北京市西城区2022-2023学年高三上学期1月期末考试数学试题

北京市西城区 20222023 学年度第一学期期末试卷高三数学2023.1 第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （ 1） 已知全集 U = - 2， - 1，0，1，2，3，集合 A = x Z | x 2 ，则 （A） 1，0，1 （B） 2，2，3 （C） 2， - 1，2 （D） 2，0，3 （ 2） 设复数 z = 3 i，则复数i z 在复平面内对应的点的坐标是 （A） （1，3） （B）（ 1，3） （C） （3，1） （D） （3， 1 ） （ 3） 已知函数 ，则 （A）是奇函数，且在 上是增函数 （B）是奇函数，且在上是减函数 （C）是偶函数，且在上是增函数 （D）是偶函数，且在上是减函数 （ 4） 已知双曲线 C : ，则 C 的焦点到其渐近线的距离为（A） （B） （C） 2 （D）3 （ 5） 设 ，且，则 （A） （B） （C） （D） （ 6） 在 ABC中，若 c = 4 ， b a = 1， cos C = ，则 ABC的面积是 （A）1 （B） （C） （D）（ 7）“ 空气质量指数（ AQI ）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数.当 AQI 大于 200 时，表示空气重度污染，不宜开展户外活动.某地某天0 24 时的空气质量指数 y 随时间 t 变化的趋势由函数描述，则该天适宜开展 户外活动的时长至多为 （A） 5 小时 （B） 6 小时（C） 7 小时 （D）8小时 （ 8） 设， 均为锐角，则“ ” 是“”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（ 9）在 ABC中， AC = BC = 1， C= 90 0 .P 为 AB 边上的动点， 则的取值范围是 （A） （B） （C） （D）（10）如图，正方形 ABCD 和正方形CDEF 所在的平面互相垂直. 1 是正方形 ABCD 及 其内部的点构成的集合， 2 是正方形CDEF 及其内部的点构成的集合.设 AB = 1 ，给出下列三个结论： ，使 MN = 2; ，使 EM 土 BN; ，使 EM 与 BN 所成的角为600 . 其中所有正确结论的个数是 （A） 0 （B）1 （C） 2 （D）3 第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共5小题，全科免费下载公众号高中僧课堂每小题5分，共25分。 （11）的展开式中常数项为_.（用数字作答） ） （12）已知抛物线的焦点为 F ，准线为l .则以点 F 为圆心，且与直线l 相切的圆 的方程是_. （13）已知 an 是等差数列， a1 = 5，且 a2 + 2， a3 + 4， a4+ 6成等比数列，则 a6 = _; an 的前 n 项和 Sn = （14）设函数= ，若 a = 2，则 的单调递增区间是_；若 的值域为，则a的取值范围是_. （15）人口问题是关系民族发展的大事.历史上在研究受资源约束的人口增长问题中，有 学者提出了“ Logistic model ”: ，其中 K ， r 0 ， x 0 均为正常数，且 K x 0，该模型描述了人口随时间t 的变化规律.给出下列三个结论： x 0; 在上是增函数； ， 1，求 x 的取值范围. （17）（本小题 14 分） 如图，四边形 ABCD 为梯形， AB /CD ，四边形 ADEF 为平行四边形. （）求证： CE /平面 ABF ; （）若 AB 平面 ADEF ， AF AD， AF = AD = CD= AB = 2，求： （）直线 AB 与平面 BCF 所成角的正弦值； （）点 D 到平面 BCF 的距离. （18）（本小题 13 分） 近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的青睐.据统计， 2021年12 月至 2022 年5 月全国新能源市场三种车型月度零售销量数据如下（单位：万辆）: （）从 2021年12 月至 2022 年5 月中任选1个月份，求该月 MPV 零售销量超过这 6 个月 该车型月度零售销量平均值的概率； （）从2022 年1月至2022 年5 月中任选3个月份，将其中SUV 的月度零售销量相比上个月份增加的月份个数记为 X ，求 X 的分布列和数学期望 E X; （）记 2021年12 月至 2022 年5 月轿车月度零售销量数据的方差为，同期各月轿车与 对应的 MPV 月度零售销量分别相加得到 6 个数据的方差为 ，写出 与的大小 关系.（结论不要求证明） （19）（本小题 15 分） 如图，已知椭圆 ：的一个焦点为 F 1（0，1） ，离心率为 . （）求椭圆 的方程； （）过点F 1作斜率为 k 的直线交椭圆 E 于两点 A， B ， AB 的中点为 M .设O 为原点，射线OM 交椭圆E 于点C .当 ABC与 ABO的面积相等时，求k 的值. （20）（本小题 15 分） 已知函数，其中.（）当 a = 0时， 求曲线在点（1，）处的切线方程；（）当 a 0时，判断的零点个数， 并加以证明； （）当 a 0时，证明：存在实数m ，使 m 恒成立. （21）（本小题 15 分） 已知 An : a1，a2，an， （n 4） 为有穷数列.若对任意的，都有 1 （规定 a0 = an），则称An 具有性质 P. 设 Tn =（）判断数列 A4 :1，0.1，1.2，0.5， A5 :1，2，2.5，1.5，2是否具有性质 P ?若具有性质 P，写 出对应的集合 Tn； （）若A4具有性质 P ，证明：T4 ； （）给定正整数 n ，对所有具有性质 P 的数列An ，求Tn 中元素个数的最小值.