。谐振子的能量表达式还为我们提供了求振子频率的另一种方法，这种方法不涉及振子所受的力，在力不易求得时较为方便。将势能写成位移的函数，则有：2EPkx22EmA2或将总能量写成振幅的函数，则有：（四）弹簧振子（四）弹簧振子劲度系数为k的轻质弹簧水平放置，一端固定另一端连接质量为m小物体，后者与水平面光滑接触。取x轴水平地朝着弹簧伸长的方向放置。坐标原点设在弹簧处于自由长度状态时小物体所在位置。如图所示，当小物体有位移x时，便受到弹性力：Fx kx该力为线性回复力，小物体的运动是简谐运动：x Acos(t 0)其中角频率：振幅kmA与初相位0可由t 0时刻小物体的位置x0及速度v0来确定。（五）单摆（五）单摆如图所示，有一根长度为l不能伸长的轻线。上端固定，下端与一质量为m的小球相连。当小球静止不动时，线与小球的拉力T与重力平衡，小球位于悬点下方的O 点，O 点称为小球的平衡位置。若将小球向右拉开一小段距离，到达B 点位置放手，小球将在重力mg和线的拉力T的作用下向左运动，然后在竖直面内沿半径为l的圆弧在 B、C 之间往复运动。这个振动系统称为单摆。若最大摆角为0，小球运动到 P 处的摆角为，则此时小球速度：v 2gl(coscos0)重力mg沿切线方向的分力F1 mgsin，在F的作用下，小球沿切线方向的加速度为：a gsin小球在 P 点时的速度为v，它沿半径为l的圆弧运动，所以它的向心加速度为：v2an 2g(coscos0)l以小球的平衡位置为原点。下面我们讨论小球在水平方向的运动，以水平向右的方向为 x 轴的正方向，向上的方向为y 轴的正方向，则小球在 P 点时的加速度沿 x 轴的分量为：ax gsincos2g(coscos0)sin当 摆 角0很 小 时，例 如0 5 0.087弧 度 时，1210 3.81031，cos01021，221cos11，上式变为：2ax gsin由于sinx，故有：lax gxl由此式和简谐运动的定义相比较，可知小球在 x 方向的运动，在摆角公式a1弧度的条件下，是一个简谐运动。比较上式和 2x，可以得出这个简谐运动的角频率：再由Tgl2可得出相应的周期，也就是单摆振动的周期公式：T 2同样可以证明竖直方向分运动在lg1弧度条件下也为简谐运动，周期为：T lg（六）简谐运动的合成（六）简谐运动的合成（1 1）同方向、同频率两振动的合成）同方向、同频率两振动的合成当一个物体同时参与同方向的两个振动时，它的位移应为参与每个振动时的位移的代数和。当两振动频率相同时，设x1 A1cos(t 1)x2 A2cos(t 2)则合振动x x1 x2 A1cos(t 1)A2cos(t 2)利用旋转矢量，很容易求出以上的和。既然x1和x2是旋转矢量A1，A2的投影，而矢量投影的和等于矢量和的投影，于是x就是合矢量A A1 A2的投影。由于A1与A2的角速度相同，合矢量A与A1，A2的相对位置保持不变，A也以角速度旋转，即：x Acos(t)如图所示，由图不难看出：2A A12 A22A1A2cos(21)tan当2A1sin1 A2sin2A1cos1 A2cos21 2k（k为整数）时，A A1 A2合振动最强，称为振动相长。当21(2k 1)时，A A1 A2合振动最弱，称为振动相消。一般情况，之间。A介于A1 A2与A1 A2（1 1）同方向、频率相近的两振动的合成拍）同方向、频率相近的两振动的合成拍若物体同时参与两个不同频率的简谐运动，例如：x1 A1cos1tx2 A2cos2t为简单起见，我们已设12 0，这只要适当选取时间零点，总可以做到。如果A1 A2 A，则合振动：x x1 x2 A(cos1t cos2t)2Acos这可以看成振幅为2Acos角频率为122tcos122t122、t（随时间变化）122比的振动。当1与2比较接近时，小得多，于是合振动可以看成振幅122122随时间缓慢变化的，角频率为两振动平均值的简谐运动。当然，由于现在振幅随时间变化，合振动已不是严格意义上的简谐运动，只在观察时间比振幅变化周期短得多的情况下，才近似地为简谐运动。这样的振动称为拍。拍的位移与时间的关系大体如图所示。由图可见，振幅的变化周期T为简谐运动x 2Acos。122t变化周期的一半，即T 122221212（七）阻尼振动和受迫振动（七）阻尼振动和受迫振动或拍频f 121 f1 f222T由于振动不可避免地要受到摩擦和其他阻力作用，振动系统要克服阻力做功，系统的能量将逐渐减少，振动的振幅也系统在周期性的外力策动下所发生的振动叫受迫振动。受迫振动的周期等于策动力的周期，它与振子的固有周期无关。当策动力的周期跟振动系统的自由振动周期（在不计阻尼时为其固有周期）相等时，受迫振动的振幅增大，这种现象将随之减小，这种振幅随时间减小的振动叫阻尼振动。叫共振。第二十讲第二十讲 波动波动【赛点知识】【赛点知识】一、波的形成与传播一、波的形成与传播波传播的是振动这一运动形式。即前一质点发生了振动，由于质点间弹性力的作用，后一质点也会“跟着”发生振动。波在传播振动这种运动形式的同时，也将波源的能量传送出去。因此，波也是能量传递的一种方式。短暂扰动在媒质中的传播形成脉冲波，周期振动在媒质中传播形成周期波，如图所示。振动方向与传播方向垂直的波为形成波，除必须有波源外，传播波动的媒质各质点间，当有相对机械振动在弹性介质中的传播就形成机械波。这样，后一质点的振动比前一质点的振动总要“落后”一些。叫横波，振动方向与传播方向一致的波称纵波。位移时，必须有力的作用。按这种作用力的性质不同，可形成不同的波，如弹性波、表面张力波、重力波（水波）等。在固体中，任一扰动不论在扰动方向或与扰动垂直方向上都会对相邻质点产生弹力的作用，故固体中既能传播弹性纵波，又能传播弹性横波。液体和气体的扰动只在扰动方向对相邻质点产生弹力的作用，故液体或气体中只能传播弹性纵波，不能传播弹性横波。波的传播中，其波速v，频率f和波长之间的关系为v f。波长：沿着波的传播方向，两个相邻的“同位相”（位相差为2）质元间的距离，叫做波长。波长是对波的空间周期波的周期频率：振动状态传播一个波长的距离所需要的时间称为波的周期，周期的倒数为波的频率，也就是在单位时性的描述。间内在波所传播的距离中“完整波”的数目。由此可见，波的周期和频率等于波源的振动周期和频率。是对波的时间周期性的描述。波速：波是靠着媒质各质元之间的相互作用而向前传播的，因而波的传播速度由媒质的性质决定。媒质质元间相互作在弹性媒质中，纵波和横波的传播速度分别为：用越强，波速越大；媒质密度（惯性）越大，波速则越小。v纵YNv横式中，Y，N分别称为杨氏模量和切变模量，各表示产生单位相变形变（拉伸形变和切形变）所需的外力，是反映媒质弹性大小的物理量，亦即反映媒质质元间相互作用大小的物理量，是媒质的密度。在柔软弦中，弦中只有张力存在时，弦上才能传播横波，弦上质元正是藉张力产生相互作用的，若张力为T，弦的线密度为，则波速为v弦T。水面波是大家熟知的波，它的传播是借重力实现的，而重力与质量本身成正比，因而水面波的波速与水的密度无关。可以证明，当水较浅（深度h比波长小得多）时，波速为：v浅gh当水较深（深度h比波长大得多）时，波速为：v深g2这时波速与波长有关，这种现象称为色散（这一名词是从光学中借用过来的）。水面上还可以传播一种很细微的波，它是由表面张力作用引起的，称为表面张力波，其波速为：v表面2式中，为表面张力系数，是水的密度，这种波也有色散。（一）简谐波的方程（一）简谐波的方程设坐标原点的简谐运动为：y(0,t)Acost。对于振幅无衰减的简谐波，若传播方向与x方向一致，则其方程为：y(x,t)Acos(t 若其传播方向与 x方向一致，则其方程为：2xx)Acos(t)vy(x,t)Acos(t 式中，2xx)Acos(t)v2是波沿传播方向推进单位长度距离时引起的相位落后值。（二）简谐波的图像（如图所示）（二）简谐波的图像（如图所示）波的图像的物理意义：反映了介质各个质点在某一时刻的位移情况。（三）波面和波线（三）波面和波线波在绳或杆、弹簧中只能沿绳、杆和弹簧的方向传播，但是一般说来在气体、液体和固体等充满某一部分空间的介质中，波是从波源向所有方向传播的。为了形象地描述波的传播方向，可自波源沿各传播方向画一些带箭头的线，这样的表示波的传播方向的线叫做波线。同样，我们也可以把在某时刻位相相同（这是真正的相同，即位相差为零）的点连起来形成一个曲面或平面，并称之为波面或波阵面。波传播中最前面的波面叫做波前，它描述波在该时刻传播到的位置。在任何时刻波前只有一个，但波面却有许多个。（四）波传播中的反射、折射和衍射（四）波传播中的反射、折射和衍射当波在传播过程中遇到两种媒质的交界面时，一部分会返回原媒质中，一部分将透入第二种媒质继续传播；前者称为球面波和平面波的波阵面和波线如图所示。（每隔一个波长画一个波阵面）反射波，后者称为透射波，或称折射波。当入射方向与交界面垂直时，反射波的传播方向与入射波相反，折射波的传播方向与入射波相同。当入射方向与交界面不垂直时，反射波与折射波均偏离入射波的传播方向。若入射波的传播方向与交界面的法线成i角（i称入射角），反射波的传播方向与交界面的法线成i角（i称反射角），折射波的传播方向与交界面法线成r角（r称折射角），如图所示，则有：iisinivsinrv式中，v为波在入射媒质中的传播速度，v为波在折射媒质中的传播速度。式称为波的反射定律，式称为波的折射定律。弦上的波在线密度不同的两种弦的连接点也发生反射与透射。当弦上有向上波脉冲经自由端发射时，自由端可看成新的振源，故反射波仍为向上的波脉冲，只是波形左、右颠倒，犹如反射波是入射波的反向延伸，如图（a）所示。当弦上有向上波脉冲经固定端反射时，固定端也可看成新的“振源”，又牛顿第三定律，固定端对弦的作用力方向与原脉冲对弦的作用力相反，故反射脉冲向下，即波形不仅左、右颠倒，上、下也颠倒，这时反射波可看成入射波反向延伸的负值，如图（b）所示。将周期波看成一系列连续脉冲，周期波经自由端或固定端的反射也可由此得出。当波在传播过程中遇到障碍物时，会偏离原来传播方向，绕过障碍物边缘而展衍，这种现象称为衍射，如图所示。由于衍射，声波可绕过门、窗而到达室外，光可绕过小孔边缘而到达几何阴影区。障碍物线度（如小孔直径）越小，波长越长，衍射现象越明显。（五）波的叠加和干涉（五）波的叠加和干涉1、波的叠加大量事实证明，若有几列波同时在介质中传播，不管它们是否相遇，它们都各自以原有的振幅、波长和频率独立传播，彼此互不影响。例如，房间里人们在交谈，同时还播放着音乐，但决不会因此而改变说话人的声音，同样，欣赏音乐的人也不会由于旁边有人说话而使音乐旋律发生变化。正由于两列波互相独立地传播，因此，在两波相遇处体元的位移等于2、波的干涉若两列波同时在介质中传播且相遇，相遇处质点的位移等于各分波所引起的位移的矢量和。由于振动方向不同、频率各列波单独传播时在该处引起的位移的矢量和，这就叫做波的叠加原理。不同，在相遇处引起的合振动往往是很复杂的。但如果这两列波满足一定条件，则两波相遇各点的合振动能各自保持恒定振幅而不同位置各点的大小不同的合振幅振动，这种现象称为波的干涉。能够形成波的干涉的两列波必须满足下列条件：第一，两列波具有相同的振动方向；第二，两列波频率相同；第三，两列波在空间每一点引起的分振动都具有固定的位相差。现在对产生干涉现象的条件再作些讨论。如图所示，设两列平面简谐波相遇，它们的波方程分别是：y1 A1cos(1t k1x1)y2 A2cos(2t k2x 2)两波相遇处发生振动的合成，两波在任意一点分振动的位相差为：(1t k1x1)(2t k2x2)(12)t(k1xk2x)12欲保持一定，必须12，即两波有相同的频率。又从上式看来，似乎频率相同，也便完全能够保证固定位相差了，为什么还要在相干条件中除频率相同外强调固定位相差呢？因为，上面公式仅针对连续不断两列简谐波叠加的情况，但对于某些波源，例如光源，实际上不可能连续发出光波。光波是处于激发状态的原子从较高能级跃迁至较低能级时辐射出的波动，是断断续续进行的，对于互相独立的两个光源即使频率相同，但发光的断断续续完全处于无规则的状况，谈不上相互的配合，因此不能保证固定的位相差。相互独立的两个光源，实际上不可能形成干涉，为实现光的干涉，必须采取适当的措施。另外顺便指出，光波的干涉，表现为空间各点光的强度不同而形成明暗相间的花纹。3、驻波频率相同、振幅相等、振动方向一致、传播方向相反的两列简谐波互相叠加，便形成驻波，设坐标原点的振动方程为y Acost，则满足上述条件的两列简谐波的波动方程分别为：2y2 Acos(t x)叠加所合成波的方程为：yy1 Acos(t 2x)22 y1 y2 2Acos(x)cost。式中，2Acos(x)是此合成波的振幅，它与x有关。振幅最大处称为波腹，振幅最小处称为波节。波腹的位置为：x k波节的位置为：x2.(k 0,1,2,)1(k).(k 0,1,2,)2 2相邻两波腹（或波节）之间的间距为，如图所示。2驻波事实上是一维介质中的干涉。要注意驻波现象中两相二、多普勒效应二、多普勒效应波在同一介质中传播的速度是恒定的，不会因波源运动而改变，也不因观察者运动而改变。但当波源（或观察者）相邻波节间质点振动同相，两相邻波腹振动反相。对介质运动时，观察者所接收到的频率却可以改变。当我们站在铁路旁，有火车迎面开来时，汽笛声会由高亢变为低沉，就是这个缘故反之，亦有类似现象，这种由于波源或观察者（或两者）相对介质运动而造成的观察者接收频率发生改变的现象，称为多普勒效应。为简单起见设波源或观察者的运动都在波源与观察者的连线上，并以v表示观察者相对介质的速度，以趋近波源为正；（一）波源静止，观察者运动这时u以u表示波源相对介质的速度，以趋近观察者为正；介质中的波速V。以下分三种情形讨论：0，v 0。所谓观察者的接收频率，就是单位时间内通过观察者的完整波长数。波在 1 s 内相对介质行进了距离V，当观察者不运动时，波在 1 s 内相对V观察者也进行了V，观察者接收到的频率为f。由于观察者运动，1 s 内波相对观察者进行了V v，故观察者接收到的频率为：V vVvV vf(1)fVV如图所示。当v 0时，f f，当v 0时，f f。（二）波源运动，观察者静止这时u 0，v 0，波在 1 s 内相对观察者行进的距离仍为V，但由于波源运动，使波长缩短。当波源静止时，相邻两位相相等的等相面之间的距离为。波源运动时，当第一个等相面自波源发出后，该面即以速度V向前行进，在第二个同位相的等相面发出时，波源已向前移动了uT的距离，而这时第一个等相面已向的距离，如果两同位相等相面之间的距离变为uT，这就是现在的波长，如图所示，则：uT前进了VT故观察者接收到的频率为：f VVuTVu(1)VVfV u上式所表述的多普勒效应现象中，波的频率和波速尽管没有改变，由于波源的（三）波源和观察者都运动这时u移动，波上每个质点的振动频率不再等于波的频率。0，v 0，只要把一、二结合起来，即可得到波源和观察者都运动时观察者接收到的频率：V vV vV vf fuT(1u)V uV三、激波现象和音障三、激波现象和音障若波源的速度大于波的传播速度，波面的包络面会形成如图所示的锥形，称为马赫锥。由于波的传播速度不会超过波源的速度，故马赫锥面是波的前沿，外面没有波动形成，这种现象称为激波现象，锥形顶角的一半的正弦称马赫数：sinv波v源激波现象可见于超音速飞机和水面上高速航行的船只。当飞机速度以接近声速飞行时，2，飞机前缘有大量振动能量聚集，空气被强烈压缩，严重阻碍飞机的飞行，这种现象称为音障。
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