三三个有特殊性质的向量

三、三个有特殊性质的向量三、三个有特殊性质的向量 1 一、向量代数复习一、向量代数复习二、向量函数的极限、连续、微分、积分二、向量函数的极限、连续、微分、积分 第一章 曲 线 论1 1、向量的概念、向量的概念定义定义:既有大小又有方向的量称为向量既有大小又有方向的量称为向量.自由向量自由向量与起点无关的向量与起点无关的向量相等向量相等向量若若a a与与 b b大小相等大小相等,方向相同方向相同负向量负向量-与与a a 的模相同的模相同,但方向相反的向量但方向相反的向量向径向径起点在原点的向量（位置起点在原点的向量（位置向量）向量）零向量零向量模为模为 0 0 的向量的向量向量的模向量的模向量的大小向量的大小单位向量单位向量模为模为 1 1 的向量的向量平行向量平行向量a a 与与 b b 方向相同或相反方向相同或相反12M M记作,a或a记作.00或，记作 ab;记作 ab;记作a;(1)加法：加法：cba 2 2、向量的线性运算、向量的线性运算abdab(2)减法：减法：cba dba (3)向量与数的乘法：向量与数的乘法：设设 是一个数，向量是一个数，向量a与与 的乘积的乘积a 规定为规定为,0)1(a 与与a同向，同向，|aa ,0)2(0 a,0)3(a 与与a反向，反向，|aa 向量的分解式：向量的分解式：,zyxaaaa .,轴上的投影轴上的投影分别为向量在分别为向量在其中其中zyxaaazyxkajaiaazyx 在三个坐标轴上的分向量：在三个坐标轴上的分向量：kajaiazyx,向量的坐标表示式：向量的坐标表示式：向量的坐标：向量的坐标：zyxaaa,3 3、向量的表示法、向量的表示法在标架O；i，j，k下向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式,zyxaaaa ,zyxbbbb ,zzyyxxbabababa ,zzyyxxbabababa ,zyxaaaa kbajbaibazzyyxx)()()(kbajbaibazzyyxx)()()(kajaiazyx)()()(222|zyxaaaa 向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式222coszyxxaaaa 222coszyxyaaaa 222coszyxzaaaa 向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式)1coscoscos(222 4 4、数量积、数量积 cos|baba 其其中中 为为a与与b的的夹夹角角(点积、内积点积、内积)zzyyxxbabababa 数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式ba 0 zzyyxxbababa222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式22|;aa引进度量长度引进度量长度 角度角度5 5、向量积、向量积 sin|bac 其其中中 为为a与与b的的夹夹角角(叉积、外积叉积、外积)kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()(向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式ba 定义abba cabbac zyxzyxbbbaaakjiba ba/zzyyxxbababa cbacba )(zyxzyxzyxcccbbbaaa 6 6、混合积、混合积混合积的几何意义与性质：混合积的几何意义与性质：(1)向量的混合积向量的混合积cbacba )(是这样是这样的一个数，它的绝对值的一个数，它的绝对值表示以向量表示以向量a、b、c为为棱的平行六面体的体积棱的平行六面体的体积.acbba)2(cbacba )(acb )(.)(bac （3）三向量）三向量a、b、c共面共面.0 cbacbacbacba,cos)(7.7.二重向量积二重向量积()abca cbb ca（）（）(),),abcda b d ca b c d （）（）8.8.三重向量积三重向量积9.9.拉格朗日恒等式拉格朗日恒等式()acadabcdbcbd （）平面的点法式方程平面的点法式方程设平面过定点 M0(x0,y0,z0),且有法向量n=A,B,C.对于平面上任一点M(x,y,z),向量M0M与n垂直.yxzM0MnOn M0 M=0而M0 M=x x0,y y0,z z0,A(x x0)+B(y y0)+C(z z0)=0称方程为平面的点法式方程点法式方程.00,MMr r 设分别对应0rr（）n=0平面的点位式矢量式参数方程平面的点位式矢量式参数方程因为所以bxyzaM0MOr0r00000,;,MMr r a bM Mabrrabrrab 设分别对应（）=+已知不共线的三点M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),M3(x3,y3,z3),设M(x,y,z)是平面上任意一点坐标式参数方程为上式为平面的上式为平面的向量式参数方程向量式参数方程121311213112131()()()()()()xxu xxv xxyyu yyv yyzzu zzv zz平面的三点式方程123123213112131,(r-r),(r-r)r=r+(r-r)+(r-r)M MMMr r r rab 设,分别对应取 直线的点向式方程直线的点向式方程已知直线L过M0(x0,y0,z0)点方向向量 s=m,n,ppzznyymxx000称为直线的对称式方程,LM sMM0/),(zyxMxyzosL0M M 0000,MMr rM Mtsrrs 设分别对应+t直线的直线的点向式向量方程点向式向量方程