向量的内积、长度及正交性.ppt

第一节 向量的内积、长度及正交性 相似矩阵及二次型 一、向量的内积及其性质 二、正交向量组、规范正交基 三、正交矩阵、正交变换 四、小结 思考题 返回 上页 下页 一 、向量的内积 1. 向量的内积 规定 和 的 内积 为 定义 1 设两个 n 维向量 ， nn b b b a a a 2 1 2 1 , nn bababa 2211, n 维向量的内积是 几何向量内积 (也称为点积、点乘、 数量积、标量积 )的推广 . (即，对应分量的乘积之和 ) 返回 上页 下页 说明 nn bababa 2211 TT ,则，内积可用矩阵记号表示为 n n T b b b aaa 2 1 21 ),( (1) 当 和 都为 列向量 时 (一般做法 )， n n T a a a bbb 2 1 21 ),( nn bababa 2211 返回 上页 下页 0, 0，等号成立当且仅当 . ； , (交换律 ) ； , kk (结合律 ) ； , (分配律 ) 根据定义，容易证明 内积具有如下运算性质 ： (设 , , 为 n 维实向量， k 为实数 ) , (2) 若已知 是行向量， 为列向量，则内积应为 上页 下页 2. 向量的长度 (2) 任意非零向量 ，可通过长度进行 单位化 ， 是单位向量 . 即， 定义 2 设 n 维向量 22221, naaa 规定 的 长度 (或 范数 )为 , 2 1 na a a (1) 若 ，则称向量 为 单位向量 . 1说明 返回 返回 上页 下页 例 1 已知 , 0 1 3 2 , 0 1 2 1 解 60)1(21 2222 计算两个向量单位化后的内积 . 14 , 212 5 146 001)1()3(221 , 返回 上页 下页 证 参见 . 定理 1 向量的内积满足 222, 即 , 2 (称为 Cauchy-Schwarz不等式 ) 向量长度的性质 ： ； kk (齐次性 ) (三角不等式 ) 性质 显然成立， 性质 的证明参见 . 附录 1 附录 2 , 0 等号成立当且仅当 ； (非负性 ) O 根据定义，如果非零向量 , 的内积 ，则 夹角 = 90o ；反之亦然 . 0, 返回 上页 下页 3. 向量的夹角 定义 3 规定 n 维向量 和 的 夹角 为 ,a r c c o s 定理 2 非零向量 , 正交 (或垂直 )的充要条件是 0, 说明 由于零向量与任何向量的内积为零，因此，也 可以说零向量与任何向量正交 . 因此 返回 上页 下页 对于齐次线性方程组 Amn x=O，即 0 0 0 2 1 21 22222 11211 nmnmm n n x x x aaa aaa aaa Ax=O 的每个解向量都和矩阵 A 的每个行向量正交 . 因此， Ax=O 的解集 (即解空间 )就是 与 A 的行向量都 正交的全部向量的集合 . 这是 Ax=O 的解空间的一个基本性质 . 返回 上页 下页 例 2 已知 R3 中的两个向量 正交， 1 2 1 , 1 1 1 21 求一个非零向量 3，使得 1, 2, 3 两两正交 . 分析 已知 1, 2 相互正交，故只需求出与 1, 2 都 正交的一个向量 . 以 作为行向量构成矩阵 ， ATT 21 , T1 T2 1 1 1 1 2 1 则 Ax=O 的解和 正交 (亦和 1, 2 正交 ). TT 21 , 返回 上页 下页 令 121 111 2 1 T T A 建立齐次线性方程组 Ax=O， 解方程组 (过程略 )，可得基础解系 1 0 1 解 于是，和 1, 2 都正交的非零向量 3 可表示为 ( k 为非零实数 ) k3 0 0 121 111 3 2 1 x x x 即 返回 上页 下页 二 、正交向量组、规范正交基 设 是非零正交向量组， s 21 ， 1. 正交向量组 0 iTiii ， )( 0 jijTiji ， ),2,1,( sji 即 (非零 ) (正交 ) 一组两两正交且不含零向量的向量组， 称为 非零正交向量组 . 定理 3 非零正交向量组是线性无关的 . 证 返回 上页 下页 设 (*) Okkk ss 2211 对 (*) 式两端同时左乘 ，得 0 2211 sskkk T1 T1 T1 T1 由于各向量两两正交，故 00 0 11 k T1 其中 ，因此，必有 . 0 1 T1 01 k 同理，对 (*) 式两端同时左乘 ，可得 . Ti 0ik 证毕 证明 线性无关，就是要证明上式中的组 合系数 ),2,1( sik i s 21 ， 必须全为零 . 返回 上页 下页 2. 规范正交基 例如， 是 R2 的一个规范正交基 . 3/1 3/2 3/2 3/1 ， 是正交单位向量组，则称 定义 4 设 是 r 维向量空间 V 的一组基 . r 21 ， r 21 ， 如果 r 21 ， 是 V 的一个 规范正交基 . 一组两两正交的单位向量，称为 正交单位向量组 ， ,0 ,1 ji ji ji 若 若， 即 设 是向量空间 V 的一组规范正交基， 返回 上页 下页 r 21 ， rxxx 22211 设 ) ( 21 r ， rx x x 2 1 , , , 2211 jrrjj xxx , j 证 , , 22211 jrj xxx 则 00 ,000 jjjx jx ),2,1( rj 则向量 在这组基下的坐标向量的第 j 个分量为 基 坐标向量 返回 上页 下页 3. 施密特 (Schimidt)正交化方法 施密特正交化方法： 一组线性无关的非零向量 与 等价的正交单位向量组 r 21 ， 作特定的线性运算 r 21 ， 返回 上页 下页 施密特正交化方法的基本步骤和思路： 设 是一组线性无关的非零向量 . r 21 ， 取 122 21k 求 ，使得 ，即 2 和 1正交 . 0, 12 21k 11212 , , 21k 1112 , , 21k 0 取 11 11 12 , , 21k得 返回 上页 下页 取 2133 31k 32k 令 ， ，可得 0, 13 0, 23 11 13 , , 31k 22 23 , , 32k 于是， 2 22 231 11 1333 , , , , 于是 1 11 1222 , , 返回 上页 下页 不断重复以上步骤，直到最后有 111 1222 2111 1 , , , , , , r rr rrrrrr 通过的 正交化 步骤， 得到正交向量组： r 21 ， ),2,1( rj j j j 即 (作为练习，证明 都是非零向量 ) r 21 ， 最后，再 将 单位化 为 ， r 21 ， r 21 ， 返回 上页 下页 施密特正交化步骤 小结 ： 首先将线性无关的非零向量组 正交化 ： r 21 ， 令 11 111 1222 , , 222 23111 1333 , , , , 111 1222 2111 1 , , , , , , r rr rrrrrr 返回 上页 下页 r 21 ， 再将得到的 正交向量组 单位化 ： , , 1 11 , 2 22 r rr 这是因为：对一组线性无关的单位向量正交化后 , 可能不再是单位向量 . 说明 (1) 正确的顺序是 先 正交化， 再 单位化 . (2) 向量空间的基一般不是规范正交基，但是可以通 过施密特正交化步骤，构造出一组规范正交基，这 称为：对基进行 规范正交化 . 1 2 1 6 4 1 3 1 ; 3/5 3/5 3/5 返回 上页 下页 例 3 0 1 4 , 1 3 1 , 1 2 1 321 解 用施密特正交化方法将这组基规范正交化 . 设 R3 的一组基为 ;11 1 11 1222 , , 取 2 22 231 11 1333 , , , , 首先将 正交化 ： 321 , 3/5 3/5 3/5 3/25 3/25 1 2 1 6 2 0 1 4 3 2 0 2 返回 上页 下页 再把 单位化 ， 321 , , 6/1 6/2 6/1 6 1 1 11 2 22 3 33 8 3 2/1 0 2/1 , 3/1 3/1 3/1 3/25 2 返回 上页 下页 例 4 已知 , 1 1 1 解 令矩阵 ， )1 ,1 ,1( TA ( 的解 与 A 的行向量 正交，亦即与 正交 ) OAx T 求两个向量，与 共同构成非零正交向量组 . .0)1 ,1 ,1( 3 2 1 x x x OAx 即 建立方程组 ， 返回 上页 下页 1, 2 线性无关，且 都与 正交 . 再将 1, 2 正交化： 1 11 1222 , , 11 取 , 1 0 1 2/1 1 2/1 于是， 是一个非零正交向量组 . 21 , , . 1 1 0 , 1 0 1 21 解 Ax=O，得基础解系 三 、正交矩阵、正交变换 返回 上页 下页 1. 正交矩阵 定义 5 若 n 阶方阵 A 满足 ATA=E，则 A 为 正交矩阵 . 根据定义，容易证明如下 正交矩阵的性质 ： 设 A, B 皆为 n 阶正交矩阵，则 (即 ) 也是正交矩阵； AB 也是正交矩阵； ; 1 TAA 1A TA ; 1 1 或A 返回 上页 下页 按列分块为 ), , , ,( 21 n 设 ， nnnn n n aaa aaa aaa A 21 22222 11211 证 定理 4 A为 n 阶正交矩阵的充要条件是： A 的列向量 组是正交单位向量组 . ) , , ,( 212 1 n T n T T T AA 21 212 121 T n T n n TT n TT 11T nTn 22 T 返回 上页 下页 说明 Rn 的规范正交基是“ (含 n 个 n 维向量的 )正交单位向 量组” . 因此，定理 4 亦可表述为 A为 n 阶正交矩阵的充要条件是： A 的列向量组是 Rn 的一组规范正交基” . 因此， 的充要条件是： EAA T 1, ii iTi )( 0, jijijTi ),2,1,( nji 证毕 返回 上页 下页 2 1 2 1 00 00 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 A A 的列向量都是单位向量，且两两正交， 例 4 验证 是正交矩阵 . 解 故 A 是正交矩阵 . 返回 上页 下页 2. 正交变换 【 回顾 】 从变量 x1, x2, , xn 到变量 y1, y2, , ym的 “线性变换 ”可表示 为 . , , 2211 22221212 12121111 nmnmmm nn nn xaxaxay xaxaxay xaxaxay mnmm n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 nx x x 2 1 my y y 2 1 即 , 记作 y=Ax. 返回 上页 下页 定义 6 若 A 为正交矩阵，则线性变换 y=Ax 称为 正交变换 . ； , AA ； A ,a r c c o s,a r c c o s AA AA 即 正交变换的性质 设： n 维列向量 , A, A (A为正交矩阵 )， 则向量的 内积 与 长度 以及 向量间的夹角 都保持不变 . 正交变换 返回 上页 下页 证 设 A为正交矩阵， )()(, AAAA T ,T )( AA TT )()(, AAAAA T T )( AA TT ,a r c c o s,a r c c o s AA AA由前两式，立即有 (向量间的夹角不变 ) (向量的内积不变 ) (向量的长度不变 ) 返回 上页 下页 ;)3( 1 TAA ; )2( EAAEAA TT 或 2. 下列条件等价 : (1) A 为 n 阶正交矩阵； 四 、小结 1. 施密特正交化方法 ：由一组线性无关的非零向量 组，通过特定的线性运算，构造出一组正交单位 向量组 . 利用施密特正交化方法，可将向量空间的基 规范 正交化 . )4( A 的列向量组 (或行向量组 )是正交单位向量组； )5( A 的列向量组 (或行向量组 )是 Rn 的规范正交基 . (注意正确顺序是先正交化、再单位化 ) 返回 上页 下页 已知行向量 1 ,1 ,1 ,11 1 ,1 ,1 ,12 3 ,1 ,1 ,23 思考题 求：与 正交的一个单位行向量 . 321 , 返回 上页 下页 思考题解答 用行向量构成矩阵 3112 1111 1111 3 2 1 A 由于 Ax=O 的解向量 x (列向量 )与 正交 . 321 , 故， x 的转置 xT 亦与 正交 . 321 , 解齐次线性方程组 Ax=O，得基础解系 1 3/1 0 3/4 于是， 与 正交 . )0( kk T 321 , 再将 单位化， 返回 上页 下页 )0( kk T 为方便计算，令 T 3 )3 ,1 ,0 ,4( 则， 2222 3)1(0)4( )3 ,1 ,0 ,4(261 就是与 正交的单位行向量 . 321 , 返回 上页 下页 Cauchy-Schwarz不等式 , 证 附录 1 (1) 当 =O 时， Cauchy-Schwarz不等式显然成立 . (2) 当 O 时， ，)( Rtt 根据内积的运算性质 ，有 ,0, 0 作向量 0 , tt 返回 上页 下页 再利用内积的运算性质 ， 得 0 , ,2 , 2 tt 上式左端为 t 的二次三项式，且 t 2 的系数 0 , 因此， 0 , ,4 ,4 2 即 22 2 , , , 证毕 返回 上页 下页 三角不等式 证 附录 2 根据 Cauchy-Schwarz不等式，有 ,2 , ,2 , , 22 ,2 因此 ， 2222 2 由于向量长度具有非负性，故 证毕