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本章讨论简谐振动的根本规律、振动的合成和分解、电磁振荡。1.振动是一种重要的运动方式 2.振动有各种不同的方式 机械振动：位移 x 随时间 t 的往复变化 电磁振动：电场、磁场等电磁量随 t 的往复变化 微观振动：如晶格点阵上原子的振动 广义振动：任一物理量(如位移、电流等)在某一数值附近反复变化。3.振动分类 l简谐振动：物体分开平衡位置的位移按余简谐振动：物体分开平衡位置的位移按余弦函数弦函数(或正弦函数或正弦函数)的规律随时间变化。的规律随时间变化。l简谐振动的特征及其表达式简谐振动的特征及其表达式 l1.表达式表达式(运动学方程运动学方程)x t 的关系曲线称振动曲线 0costAx简谐振动的特点简谐振动的特点:动力学特点动力学特点 线性恢复力线性恢复力(力和位移正比而反向，具有力和位移正比而反向，具有F=-kx的的方式方式)。用动力学的言语可以说：在线性恢复力的作用下，用动力学的言语可以说：在线性恢复力的作用下，质点作简谐振动质点作简谐振动 运动学特点：运动学特点：(1)是等幅振动是等幅振动 (2)是周期振动是周期振动 x(t)=x(t+T)物体作简谐振动时的速度和加速度物体作简谐振动时的速度和加速度速度也是简谐振动，任何一个物理量，假设它随时间按余弦函数(或正弦函数)的规律变化，就说这个物理量按简谐振动的规律随时间变化。加速度也是简谐振动 00sinsintvtAdtdxvm00222coscostatAdtxdaml描画简谐振动的特征量描画简谐振动的特征量 ：振幅、周期、频率和相位：振幅、周期、频率和相位l1.1.振幅振幅 (amplitude)A(amplitude)A：最大位移的绝对值：最大位移的绝对值(A(A恒恒0)0)l2.2.周期和频率周期和频率(反映振动的快慢反映振动的快慢)l周期周期(period)T(period)T：振动一次所需时间。：振动一次所需时间。l频率频率(frequency)n(frequency)n：单位时间内的振动次数。：单位时间内的振动次数。n=n=1/T(1/T(单位：单位：Hz)Hz)l角频率角频率(angular frequency)(angular frequency)：2p2p秒内的振动次数。秒内的振动次数。=2=2n=2 n=2 /T(/T(单位：单位：1/S1/S或或rad/S)rad/S)l固有角频率固有角频率(natural angular frequency)(natural angular frequency)3.相位(phase)(1)(t+)是t 时辰的相位。(2)t 时辰的相位反映t时辰的振动形状(x、u、a)。由x=Acos(t+)(3)初相(initial phase)是 t=0时辰的相位。(t=0称时间零点，是开场计时的时辰，不一定是开场运动的时辰)。l 简谐振动的描画方法简谐振动的描画方法 l1.解析法解析法(由振动表达式由振动表达式)l2.曲线法曲线法(由振动曲线由振动曲线)l3.旋转矢量法旋转矢量法(rotational vector)l(1)旋转矢量长度旋转矢量长度=A；以以 为角速度为角速度绕绕 o 点逆时针旋转；点逆时针旋转；t=0 时矢量与时矢量与 x 轴的夹角为轴的夹角为 l(2)矢量端点在矢量端点在 x 轴上的投影做简谐振动轴上的投影做简谐振动 l相位差相位差(phase difference)-相位之差相位之差l对两同频率的简谐振动，相位差等于初相差对两同频率的简谐振动，相位差等于初相差l同相和反相同相和反相 l 当当=2k，(k=0,1,2,)，两振动步伐一两振动步伐一样，称同相样，称同相(in-phase)。=(2k+1)，(k=0,1,2,)，两振动步伐相反，称反相两振动步伐相反，称反相(antiphase)。l领先和落后领先和落后 l 假设假设 =2-1 0,那么那么x2比比x1较早到达正较早到达正最大，称最大，称x2 比比x1领先领先(或或x1比比x2落后落后)。l领先、落后以领先、落后以 的相位角的相位角(或以或以 T/2的时间间隔的时间间隔)来判别。来判别。l简谐振动的能量简谐振动的能量l(1)动能动能Ek l(2)势能势能Epl(3)机械能机械能 E=Ek+Ep l振动系统的能量正比于振幅的平方振动系统的能量正比于振幅的平方l 简谐振动系统机械能守恒，能量没有输入，简谐振动系统机械能守恒，能量没有输入，也无损耗，各时辰的机械能均等于起始能量也无损耗，各时辰的机械能均等于起始能量E0(t=0时输入系统的能量时输入系统的能量)。l无阻尼自在振动：一个振动物体不受任何阻力的影响，只在无阻尼自在振动：一个振动物体不受任何阻力的影响，只在回复力作用下所作的振动。回复力作用下所作的振动。“自在：振动过程中，没有外界驱动力作功自在：振动过程中，没有外界驱动力作功(机械振动情形机械振动情形)；“无阻尼：振动过程中，没有能量损耗，因此，系统作无阻无阻尼：振动过程中，没有能量损耗，因此，系统作无阻尼自在振动时，振动能量必然守恒。尼自在振动时，振动能量必然守恒。l阻尼自在振动：在回复力和阻力作用下的振动。阻尼自在振动：在回复力和阻力作用下的振动。阻尼(damp)：耗费振动系统能量的缘由 阻尼种类：摩擦阻尼、辐射阻尼 阻尼振动的振动方程和表达式 1.阻力 2.振动方程 此方程的解应分三种情形讨论：0 称作过阻尼称作过阻尼(overdamping)=0 称作临界阻尼称作临界阻尼(critical damping)dtdxvFf2000,costeAxtdtdxkxdtxdm22三种阻尼情形的振动曲线：0(过阻尼)和=0(临界阻尼)情形下，阻尼振动微分方程的解将是非振动性的运动。运动物体连一次振动也不能完成，能量即已耗光，物体渐渐移向平衡位置。临界阻尼情形下，物体回到平衡位置并停在那里，所需时间最短。l受迫振动：振动系统在周期性外力驱动力受迫振动：振动系统在周期性外力驱动力driving driving force)force)作用下的振动。作用下的振动。l1.1.系统受力：以弹簧振子为例：弹性力系统受力：以弹簧振子为例：弹性力 -kx-kx 阻尼力阻尼力 周期性驱动力周期性驱动力 l2.2.振动方程：由牛顿定律有振动方程：由牛顿定律有 l3.3.稳态解：稳态解：tFdtdxkxdtxdmcos0220costAxl4.特点：稳态时的受迫振动是简谐振动(但它不是无阻尼自在谐振动)。l(1)角频率：等于驱动力的角频率 l(2)振幅：系统作等幅振动(虽有阻力耗费能量，但同时有驱动力作功对系统输入能量，系统仍可维持等幅振动)。其振幅由系统参数(0)、阻尼()、驱动力(F0,)共同决议。A的大小敏感于和0的相对大小关系，而和初始条件(x0、v0)无关。l(3)初相：决议于0、和，与初始条件无关。l共振共振:l位移共振位移共振(displacement resonance)(displacement resonance)：当驱动力的角频率：当驱动力的角频率等于个适当数值等于个适当数值(称共振角频率称共振角频率)时，振幅出现极大值、时，振幅出现极大值、振动很猛烈的景象。振动很猛烈的景象。l (1)(1)共振角频率：共振角频率：l(2)(2)共振振幅：共振振幅：l速度共振速度共振(velocity resonance)(velocity resonance)：当驱动力的角频率正好：当驱动力的角频率正好等于系统等于系统 的固有角频率时，速度幅达极大值的景象。的固有角频率时，速度幅达极大值的景象。l (1)(1)共振角频率：共振角频率：l (2)(2)共振时速度的幅值：共振时速度的幅值：l (3)(3)共振时速度的初相：共振时速度的初相：l即速度共振时，速度与驱动力同相，一周期内驱动力总作即速度共振时，速度与驱动力同相，一周期内驱动力总作正功，此时向系统输入的能量最大。正功，此时向系统输入的能量最大。l同不断线上同频率的简谐振动的合成同不断线上同频率的简谐振动的合成 l同不断线上不同频率的简谐振动的合成同不断线上不同频率的简谐振动的合成 l相互垂直的同频率的简谐振动的合成相互垂直的同频率的简谐振动的合成 l相互垂直的不同频率的简谐振动的合成相互垂直的不同频率的简谐振动的合成 l同不断线上同频率的简谐振动的合成同不断线上同频率的简谐振动的合成 l1.分振动：一物体同时参与两个在同不断线上的分振动：一物体同时参与两个在同不断线上的同频率的简谐振动，其表达式为同频率的简谐振动，其表达式为l2.合振动：合振动：x=x1+x2 l l合振动是简谐振动，其角频率仍为合振动是简谐振动，其角频率仍为 l式中式中A、0的值分别为的值分别为1011costAx2022costAx20210121coscostAtAxxx0costAx2021012021011020212221coscossinsincos2AAAAtgAAAAA3.两种特殊情况(1)假设两分振动同相，那么 A=A1+A2，两分振动相互加强(2)假设两分振动反相，那么A=|A1-A2|，两分振动相互减弱。如再有A1=A2，那么A=0。此情形下，“振动加振动等于不振动。l同不断线上不同频率的简谐振动的合成同不断线上不同频率的简谐振动的合成l1.1.分振动：分振动：设为设为 l l2.2.合振动：合振动：x=x1+x2 x=x1+x2 0111costAx0222costAx02211121coscostAtAxxx合振动不是简谐振动,当 A1=A2=A 时，012122cos2cos2ttAx合振动可看作振幅缓变的简谐振动 3.迫(beat)：合振动的周期性的时强时弱的景象拍频(beat frequency)：单位时间内合振动加强或减弱的次数，或振幅变化的频率。012122cos2cos2ttAx实例：双簧管(oboe)，钢琴(piano)调音 121221迫l相互垂直的同频率简谐振动的合成相互垂直的同频率简谐振动的合成l1.1.分振动：一个质点同时参与两个相互垂直的同频率简谐振分振动：一个质点同时参与两个相互垂直的同频率简谐振动动 l2.2.合运动合运动 位移：是两个分振动位移的矢量和。位移：是两个分振动位移的矢量和。l轨迹方程：轨迹方程：l合运动普通不是简谐振动合运动普通不是简谐振动 (1)(1)合运动普通是在合运动普通是在2A1(x2A1(x向向)、2A2(y2A2(y向向)范围内的一个椭范围内的一个椭圆圆 。l (2)(2)椭圆的性质椭圆的性质(方位、长短轴、左右旋方位、长短轴、左右旋)在在A1A1、A2 A2 确确定之后，主要决议于相位差定之后，主要决议于相位差 。101costAx202costAy10202102021222212sincos2AAxyAyAxl相互垂直的不同频率简谐振动的合成相互垂直的不同频率简谐振动的合成 l 其情形复杂，轨迹曲线普通不稳定其情形复杂，轨迹曲线普通不稳定(随随 t t 变化变化)，也不一定闭合。两个常见的简单情形如下：也不一定闭合。两个常见的简单情形如下：l(1)(1)假设两分振动频率相差很小那么相位差可近似看假设两分振动频率相差很小那么相位差可近似看作两同频率的振动的合成，而相位差随作两同频率的振动的合成，而相位差随t t缓慢变化。缓慢变化。于是合运动轨迹将按图于是合运动轨迹将按图151532 32 给出的外形依次缓慢给出的外形依次缓慢变化。变化。l(2)(2)假设两振动的频率成简单整数比，那么轨迹为稳假设两振动的频率成简单整数比，那么轨迹为稳定的闭合曲线，称李萨如图形定的闭合曲线，称李萨如图形(Lissajous figures)(Lissajous figures)。曲线的详细外形和两频率的比值及初相位的大曲线的详细外形和两频率的比值及初相位的大 小有小有关。关。
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