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关于焦点三角形与焦点弦(1)椭圆上一点与两个焦点所构成的称为焦点三角形。设,则有:P ,当(即为短轴顶点)时,最大,此时 的面积当(即为短轴顶点)时,最大,且 AB(2)经过焦点或的椭圆的弦,称为焦点弦。设,的中点为,则弦长 (左焦点取“+”,右焦点取“-”)当轴时,最短,且关于直线与椭圆的位置关系问题常用处理方法1 联立方程法:联立直线和椭圆方程,消去,得到关于的一元二次方程,设交点坐标为,则有,以及,还可进一步求出。在涉及弦长,中点,对称,面积等问题时,常用此法2 点差法:设交点坐标为代入椭圆方程,并将两式相减,可得,在涉及斜率、中点、范围等问题时,常用此法典例剖析1 求椭圆的标准方程【例2】设椭圆的左焦点为,上顶点为,过点作的垂线分别交椭圆于,交轴于,且(1)求椭圆的离心率。(2)若过三点的圆恰好与直线相切,求椭圆的方程。【解】(1)由已知可得: 由可得:,将点坐标代入椭圆方程可得:。 即 (2)由(1)得:,圆心为,半径于是有:(圆心到直线距离), 所以 。故椭圆方程为:【例4】已知椭圆的中心在原点,短轴长为,右准线交轴于点,右焦点为,且,过点的直线交椭圆于两点(1)求椭圆的方程(2)若,求直线的方程(4)求的最大面积【解】(1) 椭圆方程为:(2)设直线的方程为:,且设联立 消去,得:则 从而求得:由 得 : ,求得 所以的方程为:(4)由(1)得:令 , 则 当且仅当,即时,取“”所以的最大面积为2 椭圆的性质【例6】已知椭圆的两个焦点分别为,在椭圆上存在一点,使得(1)求椭圆离心率的取值范围(2)当离心率取最小值时,的面积为,设是椭圆上两动点,若线段的垂直平分线恒过定点。求椭圆的方程;求直线的斜率的取值范围。【解】(1)设椭圆短轴的端点为B,由已知及椭圆的性质得: 所以,从而 ,即,又, 所以,得:,所以 。(2)当取得最小值时,在短轴顶点,所以, 又, 故求得:。 所以椭圆方程为:设,设直线的方程为,的垂直平分线方程为:联立消去得:则有 即 又有: 从而所以的中点为 。又在的垂直平分线上,所以, 即 将代人求得:求取值范围问题通常要建立不等式,关于不等式的来源有以下几种情况:(1)已知不等式;(2)椭圆上的点的横坐标满足;(3);(4)椭圆内部的点满足; 【例7】椭圆的中心在原点,焦点在轴上,斜率为的直线过椭圆的右焦点与椭圆交于两点,与向量共线。(1)求椭圆的离心率(2)设为椭圆上任一点,若,求证:为定值【解】(1)设椭圆方程为 ,设, 由已知:直线AB的方程为:,代入椭圆方程,得: , 由韦达定理得:,易知: 因为与向量共线,所以 , 而,所以, 即 ,于是有: 又 ,所以,故有:。(2)由(1)得:,所以椭圆方程为:,即,直线AB的方程为:,于是有:,从而,。于是。设,由已知:,将M的坐标代入椭圆方程得:, 即, 于是有:。 故为定值。【例8】已知为椭圆上一动点,弦分别过焦点,当轴时,恰有. (1)椭圆的离心率(2)设,判断是否为定值?【解】(1)当轴时,从而 依定义有,所以 而,所以 ,即 。(2)由(1)可知椭圆方程为:, 设若的斜率都存在,则直线的方程为 代入椭圆方程,并整理得:由韦达定理有由已知:;同理可得: 所以若有一个斜率不存在,不妨设轴则 所以 综上所述为定值。3. 最值问题【例11】已知椭圆,是垂直于轴的弦,直线交轴于点, 为椭圆的右焦点,直线与交于点(1)证明:点在椭圆上(2)求面积的最大值【解】(1)由已知。设,则且,与的方程分别为:联立两直线的方程求得: 即 因为, 所以点在椭圆上(2)设直线的方程为(过焦点)且联立则由:所以 所以令,函数递增, 所以当时,取得最小值,故当时,取得最大值【例14】已知椭圆的左,右焦点分别为,过的直线与椭圆交于两点(1)求的面积的最大值(2)当的面积最大值时,求的值【解】(1)由已知得: 设直线的方程为,且设联立则有:由已知可得:令易证函数在上递增(*),所以当时,取得最小值,故当时,取得最小值, 故的最大值为。(2)当最大值时,从而,而所以4 直线与椭圆的位置关系【例16】已知是椭圆的左,右焦点,直线与椭圆相切。(1)分别过作切线的垂线,垂足分别为,求的值(3)设直线与轴,轴分别交于两点,求的最小值。【解】(1)设直线的方程为,由已知: ,。 所以 ;。 于是。 联立,消去y,的:。 因为直线与椭圆相切,所以 。 所以 为定值。 (2)易知:,。 所以 。当且仅当,即时取等号。 所以 。【例17】已知椭圆,过点作直线与椭圆顺次交于两点(在之间)。(1)求的取值范围; (2)是否存在这样的直线,使得以弦为直径的圆经过坐标原点?若存在,求的方程,若不存在,说明理由。【解】(1)方法一:(联立方程法)当直线的斜率存在时,设直线的方程为且设。联立, 消去,并整理得:则有, 求得:又有 设 ,则有,即 从,中消去可得:而 , 所以 。 而 ,故求得:)当直线的斜率不存在时,综上所述, 的取值范围是方法二:(点差法) 设, 则有:, 所以,即于是有 (1)(2) 得:,即 由已知, ,所以 而, 所以 (2)假设满足条件的直线存在,设,则由(1)可知: 从而求得:于是有: 满足 故满足条件的直线存在,且直线方程为:或【例19】(2010江苏)已知椭圆的左,右焦点为,左,右顶点为,过点的直线分别交椭圆于点(1)设动点,满足,求点的轨迹方程(2)当,时,求点的坐标(3)设,求证:直线过轴上的定点【解】(1)由题意知:,设,则 , 化简整理得: (2)把代人椭圆方程,分别求出: , 直线 ; 直线 、联立,得: (3)由已知: ,直线与椭圆联立,得:直线与椭圆联立,得:直线的方程为:化简得令,解得,即直线MN过X轴上定点。三 解题小结1. 离心率是圆锥曲线的重要性质,求离心率及其取值范围,就是寻找与或之间的关系2. 求与椭圆有关的最值问题,有三种方法:(1)几何法;(2)三角代换法;(3)转化函数,利用函数的单调性求最值3. 直线与椭圆的位置问题两种基本方法:(1)联立方程法;(2)点差法,前者涉及弦长与中点,后者涉及斜率,中点等.4. 关于椭圆的补充性质(常在解题中遇到): 椭圆的内接矩形的最大面积为. 过焦点 的直线交椭圆于P, Q两点,则当轴时,的面积最大,且最大面积为. 设右准线与轴交于点E,过E点的直线与椭圆交于P, Q两点,点与点P关于轴对称,则直线一定过椭圆的右焦点,且 . 设点P是右(左)准线上任一点(不在轴上),是椭圆的左右顶点,直线, 与椭圆分别交于两点,则直线一定过椭圆的右(左)焦点。 过右(左)焦点的直线与椭圆交于两点,是椭圆的左、右顶点,直线的交点一定在右(左)准线上。
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