数理统计参考答案

.习题一习题一1 1 设总体X的样本容量n 5，写出在以下 4 种情况下样本的联合概率分布.1X B(1,p)；2X P()；3X Ua,b；4X N(,1).解解设总体的样本为X1,X2,X3,X4,X5，1对总体X B(1,p)，15其中：x xi5i12对总体X P()15其中：x xi5i13对总体X U(a,b)4对总体X N(,1)2 2 为了研究玻璃产品在集装箱托运过程中的损坏情况，现随机抽取20 个集装箱检查其产品损坏的件数，记录结果为：1，1，1，1，2，0，0，1，3，1，0，0，2，4，0，3，1，4，0，2，写出样本频率分布、经历分布函数并画出图形.解解设i(i=0,1,2,3,4)代表各箱检查中抽到的产品损坏件数，由题意可统计出如下的样本频率分布表 1.1：表 1.1频率分布表i个数0 1 2 3 46 7 3 2 20.3 0.35 0.15 0.1 0.1fXi经历分布函数的定义式为：0,x x(1)kFn(x),xk x xk1,k=1,2,n1,x xk据此得出样本分布函数：图 1.1经历分布函数,n1,，.3 3*地区测量了 95 位男性成年人身高，得数据(单位：cm)如下：组下限组上限人数165 167 169 171 173 175 177167 169 171 173 175 177 1793 10 21 23 22 11 5试画出身高直方图，它是否近似服从*个正态分布密度函数的图形.解解图 1.2 数据直方图它近似服从均值为 172，方差为 5.64 的正态分布，即N(172,5.64).4 4 设总体*的方差为 4，均值为，现抽取容量为100 的样本，试确定常数k，使得满足P(X k)0.9.X 解解P X-k P5k4 100因k较大，由中心极限定理,所以：5k0.95X N(0,1)：4 100查表得：5k 1.65，k 0.33.5 5 从总体X N(52,6.3)中抽取容量为 36 的样本，求样本均值落在 50.8 到 53.8 之间的概率.解解P 50.8 X 53.8 P1.142921.71436.32/36X 526 6 从总体X N(20,3)中分别抽取容量为 10 与 15 的两个独立的样本，求它们的均值之差的绝对值大于 0.3 的概率.解解设两个独立的样本分别为：X1,由题意知：X和Y相互独立，且：X N(20,3，3)Y N(20,)1015,X10是总体X N(0,4)的样本，试确定C，使得P(,X10与Y1,Y15，其对应的样本均值为：X和Y.7 7 设X1,Xi1102i C)0.05.解解因Xi N(0,4)，则Xi N(0,1)，且各样本相互独立，则有：2.所以：P(Xi1102i1102 C)P(Xi4i1C4)查卡方分位数表：c/4=18.31，则 c=73.24.8 8 设总体*具有连续的分布函数FX(x)，X1,定义随机变量：试确定统计量Yi的分布.i1n,Xn是来自总体*的样本，且EXi，解解由条件得：Yi B(1,p)，其中p 1 FX().因为Xi互相独立，所以Yi也互相独立，再根据二项分布的可加性，有Yi1ni B(n,p)，p 1 FX().9 9 设X1,Xn是来自总体*的样本，试求EX,DX,ES2。假设总体的分布为：1X B(N,p);2)X P();3)X Ua,b;4)X N(,1);解解 1)EX EX Np2)EX EX 3)EX EX a b24)EX EX 1010 设X1,Xn为总体X N(,2)的样本，求nn22E(Xi X)与D(Xi X)。i1i1解解又因为(n1)S222nDX X(n1),所以：i 2(n1)4i121111 设X1,Xn来自正态总体N(0,1)，定义：Y1|X|,Y21|Xni1ni|，计算EY1,EY2.解解由题意知X N(0,1/n)，令：Y nX，则Y N(0,1)1212 设X1,Xn是总体X N(,4)的样本，X为样本均值，试问样本容量n应分别取.多大，才能使以下各式成立：1E|X|0.1；2E|X|0.1；3P(|X|1)0.95。解解 1)2X N(,4)4X X N(,)，U N(0,1)n2/n所以：n 402)令：X U N(0,1)2/n所以：E X 22 0.1n计算可得：n 2253)查表可得：n u0.9751.96,n 15.36，而n取整数，n16.2,Xn)和(Y1,Yn)是两个样本，且有关系式：Yi1b(Xi a)a,b均为常数，1313 设(X1,2，试求两样本均值X和Y之间的关系，两样本方差SX和SY2之间的关系.b 01n1解解因：Y Xiani1b所以：EY 1EX ab即：,X5是总体X N(0,1)的样本.1414 设X1,1)试确定常数c1,d1，使得c1(X1 X2)2 d1(X3 X4 X5)22(n)，并求出n；2)试确定常数c2，使得c2(X12 X22)/(X3 X4 X5)2 F(m,n)，并求出m和n.解解 1因：X1 X2 N(0,2)，X3 X4 X5 N(0,3)标准化得：X X4 X5X1 X2 N(0,1)且两式相互独立 N(0,1)，33222 X X2 X3 X4 X52故：1(2)23.可得：c111，d1，n 2.232X3 X4 X52因：X2 X22(2)，1232(1)，所以：X212 X222X3 X4 X53 F(2,1)，可得：c23,m 2,n 1.21515 设tp(n),Fp(m,n)分别是t分布和F分布的p分位数，求证t1p/2(n)2 F1p(1,n).证明证明设 F1p(1,n)，则：P(F)1 p P(F)1 p P(T)P(T )1 p 2P(T)2 p P(T)1所以：p2t2p121p2(n)故：t(n)F1p(1,n).1616 设X1,X2是来自总体X N(0,1)的一个样本，求常数c，使：(X1 X2)2.P c(X X)2(X X)2 0.12121解解易知X1 X2 N(0,2)，则X1 X2 N(0,1)；2同理X1 X2 N(0,2)，则X1 X2 N(0,1)2又因：Cov(X1 X2,X1 X2)0，所以X1 X2与X1 X2相互独立.所以：c F0.9(1,1）=39.91c.计算得：c=0.976.1717 设X1,X2,X,S为样本(X1,Xn,Xn1为总体X N(,2)的容量n1的样本，2,Xn)的样本均值和样本方差，求证：1T nXn1 Xn 1S t(n 1)；2X Xn1n1 N(0,n2)；3Xn 121 X N(0,n).解解 1因：E(Xn1X)0，D(Xn1X)n1n2所以：Xn1X N(0,n12)，Xn1Xn N(0,1)n1n又：n12S22(n1)且：Xn1X与n1相互独立n12S2nXn1Xn12所以：nn1nXn1XS2n1St(n1)2n12由 1可得：X Xn1n1 N(0,n2)3因：E(X)0，D(Xn121X1X)n所以：XN(0,n121X n)1818 设X1,Xn为总体X N(,2)的样本，X为样本均值，求n，使得P(|X|0.25)0.95.解解所以：0.25 n0.975查表可得：0.25 n u0.9751.96，即n 62.1919 设X1,Xn为总体X Ua,b的样本，试求：1X(1)的密度函数；2X(n)的密度函数；解解因：X Ua,b，所以X的密度函数为：1,xa,b，f(x)ba0,xa,b由定理：f(1)(x)n(1F(x)2020 设X1,n1f(x),X5为总体X N(12,4)的样本，试求：1P(X(1)10)；2P(X(5)15)解解2121 设(X1,布：n,Xm,Xm1,Xmn)为总体X N(0,2)的一个样本，试确定以下统计量的分1Y1mXi1mnim1mi；2Y22inXii1mnm2XmmXiim121m1mn；3Y3Xi Xi22mi1nim122解解 1因为：Xi1i N(0,m2)X所以：i1mimnm N(0,1)，im1Xi222(n)X且i1mimnm与im1Xi22相互独立，由抽样定理可得：2因为：12Xi1m2i(m)，21mnim12Xi22(n)且12Xi1m2i与1mn2im1Xi2相互独立，.nX所以：i1mnm2i1=12Xi1mnm2im F(m,n)mXi2im12im1Xi2n2mnim13因为：Xi1mi N(0,m)，mnXi N(0,n2)(Xi)所以：i1m2m222(1)，mn(Xi)2im1n22(1)(Xi)且i1m(Xi)2与im1m2n2相互独立，221m1 mn2由卡方分布可加性得：XX(2).ii22mi1nimn2222 设总体X服从正态分布N(,)，样本X1,X2,Xn来自总体X，S2是样本方2(n1)S2差，问样本容量n取多大能满足P32.672 0.95？解解由抽样分布定理：n12S22(n1),P(n12S2 32.67)0.95,查表可得：n1 21，n 22.2323 从两个正态总体中分别抽取容量为 20 和 15 的两独立的样本，设总体方差相等，S2S12,S2分别为两样本方差，求P12 2.39.S2解解设n1=20，n2=15分别为两样本的容量，2为总体方差，由题意，219S122又因S,S分别为两独立的样本方差：22122191414S2S12=2 F(19,14)S22 S12 S12所以：P2 2.391 P2 2.3910.950.05.S2S22424 设总体X N(,)，抽取容量为 20 的样本X1,X2,X20，求概率2.1P10.85 2P11.65 解解 1因(Xi)2i1202 37.57；38.58.(Xi X)2i1202Xi N(0,1)，且各样本间相互独立，所以：故：P10.85 2 37.57 0.99 0.05 0.942因：Xi120i X2219S222(19),所以：2525 设总体X N(80,)，从中抽取一容量为 25 的样本，试在以下两种情况下2P(X 80 3)的值：1 20；2未知，但样本标准差S 7.2674.解解 1X 80 2P X 80 3 P 2.0647.2674/52626 设X1,Xn为总体X N(,2)的样本，X,S2为样本均值和样本方差，当n 20时，求：1P(X 4.472);2P(|S|2222);3确定C，使P(解解 1SX C)0.90.2222222 S 2PS P222其中=219S222(19),则 3其中，T=X t(19)，则S/20.所以：20t0.9(19)=1.328,计算得：c 3.3676.c 27 27 设总体X的均值与方差 2存在，假设X1,X2,Xn为它的一个样本，X是样本均值，试证明对i j，相关系数r(Xi X,Xj X)证明证明r(Xi X,Xj X)1.n 1cov(Xi X,Xj X)D(Xi X)1.n1D(Xj X)所以：r(Xi X,Xj X)28.28.设总体X N(,2)，从该总体中抽取简单随机样本X1,X2,X2n(n 1)，X是它的样本均值，求统计量T(Xi1ni Xni 2X)2的数学期望.解解因X N(,2)，X1,X2,X2n(n 1)为该总体的简单随机样本，令Yi Xi Xni，则有Yi N(2,22)1n可得：Y Yi 2Xni1习题二习题二1 1设总体的分布密度为：(X1,Xn)为其样本，1和极大似然估计量2.现测得样本观测值求参数的矩估计量为：0.1，0.2，0.9，0.8，0.7，0.7，求参数的估计值.解解计算其最大似然估计：其矩估计为：12Xn,1所以：12nX 1ln Xii11 0.3077,2 0.2112.，2 2设总体*服从区间0,上的均匀分布，即X U0,，(X1,Xn)为其样本，1)求参数的矩估计量1和极大似然估计量2；2)现测得一组样本观测值：1.3，0.6，1.7，2.2，0.3，1.1，试分别用矩法和极大似然法求总体均值、总体方差的估计值.解解 1矩估计量：最大似然估计量：无解.此时，依定义可得：2 max Xi1in.2矩法：EX 121.2,DX 2112 0.472极大似然估计：EX 221.1,DX 2212 0.4033.3 3设X1,.,Xn是来自总体*的样本，试分别求总体未知参数的矩估计量与极大似然估计量.总体*的分布密度为：e1f(x;)0,x,x 0 x 0,0未知2f(x;)xx!e,x 0,1,2,0未知1,3f(x;a,b)b a0a x b其它，a b未知x4)f(x;)02,0 x 其它，未知1e5f(x;,)0,6f(x;,)0,(x)/,x x,0，其中参数,未知x1,0 x x,0，其中参数,未知4x 7f(x;)0,23x2e2,x 0 x 0,0未知解解 1矩法估计：EX 最大似然估计：1 X,1Xn1X.1dnnlnL xi 0,2di12)xi1ni.矩估计：EX X X,1最大似然估计：dnx XlnL n 0,2d3.baab矩估计：EX,DX 212联立方程：最大似然估计：2L(,x1xn)f(xi;)i1n1,ln L nln(ba)(ba)nd lnLn min Xi时，使得似然函数最大，0,无解，当a1indaba依照定义，a4)矩估计：min Xi，同理可得a max Xi1in1in.EX 最大似然估计：0 xdx ln x0，不存在n XlnL 0，无解；依照定义，(1).5)矩估计：1n1n2*21 X M2 X(X X),M(X X)即2ii1ni1ni1*最大似然估计：nnnln L 0,ln L 2(x)0，无解L依定义有：6)X X X X(1),L(1).矩估计：EX x01xdx M11.1解方程组可得：最大似然估计：M2M2 M1,11*M2M2M2L无解，依定义得，x(n)解得7)矩估计：最大似然估计：11nlnx(n)lnxini1.xi23n2lnL 23 0,xi2L3n.8)矩估计：最大似然估计：2nnx 2n2ln L 0,L1X.1n4.4.设总体的概率分布或密度函数为f(x;)，其中参数，记p P(X a0)，样本X,.,X.来自于总体*，则求参数p的最大似然估计量p解解记yi1,xi a0;yi 0,xi a0则YiB(1,p)；Y.p5 5设元件无故障工作时间*具有指数分布，取 1000 个元件工作时间的记录数据，经分组后得到它的频数分布为：组中值xi频数i 5 15 25 35 45 55 65 365 245 150 100 70 45 25如果各组中数据都取为组中值，试用最大似然法求参数的点估计.解解最大似然估计：1 0.05X.6 6*种灯泡寿命服从正态分布，在*星期所生产的该种灯泡中随机抽取10 只，测得其寿命(单位：小时)为：1067，919，1196，785，1126，936，918，1156，920，948设总体参数都未知，试用极大似然法估计这个星期中生产的灯泡能使用1300 小时以上的概率.1n x,(xi x)2解解设灯泡的寿命为x,x N(,),极大似然估计为：ni122 997.1,17235.81.根据样本数据得到：经计算得，这个星期生产的灯泡能使用1300 小时的概率为 0.0075.7.7.为检验*种自来水消毒设备的效果，现从消毒后的水中随机抽取50 升，化验每升水肠杆菌的个数(假定一升水肠杆菌个数服从Poisson 分布)，其化验结果如下：大肠杆菌数/升 0 1 2 3 4 56 17201021002升数li试问平均每升水肠杆菌个数为多少时，才能使上述情况的概率为最大？解解设x为每升水肠杆菌个数，x P()，Ex，由3 题2问知，的最大似然估计为x，所以所以平均每升氺肠杆菌个数为1 时，出现上述情况的概率最大.8 8 设总体X N(,)，试利用容量为n的样本X1,.,Xn，分别就以下两种情况，求出使P(X A)0.05的点A的最大似然估计量.1假设1时；2假设,均未知时.解解 11，的最大似然估计量为x，22U X所以A0.95.*2的最大似然估计量为x，2最大似然估计为M2，由极大似然估计的不变性，直U接推出A0.95M2*01234f(x;1)*X.f(x;2)f(x;3)9 9设总体*具有以下概率分布f(x;),1,2,3：1/31/301/61/61/41/41/41/40001/41/21/4求参数的极大似然估计量.假设给定样本观测值：1，0，4，3，1，4，3，1，求最大似然估计值.解解分别计算1,2,3，时样本观测值出现的概率：.1由最大似然估计可得：.1010设总体*具有以下概率分布f(x,),0,1：1,f(x;0)0,求参数的最大似然估计量.解解最大似然估计应该满足：结果取决于样本观测值0 x 1其它1,0 x 1，f(x;1)2x其它0,x1,x2xn.1111 设X1,X2,X3,X4是总体*的样本，设有下述三个统计量：1,a 2,a 3中哪几个是总体均值a=E*的无偏估计量，并指出哪一个方差最小？指出a解解2(23 4)/10，D2 0.32E1,2,3无偏，3方差最小.所以1212设总体X N(,2)，X1n11,.,Xn为其样本，1求常数k，使2(Xki1i1 Xi)为 2的无偏估计量；22求常数k，使解解 1 1令E2得k1k|Xi1ni X|为的无偏估计量.2(n1)22k2(n1).2 2令yi xi x n1xik1,kinnnxkn12N0,n.E yix2n1nex22(n1)2ndx 2n(n1)k 1313 设X2n(n1).,.,Xn是来自总体*的样本，并且12E*=，D*=2，X,S2是样本均值和样本方差，试确定常数c，使X2cS2是的无偏估计量.解解所以c 1n.1414设有二元总体(X,Y)，(X1,Y1),(X2,Y2),(Xn,Yn)为其样本，证明：是协方差Z Cov(X,Y)的无偏估计量.证明证明nnn1xik1,ki由于xi xyi y(nn所以：xkn1)(yik1,kinnyk)EC 1(n1)(n1)n(Exy ExEy)Exy ExEy cov(X,Y)Z，证毕.n1nnn 1n1n21515 设总体X N(,2)，样本为X,.,X，定义S12S是样本方差，22S2S，n 1n 12S，试比拟估计量S2,S12,S22哪一个是参数2的无偏估计量？哪一个对2的均方误差E(Si)222最小？2nn211122Xi X)E(XinX)(EXi2nEX2)解解 1ES E(n1n1i1n1i1所以S是的无偏估计2222424 n122222D2S 2(n1),所以，DS,ES DS2n1n1可以看出E S 2222最小.1616设总体X U0,，X1,X2,X3为样本，试证：4max Xi与4min Xi都是参数的无偏估31i31i3计量，问哪一个较有效？解解所以4X(n)比拟有效.31717设1，2是的两个独立的无偏估计量，并且1的方差是2的方差的两倍.试确定常数c1,c2，使得c11 c22为的线性最小方差无偏估计量.解：解：设D122,D2 22212，上式到达最小，此时c21c1.2*333，并求 C-R 不等式下当c1 18.18.设样本X1,.,Xn来自于总体*，且X P()(泊松分布)，求EX,DX界，证明估计量X是参数的有效估计量.解解EX EX，DX DXnn1I()n所以其 C-R 方差下界为所以X是参数有效估计量.1919设总体*具有如下密度函数，X1,.,Xn是来自于总体*的样本，对可估计函数g()1()，并，求g()的有效估计量g确定 R-C 下界.解解因为似然函数1ln xin11得ET=g()，所以T ln xi是无偏估计量n所以取统计量T 2g()12令c()n由定理知 T 是有效估计量，由DT c()nn1所以 C-R 方差下界为12n.，对可估计函数g(p)1p2020设总体*服从几何分布：P(X k)p(1 p)k1,k 1,2,1求g(p)的有效估计量T(X1,，则,Xn)；.2求DT和I(p)；3验证T的相合性.解解 1因为似然函数L(p,x1xn)p(1 p)xi1 pn(1 p)nxni1n所以取统计量T X.又因为EX EX kp(1p)k1k1 pk(1p)k1nk1 pdkqk1dqn所以T X是g(p)的无偏估计量，取c(p)2所以T X是相合估计量.2121 设总体*具有如下密度函数，X1,.,Xnn，由定理得到，T X是有效估计量1 p是来自于总体*的样本，是否存在可估计函数g()以及与之对应的有效估计量()？如果存在g()和g()，请具体找出，假设不存在，请说明为什么.g解解因为似然函数L(,x1所以令glnxi lnnxxn),1i11nnln1()X,g1ln()X是g()的无偏估计量，所以g取c()n()X是g()，由定理得到，g有效估计量()X是g()有效估计量.所以：g2222 设X,.,X是来自于总体*的样本，总体*的概率分布为：1n；1）求参数的极大似然估计量是否是有效估计量？如果是，请求它的方差D和信息量2）试问极大似然估计I()；是否是相合估计量？3）试问解解 1.得到最大似然估计量2所以E1xin11xi E xi nnn1，由定理得到xi是有效估计量(1)n是无偏估计量，c()所以信息量I()c()1n(1)3所以，T 也是相合估计量.2323 设样本X1,X2,X3,X4来自总体N(,1)，并且的区间估计为(X 1,X 1)，问以多大的概率推断参数取值于此区间.解解设以概率p 1推断参数取值于(X 1,X 1)，在方差为 1 条件下，推断参数的置信度为1的置信区间为(X u21n,X u21n)所以u21n1，u12 2，得到0.0456即以概率p 0.9544推断参数取值于(X 1,X 1).2424 从一批螺钉中随机地取16 枚，测得其长度(单位：cm)为：2.14，2.10，2.13，2.15，2.13，2.12，2.13，2.10，2.15，2.12，2.14，2.10，2.13，2.11，2.14，2.11设钉长分布为正态，在如下两种情况下，试求总体均值的 90%置信区间，1假设=0.01cm；2假设未知；解解因为X 2.125,n 16,s 0.171,1-1）计算所以置信区间为1.121，2.1292）计算所以置信区间为2.115，2.135.2525 测量铝的密度 16 次，测得x 2.705,s 0.029,试求铝的比重的 0.95 的置信区间(假设铝的比重服从正态分布).解解这是正态分布下，方差未知，对于均值的区间估计：2 0.95,0.951.65,t0.95151.753.因为X 2.705，n=16,s=0.029,=0.05,1-计算=X t0.97515所以置信区间为2 0.975,t0.9515 2.1310.0290.029 2.6896,b X t0.97515 2.720416162.70252.6895，.2626 在方差 2的正态总体下，问抽取容量n为多大的样本，才能使总体均值的置信度为1的置信区间长度不大于l？解解均值的置信度为1的置信区间为(X u21n,X u21n)要使222l n 2121nl2即n 4212l.2727从正态总体N(3.4,36)中抽取容量为n的样本，如果要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)的概率不小于 0.95，问样本容量n至少应取多大？解解 2(n)1 0.95 n 5.88,n 34.57，所以,n 35.32828 假设 0.5,1.25,0.8,2.0是总体*的简单随机样本值.Y ln X N(a,1).1）求参数a的置信度为 0.95 的置信区间；2）求E*的置信度为 0.95 的置信区间.解解 1Y ln X服从N(,1)正态分布，按照正态分布均值的区间估计，其置信区间1为Y u2，由题意，从总体*中抽取的四个样本为：其中，n 4,1,u0.9751.96,Y 0，代入公式，得到置信区间为(0.98,0.98)2EX EeYey1e2(y)22dy e0.5，由 1知道的置信区间为0.980.5,e0.980.5)(e0.48,e1.48).(0.98,0.98)，所以EX置信区间为(e2929 随机地从 A 批导线中抽取 4 根，并从 B 批导线中抽取 5 根，测得其电阻()为：A 批导线：0.143，0.142，0.143，0.137 B 批导线：0.140，0.142，0.136，0.138，0.140设测试数据分别服从N(,)和N(,)，并且它们相互独立，又,均未知，求参2221212.数12的置信度为 95%的置信区间.解解由题意，这是两正太总体，在方差未知且相等条件下，对总体均值差的估计：置信区间为X Y t计算得所以0.0022,0.0063.3030 有两位化验员 A、B，他们独立地对*种聚合物的含氯量用一样方法各作了10 次测定，22其测定值的方差s2依次为 0.5419 和 0.6065，设A与B分别为 A、B 所测量数据的总体的1(n1n22)Sw211n1n222方差(正态总体)，求方差比A/B的置信度为 95%的置信区间.解解由题意，这是两正太总体方差比的区间估计：2SA2SB2SA2SB置信区间为(F122,(n11,n21)F22)(n11,n21)计算得SA 0.5419,SB 0.6065,n1 n210,0.05所以置信为0.2217,3.6008.3131 随机地取*种炮弹 9 发做试验，测得炮口速度的样本标准差s=11(m/s)，设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的标准差的置信度为 95%的置信区间.(n1)S2(n1)S2,2)解解由题意标准差的置信度为 0.95 的置信区间为(20.975(8)0.025(8)计算得所以置信区间为7.431,21.072.3232 在一批货物的容量为100 的样本中，经检验发现16 个次品，试求这批货物次品率的置信度为 95%的置信区间解解设X表示来自总体的样本，样本为次品时X 1,样本为正品时X 0，p表示次品率，则x B(1,p)，X 604 0.5714,0.05,1057p的置信区间为(470.975计算得：X1 Xn1,40.9757X1 Xn1)所以置信区间为0.4763,0.6665.3333 设 总 体X N(,1)，参 数 N(0,1)，X,.,X是 来 自 于 总 体*的 样 本，并 且1n.L(,d)(d)，求参数的贝叶斯估计量2解解设x (x1,.,xn),X (X1,.,Xn)，先验分布密度h(y)当 y时，样本的概率密度分布为1e2ny22，f(x y)f(xi;y)i1i1nn1e2(x y)2i21n()e2y22(xiy)221(xiy)22i1关于参数的后验分布为h(y)f(x|y)(y x)h(y)f(x|y)eg(x)的后验分部为x N(een1nx2(y)21nnx1nX,)，所以关于的 Bayes 估计量1n 1n1n.3434 设总体X P()，参数具有指数分布，即(1,)，并且损失函数为平方差函数形.式，求参数的贝叶斯估计量解解设x (x1,.,xn),X (X1,.,Xn)，先验分布密度h(y)yey当 y时，样本的概率密度分布为关于参数的后验分布为h(y)f(x;y)nx1(n)(y x)h(y)f(x;y)e e(n)nx1ng(x)(xi)!i1的后验分部为x(nX 1,n)，关于的 Bayes 估计量nX 1n.3535 设总体*服从几何分布：P(X k)p(1 p)k 1,k 1,2,1,2为参数.在平方差损失下，求参数，并且参数p(1,2)，其中p的贝叶斯估计量T.解解设x (x1,.,xn),X先验分布密度h(y)(X1,.,Xn)，1y11(1 y)11(1,2)当p y时，样本的概率密度分布为：关于参数p的后验分部为.p的后验分部为p x(1n,nX 2n)n112nX.关于p的 Bayes 估计量p3636 设X,.,X为总体X B(10,p)的样本，0 p 11n1）求参数p是有效估计量T1与相应的信息量I(p)；2）如果p U0,1，在平方差损失下，求参数p的贝叶斯估计量T2.3）试比拟两个估计量T1和T2.解解 1因为似然函数为：所以又因为E1X pn所以取c(p)2设x10n1，有定理得T1X是p的有效估计量p(p1)n(x1,.,xn),X (X1,.,Xn)先验分布密度h(y)1当p y时，样本的概率密度分布为关于参数的后验分部为关于p的Bayes估计量T2p的后验分部为p x(1nX,10nnX 1)，3比拟估计量T1,T2,有：D(T1)D(所以，T1优于T2.nX 110n211X)2D(X)nn习题三习题三1 1正常情况下，*炼铁炉的铁水含碳量XN(4.55,0.108).现在测试了5炉铁水，其含碳量分别为 4.28，4.40，4.42，4.35，4.37.如果方差没有改变，问总体的均值有无显著变化？如果总体均值没有改变，问总体方差是否有显著变化0.05？2解解由题意知X N(4.55,0.108),n 5,0.05，u1/2 u0.9751.96，设立统2计原假设H0:0,H1:0拒绝域为K0 x 0 c，临界值c u1/2n1.960.108/5 0.0947，由于x 0 4.3644.55 0.186 c，所以拒绝H0，总体的均值有显著性变化.设立统计原假设H0:0,H1:0由于0，所以当0.05时22拒绝域为K0 s2/0 c2或s2/0 c122222由于S2/03.167 2.567，所以拒绝H0，总体的方差有显著性变化.2 2 一种电子元件，要求其寿命不得低于 1000h.现抽测 25 件，得其均值为x=950h.该种元件寿命X解解由题意知XN(100,2)，问这批元件是否合格0.05？N(100,2)，设立统计原假设拒绝域为K0 x 0 c临界值为c u0.05n u0.0510025 32.9由于x 0 50 c，所以拒绝H0，元件不合格.3 3*食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐标准重量为500g，现从*天生产的罐头中随机抽测 9 罐，其重量分别为 510，505，498，503，492，502，497，506，495g，假定罐头重量服从正态分布.问(1)机器工作是否正常0.05？2能否认为2这批罐头重量的方差为 5.5 0.05？解解1设*表示罐头的重量(单位：g).由题意知XN(,2),设立统计原假设H0:0 500,H1:0,拒绝域K0 x 0 c当0.05时，x 500.89,s2 34.5,s 5.8737临界值c t12(n1)sn 4.5149，由于x 0 0.8889 c，所以承受H0，机器工作正常.2设*表示罐头的重量(单位：g).由题意知XN(,2)，22 5.52,H1:20设立统计原假设H0:202拒绝域为K0 s20 c1 s220 c2当=0.05 时，可得21.0138 K0,所以承受H0，可以认为方差为5.52.由于s204 4*部门对当前市场的鸡蛋价格情况进展调查，抽查*市 20 个集市上鸡蛋的平均售价为 3.399元/500 克，标准差为 0.269元/500 克.往年的平均售价一直稳定在3.25元/500 克左右，问该市当前的鸡蛋售价是否明显高于往年？0.05.解解设*表示市场鸡蛋的价格单位：元/克，由题意知XN(,2)设立统计原假设H0:0 3.25,H1:0,拒绝域为K0 x 0c当=0.05 时，x 3.399,0.269,n 20,临界值c 1n 0.0992由于x 0 3.399 3.25 0.149 c.所以拒绝H0，当前的鸡蛋售价明显高于往年.5 5*厂生产的维尼纶纤度X2是否明显变大了N(,0.0482)，*日抽测 8 根纤维，其纤度分别为1.32，1.41，1.55，1.36，1.40，1.50，1.44，1.39，问这天生产的维尼纶纤度的方差0.05？解解由题意知XN(,0.0482)，0.0522 0.0482,H1:20 0.0482设立统计原假设H0:202拒绝域为K0 s20 c，当0.05时，2 2.3988 c，所以拒绝H0，认为强度的方差明显变大.由于s206 6*种电子元件,要求平均寿命不得低于 2000h，标准差不得超过 130h.现从一批该种元件中抽取 25 只,测得寿命均值1950 h,标准差s 148 h.设元件寿命服从正态分布，试在显著水平=0.05 下,确定这批元件是否合格.解解设*表示电子元件的平均寿命单位：h，由题意知X设立统计原假设H0:0=2000，H1：.n P(否定H0H0成立)=PX 0c1PX 0c1(nc0)当n 时，(nc0)1，所以n 0(n )同理n=P X0+c=(n(0+c1)/0)()=0(n )8 8 设需要对*一正态总体N(,4)的均值进展假设检验H0：=15，H1：0时,由题意知H0:0;H1:10;犯第一，二类错误分别为,，则有 P(X 0c|0)c u10n P(X 0c|1)P(u1 u1X 10n u110n|1)02101002n u1u1n n u1u1200102当10时由题意知H0:0,H1:10，犯第一，二类错误分别为,，则有1010 设X1,.,X17为总体X的拒绝域为K0 s 4.93.求犯第类错误的概率和犯第类错的概率.解解由题意知XN(0,2)样本，对假设：H0:2 9,H1:2 2.9052N(0,),2ns222(n).统计假设为H0:2 9,H1:2 2.905.拒绝域为K0 s 4.93.2.则犯第一，二类错误的概率,分别是1111设总体是密度函数是统 计 假 设H0:1,H1:2.现 从 总 体 中 抽 取 样 本X1,X2,拒 绝 域3 X2，求：两类错误的概率,4X1解解由题意知当1时，f(x;1)1.X U(0,1),f(x1,x2)1,0 x1,x210,其他此时 P 3 X214X13x24x1f(x1,x2)dx1dx2 0.250.75ln 0.75.当 2时，f(x;2)2x,0 x 14x x,0 x1,x21.f(x1,x2)120,其他0,其他此时 P 3 X2 24X13x24x1f(x1,x2)dx1dx299ln0.75.1681212 设总体XN(,2)，根据假设检验的根本原理，对统计假设：H0:0,H1:1(0)(已知)；H0:0,H1:0（未知），试分析其拒绝域.解解由题意知XN(,2),当H0:0,H1:1(0)成立时所以拒绝域为K0 X 0 c当H0:0,H1:0成立时所以拒绝域为K0 X 0 c1313设总体XN(,2)根据假设检验的根本原理，对统计假设：2222,H1:20(已知)；,H1:20(未知)1H0:202H0:20试分析其拒绝域.解解由题意知X N(,2)22,H1:201假设统计假设为H0:2=0其中.2 s当H0成立时，拒绝域形式为K0=2c0由ns22=ns20221-2ns(n)，可得=P2nc02所以nc=212 s(n)，由此可得拒绝域形式为K0=21-(n)0n22,H1:202假设统计假设为H0:2c，由202(n1)22n1sn1s得 P n1 c P n1 c220所以(n 1)c 12(n 1)，由此可得拒绝域形式为1414 从甲、乙两煤矿各取假设干样品，得其含灰率%为,甲:24.3,20.8,23.7,2 21.3,17.4,乙:18.2,16.9,20.2,16.7.假定含灰率均服从正态分布且12=2，问甲、乙两煤矿的含灰率有无显著差异=0.05？解解由题意知XN(1,2),YN(2,2)设统计假设为H0:1=2;H1:12其中n1=5,n2=4当=0.05时临界值c=t1-2(n1+n22)sw 1/(n11 n2)3.6861拒绝域为K0 x y c 3.6861而x y 3.5 c,接受H0,认为没有差别.1515 设甲、乙两种零件彼此可以代替，但乙零件比甲零件制造简单，造价也低.经过试验获得它们的抗拉强度分别为单位：kg/cm2：甲：88，87，92，90，91乙：89，89，90，84，88假定两种零件的抗拉强度都服从正态分布，且12=22.问甲种零件的抗拉强度是否比乙种的高=0.05？解解由题意知XN(1,2),YN(2,2)设统计假设为H0:1=2;H1:12，其中n1=5,n2=5.当=0.05时临界值c=t1-2(n1+n22)sw 1/(n11 n2)2.2136拒绝域为K0 x y c 2.2136而x y 1.6c，所以承受H0，认为甲的抗拉强度比乙的要高.1616 甲、乙两车床生产同一种零件.现从这两车床产生的产品中分别抽取 8 个和 9个，测得其外径单位：mm为：甲：15.0，14.5，15.2，15.5，14.8，15.1，15.2，14.8乙：15.2，15.0，14.8，15.2，15.0，15.0，14.8，15.1，14.8假定其外径都服从正态分布，问乙车床的加工精度是否比甲车床的高=0.05？解解由题意知XN(1,2),YN(2,2)22;H1:122设统计假设为H0:122，其中n1=8,n2=9当=0.05时sx0.0955,sy0.0261，临界值c F(n11,n21)0.268422sxsx拒绝域为K02 c，而F 2 3.6588 c，承受H0，认为乙的精度高.sysy221717 要比拟甲、乙两种轮胎的耐磨性，现从甲、乙两种轮胎中各取 8 个，各取一个组成一对，再随机选取 8 架飞机，将 8 对轮胎磨损量单位：mg数据列表如下：试问这两xi甲49005220550060206340766086504870种轮胎的耐磨性有无显yi乙49304900514057006110688079305010著 差 异？(=0.05).假定甲、乙两种轮胎的磨损量分别满足X互独立.解解由题意知XN(1,2),YN(2,2)且两个样本相N(1,2),YN(2,2)设统计假设为H0:1=2;H1:12，其中n1=n2=n=8当=0.05时，令1n2Z X Y,z 320,s z z102200,sZ 319.69,t1/2(n1)2.3646n1i12Z拒绝域为K0z c，临界值c=t1-2(n1)sZ n 2138而z 320 c，所以承受H0，认为两种轮胎耐磨性无显著差异.1818 设总体XN(1,2),YN(2,2),由两总体分别抽取样本.X：4.4，4.0，2.0，4.8Y：6.0，1.0，3.2，0.421能否认为12(=0.05)“2能否认为122(=0.05)？解解 (1)由题意知XN(1,2),YN(2,2)设统计假设为H0:1=2;H1:12，其中n1=n2=4=n1n令Z X Y，则有z 1.15,s(z z)9.0233，n1i12z2当=0.05时，c=t1-2(n 1)3.1824，c=t1-2(n1)sZ/n 4.78拒绝域为K0z c，而z 1.15c，所以接受H0,认为12.(2)由题意知XN(1,2),Y222N(2,2)2设统计假设为H0:1=2;H1:12，其中n1=n2=4=n其中sx1.5467,sy6.4367，拒绝域为临界值c1 F/2(n11,n21)0.0648,c2 F12(n11,n21)15.43922sX22而F 2 0.2403,接受H0,认为12.sY221919 从过去几年收集的大量记录发现，*种癌症用外科方法治疗只有 2%的治愈率.一个主化学疗法的医生认为他的非外科方法比外科方法更有效.为了用实验数据证实他的看法，他用他的方法治疗 200 个癌症病人，其中有 6 个治好了.这个医生断言这种样本中的 3%治愈率足够证实他的看法.1试用假设检验方法检验这个医生的看法；2如果该医生实际得到了 4.5%治愈率，问检验将证实化学疗法比外科方法更有效的概率是多少？解解 (1)记每个病人的治愈情况为X，则有XB(1,p)设统计假设为H0:p p0=0.02;H1:p p0 0.02，其中n 200,0.05拒绝域为K0 x p0c，临界值c 1p0(1 p0)0.0163n而x p0 0.01 c,拒绝H0,不能认为p 0.02.(2)不犯第二类错误的概率1 PX u1由Xp0(1 p0)p0p 4.5%nB(1,p)，可得EX p,DX p(1 p)n.由中心极限定理得2020 在*公路上，50min 之间，观察每 15s 通过的汽车数，得下表0 1 2 3 45通过的汽车数量次数 f92 68 28 11 1 0问能否认为通过的汽车辆数服从泊松分布=0.10？解解设统计假设为H0:F(x)F0(x),H1F(x)F0(x),n 200.4j1 X 若H0成立,jj 0.805.记pj P(x j)enj0j!0.10,则有j1,2,3,4检验统计量的值为2121 对*厂生产的汽缸螺栓口径进展100 次抽样检验，测得 100 数据分组列表如下：组限频数组限频数10.9310.9510.9510.9710.9710.99582010.9911.013411.0711.09411.0111.0311.0311.0511.0511.071766试对螺栓的口径X的分布做假设检验=0.05.解解设X表示螺栓的口径，XN(,2)，分布函数为F(x)，统计假设为H0:F(x)F0(x),H1:F(x)F0(x)，其中n 100,0.05,r 2在H0成立的情况下，计算得由X 11.0024X 0.00319N(0,1)得所以检验统计量的值为由此应该拒绝H0,不能认为 X N(,2).2222 检查产品质量时，每次抽取10 个产品检验，共抽取100 次，得下表：次品数频数0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1035 40 18 5 1 1 0 0 0 0 0问次品数是否服从二项分布=0.05？解解设X表示抽取的次品数，XN(,2)，分布函数为F(x)，统计假设为H0:F(x)F0(x),H1:F(x)F0(x)，其中n 10,0.05X1 在H0成立的情况下，pNN计算得检验统计量的值为jvj0Nj.因此不拒绝H0,认为X B(10,0.1).2323 请 71 人比拟 A、B 两种型号电视机的画面好坏，认为A 好的有 23 人，认为 B好的有 45 人，拿不定主意的有 3 人，是否可以认为 B 的画面比 A 的好=0.10？解解设X表示 A 种型号电视机的画面要好些，Y表示 B 中型号电视机画面要好些分布函数分别为FX(x)，FY(x)，统计假设为由题意知n+=23，n=45,n=n+n检验统计量s min(n,n)而s 23 s(68)25，所以拒绝H0,认为B的画面好.2424 为比拟两车间生产同一种产品的产品*项指标的波动情况，各依次抽取12个产品进展测量，得下表甲1.13乙1.211.261.311.160.991.411.590.861.411.391.481.211.311.221.121.201.600.621.381.181.601.341.84问这两车间所生产的产品的该项指标分布是否一样=0.05？解解设X,Y分别表示甲乙两车间所生产产品的指标分布，分布函数分别FX(x)FY(x)，统计假设为检验统计量为秩和T，易知T的样本值为T 112且T拒绝域为而u 2.194u0.9751.96，所以拒绝H0,认为指标分布不相同.2525 观察两班组的劳动生产率(件/h)，得下表：第 1 班组 28 33 39 40 41 42 45 46 47第 2 班组 34 40 41 42 43 44 46 48 49问两班组的劳动生产率是否一样=0.05？解解设X,Y分别表示两个组的劳动生产率，分布函数分别为FX(x),FY(x)，统计假设为检验统计量为秩和T，易知T的样本值为T 73拒绝域形式为而t1(9,9)=66,t2(9,9)105，因此T K0,所以接受H0,认为劳动生产率相同.2626 观观察得两样本值如下：2.36 3.14 7.52 3.48 2.76 5.43 6.54 7.41 4.38 4.25 6.54 3.28 7.21 6.54N(150,300).问这两样本是否来自同一总体=0.05？解解设X,Y分别表示，两个样本，分布函数分别是FX(x),FY(x)，统计假设为检验统计量为秩和T，易知T的样本值为T 49拒绝域形式为而t1(6,8)=32,t2(6,8)58，因此T K0,所以接受H0,认为来自同一总体.2727*种动物配偶的后代按体格的属性分为三类，各类的数目是：10，53，46,按照*种遗传模型其比率之比应为：p2:2p(1 p):(1 p)2，问数据与模型是否相符 0.05？解解设体格的属性为样本X，由题意知X其密度函数为f(x)，其中f(x,p)C2p统计假设为似然函数为xB(2,1 p)2x(1 p)xx 0,1,2 1解得最大似然统计量为px21 2p(1 p)0.4454p0 p 21.332 0.1121p2(1 p)2 0.4424则p拒绝域为2而nj010jnpjjnp22 0.9134 12(mr 1)0.95(9)3.8414所以不拒绝H0,认为与模型相符.2828 在*地区的人口调查中发现：15729245 个男人中有 3497 个是聋哑人.16799031个女人中有 3072 个是聋哑人.试检验“聋哑人与性别无关的假设 0.05.解解设X表示男人中聋哑人的个数，Y表示女人中聋哑人的个数，其分布函数分别表示为FX(x)，FY(x).统计假设为拒绝域为j)2(vjnp2 62.6412(mr 1)0.95(1)3.84而npjj02n10所以拒绝H0,认为聋哑与性别相关.2929下表为*药治疗感冒效果的联列表：年龄疗效一般儿童58成年38老年32ni128.试效是否与较差显著n j2823109441810045149111755300问该药疗年龄有关=0.05？解解设X表示该药的疗效与年龄有关，Y表示该药的疗效与年龄无关，其分布函数分别表示为FX(x),FY(x).统计假设为拒绝域为2而nj010jjnpjnp2213.59 12(mr 1)0.95(4)9.488所以拒绝H0,认为疗效与年龄相关.3030*电子仪器厂与协作的电容器厂商定，当电容器厂提供的产品批的不合格率不超过 3%时以高于 95%的概率承受，当不合格率超过 12%时，将以低于 10%的概率承受.试为验收者制订验收抽样方案.解解由题意知，p0 0.03,p1 0.12,0.05,0.1L(p0)1代入式子L(p)1L(p)选用式子L P(X d)P(U d npd np)()np(1 p)np(1 p)计算求得n 66,d 4，于是抽查方案是：抽查 66 件产品，如果抽得的不合格产品X 4，则承受这批产品，否则拒绝这批产品.3131假设一批产品的质量指标X，要求质量指标值越小越好.N(,2)2试给出检验抽样方案n,c的计算公式.假设2未知，又如何确定检验抽样方案n,c？假设质量高时指质量指标在一个区间时，又如何确定检验抽样方案n,c“解解(1)解方程组uu得n 01u 0u c 1uu2*(2)假设2未知，用M2估计2，从而得出公式*uuM21u0uc n 01uu2.习题四习题四1 1下表数据是退火温度x(0C)对黄铜延性效应的试验结果，是以延伸率计算的，且设为正态变量，求对x的样本线性回归方程.0 x(C)300 400 500 600 700 80040 50 55 60 67 70y(%)解解利用回归系数的最小二估计：lxynn122lxx其中lxyxiyinxy,lxxxinxi1i1x y 10 0.0589,24.6286代入样本数据得到：10 24.6286 0.0589x样本线性回归方程为：y2 2 证明线性回归函数中(1)回归系数1的置信水平为1的置信区间为1lxxt1(n 2)；2(2)回归系数0的置信水平为1的置信区间为