专题3——研究型问题

数学专题3研究型问题【备考点睛】研究型问题最根本的特点在于它具有“获取新知识”的意义或意味，也即它不单纯是已学的课本知识的应用，而是包含有理解和掌握一个“新概念”或“新规定”、发现和总结一个“新规律”或“新结论”的成份及过程，它能够突出地考查我们的“学习水平”和“发现与创新”水平。从所依循的思考方向和思维方法来看，研究性问题可大体分为三类：1、通过引入的“新概念”或“新规定”及其应用，重在表达和考查“抽象概括”的水平”；2、通过设置由“特殊到一般”或“由一般到另一特殊”的活动情意，并从中归纳或类比总结出“新规律”，重在表达和考查“合情推理”的水平。3、通过对已知的普遍理解的基础上添加特殊条件或限制，以获得更特殊更深入的新理解，重在表达和考查由特殊化使理解走向更深入。【经典例题】类型一、设置“新概念”或“新规定”情景的研究性问题例题 如图（1），菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近水准称为“接近度”。在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等。（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为和，将菱形的“接近度”定义为，于是越小，菱形越接近于正方形。 若菱形的一个内角为70，则该菱形的“接近度”等于 ； 当菱形的“接近度”等于 时，菱形是正方形。（2）设矩形相邻两条边长分别是和（），将矩形的“接近度”定义为，于是越小，矩形越接近于正方形。你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义。解答：分析：对于（1），关键是准确地把握：菱形的“接近度”为，其中和是该菱形“相邻两内角的度数”。对于（2），首先要弄清：应保证相似图形的“接近度”相等，此乃是“接近度”的本质特征，接下来的问题就好解决了。详解：（1） 40。 。（2）不合理，例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的水准是相同的，但却不相等，合理定义方法不唯一，如定义为。越小，矩形越接近于正方形；越大，矩形与正方形的形状差异越大；当时，矩形就变成了正方形。说明：在此题，关键是要能把握“接近度”这个个新概念的本质特征。类型二、设置“发现新规律”的研究性问题例题 提出问题：如图（1），在四边形中，P是AD边上任意一点，与和的面积之间有什么关系？探究发现：为理解决这个问题，我们能够先从一些简单的、特殊的情形入手。（1） 当时（如图（2）的高相等。 ，的高相等。 。（2）当时，探求与和之间的关系，写出求解过程；（3）当时， 探求与和之间的关系为： ；（4）一般地，当（表示正整数）时，探求与和之间的关系，写出求解过程；问题解决：当时，与和之间的关系式为： 。ABCDPABCDP（1） （2）解答：分析：对于（2），关键是将（1）的推理过程类比到时的情景，看其是否成立；对于（3）是将（1）、（2）的结论再类比到；对于（4）则是将推理过程和结论实行更为一般化的推广和归纳。详解：（2），的高相等，。又的高相等，。 。（3）。（4）。，的高相等。 。又的高相等。 。问题解决：。说明：在此题，准确地使用“类比”和“归纳”是各小问题获解的关键。类型三、设置“特殊化”情景的研究性问题例题 抛物线，其顶点（能够位于坐标系内任意一点，请研究以下问题：（1）若其顶点为（1，1），则 ， ，若其顶点为（，则 ， ，（2）具有怎样的关系时，顶点在直线上？（3）抛物线上任意一点，都能够是抛物线的顶点吗？若能够，请指明应满足的关系，若不能够，请说明理由。解答：分析：根据各小题中对顶点的特殊要求，去寻求应满足的条件。详解：（1）（通过解方程可得）2；4，9。（2）若（在直线上，则。为任意实数），即满足关系时，抛物线的顶点总在直线上。（3）能够。令，得为任意实数）。当和满足关系时，抛物线的顶点都在抛物线上。说明：由此题能够看出，特殊化方向的研究，能够使我们对原事物有更多方向和更深层次的理解。【技巧提炼】研究性问题的思考要点：1.把握准“新概念”和“新规定”的实质，或说根本特征，从而将其应用在所属的具体情景之中。所谓掌握一个“新概念”或“新规定”，是指能将它应用在具体的问题中和复合的问题中，这也正是抽象概括水平的基本表现形式。2.把握准“由特殊到一般”或“由特殊到特殊”的共同点或共同属性，借归纳或类比概括出带有一定“普遍性”的规律。归纳和类比是知识扩充与增长的极为重要的思维途径，也是研究性问题展开的有效方式。准确地使用“类比”和“归纳”是各小问题获解的关键。所以，要深刻体会归纳与类比的思考要点，熟练而灵活地使用。3. 充分利用附加的特殊条件或对结论的特殊要求，把握特殊条件的特殊结论和相对应的关系。特殊化方向的研究，能够使我们对原事物有更多方向和更深层次的理解。一个不真的命题加上若干限定条件之后，它就可能成为一个真命题，所以，“特殊化”方向的研究，可协助我们获得更深入的知识。【体验中考】1.在平面内，先将一个多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，并且原多边形上的任一点，它的对应点在线段或其延长线上；接着将所得多边形式以点为旋转中心，逆时针旋转一个角度过，这种经过位似和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为（，），其中点叫做旋转相似中心，叫做相似比，叫做旋转角。（1）填空： 如图（1），将以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转60，得到， 这个旋转相似变换记为A（ ， ）； 如图 （2），是边长为1的等边三角形，将它作旋转相似变换A（），得到，则线段长为 ；（2）如图（3），分别以锐角三角形的三边AB，BC，CA为边向外作正方形，点分别是这三个正方形的对角线交点，试分别利用，之间的关系，使用旋转相似变换的知识说明线段之间的关系。ABCDEACDEBBCGFDEAHI（1） （2） （3）2. 实验与探究：（1）在图（1），（2），（3）中，给出平行四边形的顶点的坐标（如下图），写出图（1），（2），（3）中的顶点的坐标，它们分别是（5，2）， ， ；（）D（4，0）B（1，2）C （）D（）B（）C（1）（2）D（）B（）C D（）B（）C（3） （4）（2）在图（4）中，给出平行四边形的顶点的坐标（如下图），求出顶点C的坐标；（C点的坐标用含的代数式表示）；归纳与发现：（3）通过对图（1），（2），（3），（4）的观察和顶点C的坐标的探究，你会发现；无论平行四边形处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为，如图（4）时，则四个顶点的横坐标之间的等量关系为 ；纵坐标之间的等量关系为 （不必证明）。使用与推广：（4）在同一直角坐标系中有抛物线和三个点G，（其中。问当为何值时，该抛物线上存有点，使得为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的点的坐标。3. 如图（1），点C将线段AB分成两局部，假如，那么称点C为线段AB的黄金分割点。某研究小组在实行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为的图形分成两局部，这两局部的面积分别为，假如，那么称直线为该图形的黄金分割线。ACACBDACBDEFACBDFE（1） （2） （3） （4）（1）研究小组猜测：在中，若点D为AB边上黄金分割点（如图（2），则直线CD是的黄金分割线，你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D（D为AB的黄金分割点），作直线，交AC于点F，连结（如图（3），则直线也是黄金分割线，请你说明理由。（4）如图（4），点E是平行四边形的边AB的黄金分割点，过点E作，交于点F，显然直线是平行四边形的黄金分割线，请你画一条平行四边形的黄金分割线，使它不经过平行四边形各边的黄金分割点。4. 我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等。那么在什么情况下，它们会全等？（1）阅读与证明：当这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等。 当这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等（证明略）。 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：已知：，均为锐角三角形，。求证：。（请你将以下证明过程补允完整）。证明：分别过点作于D，于，则，。（2）归纳与表达：由（1）可得到一个准确的结论，请你写出这个结论。ACBD5（2010湖南益阳）我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的局部叫“方形环”，易知方形环四周的宽度相等.一条直线l与方形环的边线有四个交点、小明在探究线段与 的数量关系时，从点、向对边作垂线段、，利用三角形全等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题请你参考小明的思路解答以下问题：当直线l与方形环的对边相交时（如图1），直线l分别交、于、，小明发现与相等，请你帮他说明理由；当直线l与方形环的邻边相交时（如图2），l分别交、于、，l与的夹角为，你认为与还相等吗？若 相等，说明理由；若不相等，求出的值（用含的三角函数表示）. 6（2010山东青岛）问题再现现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见在八年级课题学习“平面图形的镶嵌”中，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，共同来探究.O我们知道，能够单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面如右图中，用正方形镶嵌平面，能够发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角.试想：假如用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着 个正六边形的内角问题提出假如我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？问题解决猜测1：是否能够同时用正方形、正八边形两种正多边形组合实行平面镶嵌？分析：我们能够将此问题转化为数学问题来解决从平面图形的镶嵌中能够发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角能够拼成一个周角根据题意，可得方程：，整理得：，我们能够找到惟一一组适合方程的正整数解为 结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角能够拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合能够实行平面镶嵌猜测2：是否能够同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合实行平面镶嵌？若能，请按照上述方法实行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由验证2：结论2： 上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的局部情况，仅仅得到了一局部组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其它可能的组合方案问题拓广请你仿照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合实行平面镶嵌的方案，并写出验证过程猜测3： . 验证3：结论3： 7（2010山东威海）（1）探究新知：如图，已知ADBC，ADBC，点M，N是直线CD上任意两点求证：ABM与ABN的面积相等 ABDCMN图 如图，已知ADBE，ADBE，ABCDEF，点M是直线CD上任一点，点G是直线EF上任一点试判断ABM与ABG的面积是否相等，并说明理由 C图 ABDMFEG（2）结论应用： 如图，抛物线的顶点为C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点D试探究在抛物线上是否存有除点C以外的点E，使得ADE与ACD的面积相等？ 若存有，请求出此时点E的坐标，若不存有，请说明理由 A图 CDBOxy A备用图CDBOxy8（2010 山东省德州） 探究 (1) 在图1中，已知线段AB，CD，其中点分别为E，F图1OxyDBAC若A (-1，0)， B (3，0)，则E点坐标为_；若C (-2，2)， D (-2，-1)，则F点坐标为_；(2)在图2中，已知线段AB的端点坐标为A(a，b) ，B(c，d)，求出图中AB中点D的坐标（用含a，b，c，d的代数式表示），并给出求解过程OxyDB图2A归纳 无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置，当其端点坐标为A(a，b)，B(c，d)， AB中点为D(x，y) 时， x=_，y=_（不必证明）使用 在图2中，一次函数与反比例函数xyy=y=x-2ABO图3的图象交点为A，B求出交点A，B的坐标；若以A，O，B，P为顶点的四边形是平行四边形，请利用上面的结论求出顶点P的坐标9（2010江西）课题：两个重叠的正多边型，其中一个绕某一顶点旋转所形成的相关问题。实验与论证 设旋转角A1A0B1=（ A1A0A2）, 3，4，5，6，所表示的角如下图。（1） 用含的式子表示角的度数：3=_4=_5=_（2）图1图4中，连接A0H时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存有与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存有，请选择期中的一个图给出证明；若不存有，请说明理由；归纳与猜测设正n边形A0A1A2An1与正n边形A0B1B2Bn1重合（其中，A1与B1重合），现将正n边形A0B1B2Bn1绕顶点A0逆时针旋转（）（3）设n与上述“3，4，”的意义一样，请直接写出n的度数；（4）试猜测在正n边形的情形下，是否存有与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存有，请将这条线段用相对应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存有，请说明理由10.（2010 湖北孝感）问题情境勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法实行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”实行第一次“谈话”的语言。定理表述请你根据图1中的直角三角形表达勾股定理（用文字及符号语言表达）； 尝试证明以图1中的直角三角形为基础，能够构造出以a、b为底，以为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理；知识拓展利用图2中的直角梯形，我们能够证明其证明步骤如下：= 。又在直角梯形ABCD中有BC AD（填大小关系），即 ，答案：1. 【详解】：分析：关键就是要把（，）的特征即位似与旋转的规定搞清搞准。以下问题都是这些特征的具体化和使用。（1） 2，60； 2；（2）经过旋转相似变换），得到，此时，线段变为线段。经过旋转相似变换），得到，此时，线段变为线段。， 。说明：从此题能够看出，所谓掌握一个“新概念”或“新规定”，是指能将它应用在具体的问题中和复合的问题中，这也正是抽象概括水平的基本表现形式。2. 【详解】：分析： 问题（1），（2），（3）逐步“由特殊到一般”，发现点C的坐标和另外三点的坐标间的关系，思考的核心是体察并归纳出各种情况下的坐标关系的共性，从而上升成“一般规律”；问题（4）则是这个“一般规律”的综合性应用。（1），。（2）分别过点作轴的垂线，垂足分别为。分别过作于E，于点F。如图，在平行四边形中，又，。，又。D（）B（）CEF设。由得。由，得。（3）。或。（4）若为平行四边形的对角线，由（3）可得。要使在抛物线上，则有，即（舍去），。此时（。若为平行四边形的对角线，由（3）可得，同理可得，此时。若为平行四边形的对角线，由（3）可得，同理可得，此时。综上所述，当时，抛物线上存有点P，使得以为顶点的四边形是平行四边形。符合条件的点有（；。说明：在此题中，由（1）的具体启发完成（2）中的求解是关键；在问题（4）中，全面而恰当的分类使解答简捷而有序。3.【详解】：分析：对于（1）和（2）要通过“黄金分割线”的定义来检验，要点是由“黄金分割点”类比到“黄金分割线”后对其意义的确切把握。对于（3）和（4），实际是做“等积变换”，这在“几何图形的等积分割”局部已有介绍。（1）直线是的黄金分割线。理由如下：设的边AB上的高为。又点D为边AB的黄金分割点。 直线是的黄金分割线。（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两局部，此时，三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线。（3） 的公共边CE上的高也相等，。又，。所以，直线也是的黄金分割线。（4）画法不惟一，现提供两种画法；画法一：如答图（1），取的中点G，再过点G作一条直线分别交于点，则直线就是平行四边形的黄金分割线。画法二：如答图（2），在上取一点，连结，再过点F作交AB于点M，连结，则直线就是平行四边形的黄金分割线。ACBDFEMGNACBDFEMN（1）（2）【说明】此题表达的就是通过类比将“黄金分割”由线段扩充到三角形和平行四边形。4. 【详解】：（1）又，又，。（2）若，均为锐角三角形或均为直角三角形或均为钝角三角形，且，则。说明：此题告诉我们，一个不真的命题加上若干限定条件之后，它就可能成为一个真命题，所以，“特殊化”方向的研究，可协助我们获得更深入的知识。归纳和类比是知识扩充与增长的极为重要的思维途径，也是研究性问题展开的有效方式。所以，我们要深刻体会归纳与类比的思考要点，并能熟练而灵活地使用。5 【详解】： 解: 在方形环中， 解法一： （或）当时，tan=1,则 当时， 则 （或） 解法二：在方形环中， 又 在与中， 即 （或） 当时， 当时， 则 （或） 6 【详解】：3个； 验证2：在镶嵌平面时，设围绕某一点有a个正三角形和b个正六边形的内角能够拼成一个周角根据题意，可得方程： 整理得：， 能够找到两组适合方程的正整数解为和结论2：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着2个正三角形和2个正六边形的内角或者围绕着4个正三角形和1个正六边形的内角能够拼成一个周角，所以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合能够实行平面镶嵌猜测3：是否能够同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合实行平面镶嵌？验证3：在镶嵌平面时，设围绕某一点有m个正三角形、n个正方形和c个正六边形的内角能够拼成一个周角. 根据题意，可得方程：，整理得：，能够找到惟一一组适合方程的正整数解为.结论3：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正三角形、2个正方形和1个正六边形的内角能够拼成一个周角，所以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合能够实行平面镶嵌. 7【详解】：1证明：分别过点M，N作 MEAB，NFAB，垂足分别为点E，F ABDCMN图 EF ADBC，ADBC， 四边形ABCD为平行四边形 ABCD ME= NF SABM，SABN， SABM SABN 相等理由如下：分别过点D，E作DHAB，EKAB，垂足分别为H，KHC图 ABDMFEGK则DHA=EKB=90 ADBE， DAH=EBK ADBE， DAHEBK DH=EK CDABEF， SABM，SABG， SABM SABG. 2答：存有 解：因为抛物线的顶点坐标是C(1，4)，所以，可设抛物线的表达式为.又因为抛物线经过点A(3，0)，将其坐标代入上式，得，解得. 该抛物线的表达式为，即 D点坐标为（0，3）设直线AD的表达式为，代入点A的坐标，得，解得. 直线AD的表达式为 过C点作CGx轴，垂足为G，交AD于点H则H点的纵坐标为 CHCGHG422设点E的横坐标为m，则点E的纵坐标为 过E点作EFx轴，垂足为F，交AD于点P，则点P的纵坐标为，EFCGA图 -1CDBOxyHPGFPE由1可知：若EPCH，则ADE与ADC的面积相等 若E点在直线AD的上方如图-1，则PF=，EF EPEFPF= 解得， 当时，PF=321，EF=1+23 E点坐标为（2，3） 同理 当m=1时，E点坐标为（1，4），与C点重合若E点在直线AD的下方如图2,3， 则解得， 当时，E点的纵坐标为； 当时，E点的纵坐标为 A图3CDBOxyHPGFPEA图2CDBOxyHPGFPE 在抛物线上存有除点C以外的点E，使得ADE与ACD的面积相等，E点的坐标为E1（2，3）； 8. 【详解】： 探究 (1)(1，0)；(-2，)；(2)过点A，D，B三点分别作x轴的垂线，垂足分别为ADBOxyDBA， ，则D为AB中点，由平行线分线段成比例定理得=O=即D点的横坐标是同理可得D点的纵坐标是AB中点D的坐标为(，)xyy=y=x-2ABOOP归纳：，使用 由题意得解得或即交点的坐标为A(-1，-3)，B(3，1) 以AB为对角线时，由上面的结论知AB中点M的坐标为(1，-1) 平行四边形对角线互相平分，OM=OP，即M为OP的中点P点坐标为(2，-2) 同理可得分别以OA，OB为对角线时，点P坐标分别为(4，4) ，(-4，-4) 满足条件的点P有三个，坐标分别是(2，-2) ，(4，4) ，(-4，-4) 9. 【详解】：（）（）答案不唯一，选图，图中有直线垂直平分证明：与是全等的等边三角形，点在线段的垂直平分线上，所以直线垂直平分（）当为奇数时，当为偶数时，（）存有，当为奇数时，直线垂直平分当为偶数时，直线垂直平分10. 【详解】： 定理表述假如直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么 尝试证明又 整理，得 知识拓展