2_1指数函数新人教A版必修1优秀教案

2.1 指数函数 新人教A版必修1优秀教案目录（共六个教案)2.1指数函数约6课时第二章 基本初等函数（）本章教材分析教材把指数函数、对数函数、幂函数当作三种重要的函数模型来学习,强调通过实例和图象的直观,揭示这三种函数模型增长的差异及其关系,从而让学生体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法,学会使用具体的函数模型解决一些实际问题.本章总的教学目标是:理解指数函数模型的实际背景,理解有理数指数幂的意义,通过具体实例理解实数指数幂的意义,掌握幂的运算;理解指数函数的概念和意义,掌握f(x)=ax的符号及意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的相关性质（单调性、值域、特别点）,通过应用实例的教学,体会指数函数是一种重要的函数模型;理解对数的概念及其运算性质,理解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料,理解对数的发现历史及其对简化运算的作用;通过具体函数,直观理解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,掌握f(x)=logax的符号及意义,体会对数函数是一类重要的函数模型;能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,探索并理解对数函数的相关性质（单调性、值域、特殊点）;知道指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数（a0,a1）,初步理解反函数的概念和f-1(x)的意义;通过实例理解幂函数的概念,结合五种具体函数y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y=x的图象,理解它们的变化情况.本章的重点是三种初等函数的概念、图象及性质,要在理解定义的基础上,通过几个特殊函数图象的观察,归纳得出一般图象及性质,这种由特殊到一般的研究问题的方法是数学的基本方法.把这三种函数的图象及性质之间的内在联系及本质区别搞清楚是本章的难点.教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念,所举例子比较全面,有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用,并尽可能联系一些熟悉的事例,以丰富教学的情境创设.在学习对数函数的图象和性质时,教材将它与指数函数的相关内容作了比较,让学生体会两种函数模型的增长区别与关联,渗透了类比思想.建议教学中重视知识间的迁移与互逆作用.教材对反函数的学习要求仅限于初步的知道概念,目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模型的学习,教学中不宜对其定义做更多的拓展.教材对幂函数的内容做了削减,仅限于学习五种学生易于掌握的幂函数,并且安排的顺序向后调整,教学中应防止增加这局部内容,以免增加学生的学习负担.通过使用计算机绘制指数函数的动态图象,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能.教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于增强数学文化的教育,应指导学生认真研读.本章教学时间约需14课时,具体分配如下（仅供参考）2.1指数函数约6课时2.2对数函数约6课时2.3幂函数约1课时本章复习约1课时2.1 指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算整体设计教学分析我们在初中的学习过程中,已理解了整数指数幂的概念和运算性质.从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上,类比出正数的n次方根的定义,从而把指数推广到分数指数.进而推广到有理数指数,再推广到实数指数,并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂.教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景,先给出两个具体例子:GDP的增长问题和碳14的衰减问题.前一个问题,既让学生回顾了初中学过的整数指数幂,也让学生感受到其中的函数模型,并且还有思想教育价值.后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时,激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望,为新知识的学习作了铺垫.本节安排的内容蕴涵了很多重要的数学思想方法,如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质)等,同时,充分注重与实际问题的结合,表达数学的应用价值.根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持.三维目标1.通过与初中所学的知识实行类比,理解分数指数幂的概念,进而学习指数幂的性质.掌握分数指数幂和根式之间的互化,掌握分数指数幂的运算性质.培养学生观察分析、抽象类比的水平.2.掌握根式与分数指数幂的互化,渗透“转化”的数学思想.通过运算训练,养成学生严谨治学,一丝不苟的学习习惯,让学生理解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理.3.能熟练地使用有理指数幂运算性质实行化简、求值,培养学生严谨的思维和科学准确的计算水平.4.通过训练及点评,让学生更能熟练掌握指数幂的运算性质.展示函数图象,让学生通过观察,进而研究指数函数的性质,让学生体验数学的简洁美和统一美.重点难点教学重点：(1)分数指数幂和根式概念的理解.(2)掌握并使用分数指数幂的运算性质.(3)使用有理指数幂性质实行化简、求值.教学难点:(1)分数指数幂及根式概念的理解.(2)有理指数幂性质的灵活应用.课时安排3课时教学过程第1课时 指数与指数幂的运算(1)导入新课思路1.同学们在预习的过程中能否知道考古学家如何判断生物的发展与进化,又怎样判断它们所处的年代?(考古学家是通过对生物化石的研究来判断生物的发展与进化的,第二个问题我们不太清楚)考古学家是按照这样一条规律推测生物所处的年代的.教师板书本节课题:指数函数指数与指数幂的运算.思路2.同学们,我们在初中学习了平方根、立方根,那么有没有四次方根、五次方根n次方根呢？答案是肯定的,这就是我们本堂课研究的课题:指数函数指数与指数幂的运算.推动新课新知探究提出问题(1)什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个,立方根呢？(2)如x4=a,x5=a,x6=a根据上面的结论我们又能得到什么呢?(3)根据上面的结论我们能得到一般性的结论吗?(4)可否用一个式子表达呢?活动：教师提示,引导学生回忆初中的时候已经学过的平方根、立方根是如何定义的,对照类比平方根、立方根的定义解释上面的式子,对问题的结论实行引申、推广,相互交流讨论后回答,教师即时启发学生,具体问题一般化,归纳类比出n次方根的概念,评价学生的思维.讨论结果：(1)若x2=a,则x叫做a的平方根,正实数的平方根有两个,它们互为相反数,如:4的平方根为2,负数没有平方根,同理,若x3=a,则x叫做a的立方根,一个数的立方根只有一个,如:-8的立方根为-2.(2)类比平方根、立方根的定义,一个数的四次方等于a,则这个数叫a的四次方根.一个数的五次方等于a,则这个数叫a的五次方根.一个数的六次方等于a,则这个数叫a的六次方根.(3)类比(2)得到一个数的n次方等于a,则这个数叫a的n次方根.(4)用一个式子表达是,若xn=a,则x叫a的n次方根.教师板书n次方根的意义:一般地,假如xn=a,那么x叫a的n次方根(n-throot),其中n1且nN*.能够看出数的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例.提出问题(1)你能根据n次方根的意义求出以下数的n次方根吗?(多媒体显示以下题目).4的平方根；8的立方根；16的4次方根；32的5次方根；-32的5次方根；0的7次方根；a6的立方根.(2)平方根,立方根,4次方根,5次方根,7次方根,分别对应的方根的指数是什么数,有什么特点?4,8,16,-32,32,0,a6分别对应什么性质的数,有什么特点?(3)问题（2）中,既然方根有奇次的也有偶次的,数a有正有负,还有零,结论有一个的,也有两个的,你能否总结一般规律呢?(4)任何一个数a的偶次方根是否存有呢?活动：教师提示学生切实紧扣n次方根的概念,求一个数a的n次方根,就是求出的那个数的n次方等于a,即时点拨学生,从数的分类考虑,能够把具体的数写出来,观察数的特点,对问题（2）中的结论,类比推广引申,考虑要全面,对回答准确的学生即时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.讨论结果：（1）因为2的平方等于4,2的立方等于8,2的4次方等于16,2的5次方等于32,-2的5次方等于-32,0的7次方等于0,a2的立方等于a6,所以4的平方根,8的立方根,16的4次方根,32的5次方根,-32的5次方根,0的7次方根,a6的立方根分别是2,2,2,2,-2,0,a2.（2）方根的指数是2,3,4,5,7特点是有奇数和偶数.总的来看,这些数包括正数,负数和零.（3）一个数a的奇次方根只有一个,一个正数a的偶次方根有两个,是互为相反数.0的任何次方根都是0.（4）任何一个数a的偶次方根不一定存有,如负数的偶次方根就不存有,因为没有一个数的偶次方是一个负数.类比前面的平方根、立方根,结合刚刚的讨论,归纳出一般情形,得到n次方根的性质:当n为偶数时,a的n次方根有两个,是互为相反数,正的n次方根用表示,假如是负数,负的n次方根用表示,正的n次方根与负的n次方根合并写成(a0).n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数,这时a的n次方根用符号表示.负数没有偶次方根；0的任何次方根都是零.上面的文字语言可用下面的式子表示:a为正数:a为负数:零的n次方根为零,记为=0.能够看出数的平方根、立方根的性质是n次方根的性质的特例.思考根据n次方根的性质能否举例说明上述几种情况?活动：教师提示学生对方根的性质要分类掌握,即正数的奇偶次方根,负数的奇次方根,零的任何次方根,这样才不重不漏,同时巡视学生,随机给出一个数,我们写出它的平方根,立方根,4次方根等,看是否有意义,注意观察方根的形式,即时纠正学生在举例过程中的问题.解答：答案不唯一,比方,64的立方根是4,16的四次方根为2,-27的5次方根为,而-27的4次方根不存有等.其中也表示方根,它类似于的形式,现在我们给式子一个名称根式.根式的概念:式子叫根式,其中a叫被开方数,n叫根指数.如中,3叫根指数,-27叫被开方数.思考表示an的n次方根,等式=a一定成立吗？假如不一定成立,那么等于什么？活动：教师让学生注意讨论n为奇偶数和a的符号,充分让学生多举实例,分组讨论.教师点拨,注意归纳整理.如=-3,=|-8|=8.解答：根据n次方根的意义,可得:()n=a.通过探究得到：n为奇数,=a.n为偶数,=|a|=所以我们得到n次方根的运算性质：()n=a.先开方,再乘方（同次）,结果为被开方数.n为奇数,=a.先奇次乘方,再开方（同次）,结果为被开方数.n为偶数,=|a|=a,先偶次乘方,再开方（同次）,结果为被开方数的绝对值.应用例如思路1例1求以下各式的值:(1);(2);(3);(4)(ab).活动：求某些式子的值,首先考虑的应是什么,明确题目的要求是什么,都用到哪些知识,关键是啥,搞清这些之后,再针对每一个题目仔细分析.观察学生的解题情况,让学生展示结果,抓住学生在解题过程中出现的问题并对症下药.求以下各式的值实际上是求数的方根,可按方根的运算性质来解,首先要搞清楚运算顺序,目的是把被开方数的符号定准,然后看根指数是奇数还是偶数,假如是奇数,无需考虑符号,假如是偶数,开方的结果必须是非负数.解：(1)=-8;(2)=10;(3)=-3;(4)=a-b(ab).点评：不注意n的奇偶性对式子的值的影响,是导致问题出现的一个重要原因,要在理解的基础上,记准,记熟,会用,活用.变式训练求出以下各式的值:(1);(2)(a1);(3).解：(1)=-2,(2)(a1)=3a-3,(3)=点评：此题易错的是第(3)题,往往无视a与1大小的讨论,造成错解.思路2例1以下各式中准确的是( )(1)=a;(2)=;(3)a0=1;(4)=.活动：教师提示,这是一道选择题,此题考查n次方根的运算性质,应首先考虑根据方根的意义和运算性质来解,既要考虑被开方数,又要考虑根指数,严格按求方根的步骤,体会方根运算的实质,学生先思考哪些地方容易出错,再回答.解：(1)=a,考查n次方根的运算性质,当n为偶数时,应先写=|a|,故此题错.(2)=,本质上与上题相同,是一个正数的偶次方根,根据运算顺序也应如此,结论为=,故此题错.(3)a0=1是有条件的,即a0,故此题也错.(4)是一个正数的偶次方根,根据运算顺序也应如此,故此题准确.所以答案选(4).点评：此题因为考查n次方根的运算性质与运算顺序,有时极易选错,选四个答案的情况都会有,所以解题时千万要细心.例+=_活动：让同学们积极思考,交流讨论,此题乍一看内容与本节无关,但仔细一想,我们学习的内容是方根,这里是带有双重根号的式子,去掉一层根号,根据方根的运算求出结果是解题的关键,所以将根号下面的式子化成一个完全平方式就更为关键了,从何处入手?需利用和的平方公式与差的平方公式化为完全平方式.准确分析题意是关键,教师提示,引导学生解题的思路.解：=+1.=-1.所以+=2.点评：不难看出与形式上有些特点,即是对称根式,是形式的式子,我们总能找到办法把其化成一个完全平方式. 思考上面的例2还有别的解法吗?活动：教师引导,去根号常常利用完全平方公式,有时平方差公式也可,同学们观察两个式子的特点,具有对称性,再考虑并交流讨论,一个是+,一个是-,去掉一层根号后,相加正好抵消.同时借助平方差,又可去掉根号,所以把两个式子的和看成一个整体,两边平方即可,探讨得另一种解法.另解：利用整体思想,x=+,两边平方得x2=3+2+3-2+2()()=6+2=6+2=8,所以x=2.点评：对双重二次根式,特别是形式的式子,我们总能找到办法将根号下面的式子化成一个完全平方式,问题迎刃而解,另外对的式子,我们能够把它们看成一个整体利用完全平方公式和平方差公式去解.变式训练若=a-1，求a的取值范围.解：因为=a-1,而=|a-1|=a-1,即a-10,所以a1.点评：利用方根的运算性质转化为去绝对值符号,是解题的关键.知能训练(教师用多媒体显示在屏幕上)1.以下说法准确的是( )A.正数的n次方根是一个正数B.负数的n次方根是一个负数C.0的任何次方根都是零D.a的n次方根用表示(以上n1且nN*).答案：C2.化简以下各式:(1);(2);(3);(4);(5).答案：(1)2;(2);(3)x2;(4)|x|;(5)|x-y|.3.计算=_.解：=+-=2.答案：2拓展提升问题：=a与()n=a（n1,nN）哪一个是恒等式,为什么?请举例说明.活动：组织学生结合前面的例题及其解答,实行分析讨论,解决这个问题要紧扣n次方根的定义.通过归纳,得出问题结果,对a是正数和零,n为偶数时,n为奇数时讨论一下.再对a是负数,n为偶数时,n为奇数时讨论一下,就可得到相对应的结论.解答：（）n=a（n1,nN）.假如xn=a（n1,且nN）有意义,则无论n是奇数或偶数,x=一定是它的一个n次方根,所以（）n=a恒成立.例如：（）4=3,=5.=当n为奇数时,aR,=a恒成立.例如：=2,=2.当n为偶数时,aR,an0,表示正的n次方根或0,所以假如a0,那么=a.例如=3, =0；假如a0,那么=|a|=a,如=3.即（na）n=a（n1,nN）是恒等式,=a（n1,nN）是有条件的.点评：实质上是对n次方根的概念、性质以及运算性质的深刻理解.课堂小结学生仔细交流讨论后,在笔记上写出本节课的学习收获,教师用多媒体显示在屏幕上.1.假如xn=a,那么x叫a的n次方根,其中n1且nN*.用式子表示,式子叫根式,其中a叫被开方数,n叫根指数.(1)当n为偶数时,a的n次方根有两个,是互为相反数,正的n次方根用表示,假如是负数,负的n次方根用-表示,正的n次方根与负的n次方根合并写成(a0).(2)n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数,这时a的n次方根用符号表示.(3)负数没有偶次方根.0的任何次方根都是零.2.掌握两个公式：n为奇数时,()n=a,n为偶数时,=|a|=作业课本P59习题2.1A组 1.补充作业:1.化简以下各式：(1);(2);(3);(4).解：(1)=;(2)=;(3)=x2;(4)=.2.若5a8,则式子的值为_.分析:因为5a0,a0,m,nN*,且n1).(4)你能用方根的意义来解释(3)的式子吗？(5)你能推广到一般的情形吗？活动：学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质,仔细观察,特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系,教师引导学生体会方根的意义,用方根的意义加以解释,指点启发学生类比(2)的规律表示,借鉴(2)(3),我们把具体推广到一般,对写准确的同学即时表扬,其他学生鼓励提示.讨论结果：(1)整数指数幂的运算性质：an=aaaa,a0=1(a0);00无意义;a-n=(a0);aman=am+n;(am)n=amn;(an)m=amn;(ab)n=anbn.(2)a2是a10的5次方根；a4是a8的2次方根；a3是a12的4次方根；a5是a10的2次方根.实质上=a,=a,=a,=a结果的a的指数是2,4,3,5分别写成了,形式上变了,本质没变.根据4个式子的最后结果能够总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式能够写成分数作为指数的形式（分数指数幂形式）.(3)利用(2)的规律,=5,=7,=a,=x.(4)53的四次方根是5,75的三次方根是7,a7的五次方根是a,xm的n次方根是x.结果说明方根的结果和分数指数幂是相通的.(5)假如a0,那么am的n次方根可表示为m=a,即a=m(a0,m,nN*,n1).综上所述,我们得到正数的正分数指数幂的意义,教师板书:规定:正数的正分数指数幂的意义是a=m(a0,m,nN*,n1).提出问题负整数指数幂的意义是怎样规定的?你能得出负分数指数幂的意义吗?你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义?综合上述,如何规定分数指数幂的意义?分数指数幂的意义中,为什么规定a0,去掉这个规定会产生什么样的后果?既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢?活动：学生回想初中学习的情形,结合自己的学习体会回答,根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比,把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来,与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质,教师在黑板上板书,学生合作交流,以具体的实例说明a0的必要性,教师即时作出评价.讨论结果：负整数指数幂的意义是:a-n=(a0),nN*.既然负整数指数幂的意义是这样规定的,类比正数的正分数指数幂的意义可得正数的负分数指数幂的意义.规定:正数的负分数指数幂的意义是a=(a0,m,nN*,n1).规定:零的分数指数幂的意义是:零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.教师板书分数指数幂的意义.分数指数幂的意义就是:正数的正分数指数幂的意义是a=(a0,m,nN*,n1),正数的负分数指数幂的意义是a=(a0,m,nN*,n1),零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.若没有a0这个条件会怎样呢?如(-1)=3-1=-1,(-1)=6(-1)2=1具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果,这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的.所以在把根式化成分数指数时,切记要使底数大于零,如无a0的条件,比方式子3a2=|a|,同时负数开奇次方是有意义的,负数开奇次方时,应把负号移到根式的外边,然后再按规定化成分数指数幂,也就是说,负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数,而不是负数,负数仅仅出现在指数上.规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数r,s,均有下面的运算性质:（1）aras=ar+s(a0,r,sQ),（2）(ar)s=ars(a0,r,sQ),（3）(ab)r=arbr(a0,b0,rQ).我们利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质能够解决一些问题,来看下面的例题.应用例如思路1例1求值:8;25()-5;().活动：教师引导学生考虑解题的方法,利用幂的运算性质计算出数值或化成最简根式,根据题目要求,把底数写成幂的形式,8写成23,25写成52, 写成2-1,写成()4,利用有理数幂的运算性质能够解答,完成后,把自己的答案用投影仪展示出来.解：8=(23)=2=22=4;25=(52)=5=5-1=;()-5=(2-1)-5=2-1(-5)=32;()=()=()-3=.点评：本例主要考查幂值运算,要按规定来解.在实行幂值运算时,要首先考虑转化为指数运算,而不是首先转化为熟悉的根式运算,如8=4.例2用分数指数幂的形式表示以下各式.a3;a2;(a0).活动：学生观察、思考,根据解题的顺序,把根式化为分数指数幂,再由幂的运算性质来运算,根式化为分数指数幂时,要由里往外依次实行,把握好运算性质和顺序,学生讨论交流自己的解题步骤,教师评价学生的解题情况,鼓励学生注意总结.解：a3=a3a=a=a;a2=a2a=a=a;=(aa)=(a)=a.点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质实行根式运算时,其顺序是先把根式化为分数指数幂,再由幂的运算性质来运算.对于计算的结果,不强求统一用什么形式来表示,没有特别要求,就用分数指数幂的形式来表示,但结果不能既有分数指数又有根式,也不能既有分母又有负指数.例3计算以下各式（式中字母都是正数）:（1）(2ab)(-6ab)(-3ab);（2）(mn)8.活动：先由学生观察以上两个式子的特征,然后分析,四则运算的顺序是先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的先算括号内的,整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后,其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序,再解答,把自己的答案用投影仪展示出来,相互交流,其中要注意到（1）小题是单项式的乘除运算,能够用单项式的乘除法运算顺序实行,要注意符号,第（2）小题是乘方运算,可先按积的乘方计算,再按幂的乘方实行计算,熟悉后能够简化步骤.解：（1）原式=2(-6)(-3)ab=4ab0=4a;（2）(mn)8=(m)8(n)8=mn=m2n-3=.点评：分数指数幂不表示相同因式的积,而是根式的另一种写法.有了分数指数幂,就可把根式转化成分数指数幂的形式,用分数指数幂的运算法则实行运算了.本例主要是指数幂的运算法则的综合考查和应用.变式训练求值:(1)3;(2).解：(1)3=3333=3=32=9；(2)=(=(=.例4计算以下各式:（1）();（2）(a0）.活动：先由学生观察以上两个式子的特征,然后分析,化为同底.利用分数指数幂计算,在第（1）小题中,只含有根式,且不是同次根式,比较难计算,但把根式先化为分数指数幂再计算,这样就简便多了,第（2）小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算,最后写出解答.解：（1）原式=(25-125)25=(5-5)5=5-5=5-5=-5;（2）=a=a=.思路2例1比较,的大小.活动：学生努力思考,积极交流,教师引导学生解题的思路,因为根指数不同,应化成统一的根指数,才能实行比较,又因为根指数最大的是6,所以我们应化为六次根式,然后,只看被开方数的大小就能够了.解：因为=,=,而125123121,所以.所以.点评：把根指数统一是比较几个根式大小的常用方法.例2求以下各式的值:(1);(2)2.活动：学生观察以上几个式子的特征,既有分数指数幂又有根式,应把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算,假如根式中根指数不同,也应化成分数指数幂,然后分析解答,对(1)应由里往外=,对(2)化为同底的分数指数幂,即时对学生活动实行评价.解：(1)=34(3)=(3)=(3)=3=;(2)=23()(322)=23=23=6.例3计算以下各式的值:（1）(ab2)-1(ab-3)(b)7;（2）;(3).活动：先由学生观察以上三个式子的特征,然后交流解题的方法,把根式用分数指数幂写出,利用指数的运算性质去计算,教师引导学生,强化解题步骤,对(1)先实行积的乘方,再实行同底数幂的乘法,最后再乘方,或先都乘方,再实行同底数幂的乘法,对（2）把分数指数化为根式,然后通分化简,对（3）把根式化为分数指数,实行积的乘方,再实行同底数幂的运算.解：(1)原式=(ab2)(ab-3)(b)=ababb=ab=ab0=a;另解：原式=(ab-2abb)=(ab)=(a2b0)=a;（2）原式=;（3）原式=（ab）-3(b-4a-1)=ab-2b-2a=ab-2+2=a-1=.例4已知a0,对于0r8,rN*,式子()8-rr能化为关于a的整数指数幂的情形有几种？活动：学生审题,考虑与本节知识的联系,教师引导解题思路,把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算,即先把根式转化为分数指数幂,再实行幂的乘方,化为关于a的指数幂的情形,再讨论,即时评价学生的作法.解：()8-rr=aa=a=a.16-3r能被4整除才行,所以r=0,4,8时上式为关于a的整数指数幂.点评：此题中确定整数的指数幂时,可由范围的从小到大依次验证,决定取舍.利用分数指数幂实行根式运算时,结果能够化为根式形式或保留分数指数幂的形式.例5已知f（x）=exe-x,g（x）=ex+e-x.（1）求f（x）2g（x）2的值；（2）设f（x）f（y）=4,g（x）g（y）=8,求的值.活动：学生观察题目的特点,说出解题的办法,整体代入或利用公式,建立方程,求解未知,假如学生有难度,教师能够提示引导,对（1）为平方差,利用公式因式分解可将代数式化简,对(2)难以发现已知和未知的关系,可写出具体算式,予以探求.解：(1)f（x）2g（x）2=f（x）+g（x）f（x）g（x）=（exe-x+ex+e-x）（exe-xexe-x）=2ex（2e-x）=4e0=4;另解：(1)f（x）2g（x）2=(ex-e-x)2-(ex+e-x)2=e2x-2exe-x+e-2x-e2x-2exe-x-e-2x=-4ex-x=-4e0=-4;(2)f（x）f（y）=（exe-x）（eye-y）=ex+y+e-(x+y)ex-ye-(x-y)=g（x+y）g（xy）=4,同理可得g（x）g（y）=g（x+y）+g（xy）=8,得方程组解得g（x+y）=6,g（xy）=2.所以=3.点评：将已知条件变形为关于所求量g（x+y）与g（xy）的方程组,从而使问题得以解决,这种处理问题的方法在数学上称之为方程法,方程法所表达的数学思想即方程思想,是数学中重要的数学思想.知能训练课本P54练习 1、2、3.补充练习教师用实物投影仪把题目投射到屏幕上让学生解答,教师巡视,启发,对做得好的同学给予表扬鼓励.1.(1)以下运算中,准确的是( )A.a2a3=a6B.(-a2)3=(-a3)2C.(-1)0=0D.(-a2)3=-a6(2)以下各式,（各式的nN,aR）中,有意义的是( )A. B. C. D.(3)等于( )A.a B.a2 C.a3 D.a4(4)把根式2改写成分数指数幂的形式为( )A.-2(a-b) B.-2(a-b)C.-2(a-b) D.-2(a-b)(5)化简（ab）（-3ab）（ab）的结果是( )A.6a B.-a C.-9a D.9a2.计算：(1)0.027（）-2+2563-1+（21）0=_.(2)设5x=4,5y=2,则52x-y=_.3.已知x+y=12,xy=9且xy,求的值.答案：1.(1)D (2)B (3)B (4)A (5)C 2.(1)19 (2)83.解：=.因为x+y=12,xy=9,所以(x-y)2=(x+y)2-4xy=144-36=108=427.又因为xy,所以x-y=-233=-63.所以原式=.拓展提升1.化简.活动：学生观察式子特点,考虑x的指数之间的关系能够得到解题思路,应对原式实行因式分解,根据此题的特点,注意到:x-1=(x)3-13=(x-1)(x+x+1);x+1=(x)3+13=(x+1)(x-x+1);x-x=x(x)2-1=x(x-1)(x+1).构建解题思路教师适时启发提示.解：=x-1+x-x+1-x-x=-x.点拨:解这类题目,要注意使用以下公式,(a-b)(a+b)=a-b,(ab)2=a2ab+b,(ab)(aab+b)=ab.2.已知a+a=3,探究以下各式的值的求法.(1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3).解：(1)将a+a=3,两边平方,得a+a-1+2=9,即a+a-1=7;(2)将a+a-1=7两边平方,得a2+a-2+2=49,即a2+a-2=47;(3)因为a-a=(a)3-(a)3,所以有=a+a-1+1=8.点拨:对“条件求值”问题,一定要弄清已知与未知的联系,然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值.课堂小结活动：教师,本节课同学们有哪些收获?请把你的学习收获记录在你的笔记本上,同学们之间相互交流.同时教师用投影仪显示本堂课的知识要点:(1)分数指数幂的意义就是:正数的正分数指数幂的意义是a=m(a0,m,nN*,n1),正数的负分数指数幂的意义是a=(a0,m,nN*,n1),零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.(2)规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.(3)有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数r、s,均有下面的运算性质:aras=ar+s(a0,r,sQ),(ar)s=ars(a0,r,sQ),(ab)r=arbr(a0,b0,rQ).(4)说明两点:分数指数幂的意义是一种规定,我们前面所举的例子只说明这种规定的合理性,其中没有推出关系.整数指数幂的运算性质对任意的有理数指数幂也同样适用.因而分数指数幂与根式能够互化,也能够利用(an)=am来计算.作业课本P59习题2.1A组 2、4.设计感想本节课是分数指数幂的意义的引出及应用,分数指数是指数概念的又一次扩充,要让学生反复理解分数指数幂的意义,教学中能够通过根式与分数指数幂的互化来巩固加深对这个概念的理解,用观察、归纳和类比的方法完成,因为是硬性的规定,没有合理的解释,所以多安排一些练习,强化训练,巩固知识,要辅助以信息技术的手段来完成大容量的课堂教学任务.第3课时 指数与指数幂的运算(3)导入新课思路1.同学们,既然我们把指数从正整数推广到整数,又从整数推广到正分数到负分数,这样指数就推广到有理数,那么它是否也和数的推广一样,到底有没有无理数指数幂呢?回顾数的扩充过程,自然数到整数,整数到分数(有理数),有理数到实数.并且知道,在有理数到实数的扩充过程中,增添的数是实数.对无理数指数幂,也是这样扩充而来.既然如此,我们这节课的主要内容是:教师板书本堂课的课题(指数与指数幂的运算(3)之无理数指数幂.思路2.同学们,在初中我们学习了函数的知识,对函数有了一个初步的理解,到了高中,我们又对函数的概念实行了进一步的学习,有了更深的理解,我们仅仅学了几种简单的函数,如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数等,这些远远不能满足我们的需要,随着科学的发展,社会的进步,我们还要学习很多函数,其中就有指数函数,为了学习指数函数的知识,我们必须学习实数指数幂的运算性质,为此,我们必须把指数幂从有理数指数幂扩充到实数指数幂,所以我们本节课学习:指数与指数幂的运算(3)之无理数指数幂,教师板书本堂课的课题.推动新课新知探究提出问题我们知道=1.414 213 56,那么1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,是的什么近似值？而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,是的什么近似值？多媒体显示以以下图表:同学们从上面的两个表中,能发现什么样的规律?的过剩近似值55的近似值1.511.180339891.429.829353281.4159.7508518081.41439.739872621.414229.7386186431.4142149.7385246021.41421369.7385183321.414213579.7385178621.4142135639.738177525的近似值的缺乏近似值9.518 269 6941.49.672 669 9731.419.735 171 0391.4149.738 305 1741.414 29.738 461 9071.414 2139.738 508 9281.414 2139.738 516 7651.414 213 59.738 517 7051.414 213 569.738 517 7361.414 213 562你能给上述思想起个名字吗?一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢?如5,根据你学过的知识,能作出判断并合理地解释吗?借助上面的结论你能说出一般性的结论吗?活动：教师引导,学生回忆,教师提问,学生回答,积极交流,即时评价学生,学生有困惑时加以解释,可用多媒体显示辅助内容:问题从近似值的分类来考虑,一方面从大于的方向,另一方面从小于的方向.问题对图表的观察一方面从上往下看,再一方面从左向右看,注意其关联.问题上述方法实际上是无限接近,最后是逼近.问题对问题给予大胆猜想,从数轴的观点加以解释.问题在的基础上,推广到一般的情形,即由特殊到一般.讨论结果：1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,这些数都小于,称的缺乏近似值,而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,这些数都大于,称的过剩近似值.第一个表:从大于的方向逼近时,5就从51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,即大于52的方向逼近5.第二个表:从小于2的方向逼近时,5就从51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,即小于5的方向逼近5.从另一角度来看这个问题,在数轴上近似地表示这些点,数轴上的数字说明一方面5从51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,即小于5的方向接近5,而另一方面5从51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,即大于5的方向接近5,能够说从两个方向无限地接近5,即逼近5,所以5是一串有理数指数幂51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,和另一串有理数指数幂51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,按上述变化规律变化的结果,事实上表示这些数的点从两个方向向表示5的点靠近,但这个点一定在数轴上,由此我们可得到的结论是5一定是一个实数,即51.451.4151.41451.414 251.414 21551.4142251.414351.41551.420,是无理数）是一个确定的实数.也就是说无理数能够作为指数,并且它的结果是一个实数,这样指数概念又一次得到推广,在数的扩充过程中,我们知道有理数和无理数统称为实数.我们规定了无理数指数幂的意义,知道它是一个确定的实数,结合前面的有理数指数幂,那么,指数幂就从有理数指数幂扩充到实数指数幂.提出问题（1）为什么在规定无理数指数幂的意义时,必须规定底数是正数?（2）无理数指数幂的运算法则是怎样的?是否与有理数指数幂的运算法则相通呢?（3）你能给出实数指数幂的运算法则吗?活动：教师组织学生互助合作,交流探讨,引导他们用反例说明问题,注意类比,归纳.对问题（1）回顾我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定,举例说明.对问题（2）结合有理数指数幂的运算法则,既然无理数指数幂a（a0,是无理数）是一个确定的实数,那么无理数指数幂的运算法则理应与有理数指数幂的运算法则类似,并且相通.对问题（3）有了有理数指数幂的运算法则和无理数指数幂的运算法则,实数的运算法则自然就得到了.讨论结果：（1）底数大于零的必要性,若a=-1,那么a是+1还是-1就无法确定了,这样就造成混乱,规定了底数是正数后,无理数指数幂a是一个确定的实数,就不会再造成混乱.（2）因为无理数指数幂是一个确定的实数,所以能实行指数的运算,也能实行幂的运算,有理数指数幂的运算性质,同样也适用于无理数指数幂.类比有理数指数幂的运算性质能够得到无理数指数幂的运算法则:aras=ar+s(a0,r,s都是无理数).(ar)s=ars(a0,r,s都是无理数).(ab)r=arbr(a0,b0,r是无理数).（3）指数幂扩充到实数后,指数幂的运算性质也就推广到了实数指数幂.实数指数幂的运算性质:对任意的实数r,s,均有下面的运算性质:aras=ar+s(a0,r,sR).(ar)s=ars(a0,r,sR).(ab)r=arbr(a0,b0,rR).应用例如思路1例1利用函数计算器计算.（精确到0.001）（1）0.32.1;（2）3.14-3;（3）3.1;（4）.活动：教师教会学生利用函数计算器计算,熟悉计算器的各键的功能,准确输入各类数,算出数值,对于（1）,可先按底数0.3,再按键,再按幂指数2.1,最后按,即可求得它的值；对于（2）,先按底数3.14,再按键,再按负号键,再按3,最后按即可;对于(3),先按底数3.1,再按键,再按34,最后按即可;对于（4）,这种无理指数幂,可先按底数3,其次按键,再按键,再按3,最后按键.有时也可按或键,使用键上面的功能去运算.学生能够相互交流,挖掘计算器的用途.答案：（1）0.32.10.080;（2）3.14-30.032;（3）3.12.336;（4）6.705.点评：熟练掌握用计算器计算幂的值的方法与步骤,感受现代技术的威力,逐步把自己融入现代信息社会；用四舍五入法求近似值,若保留小数点后n位,只需看第（n+1）位能否进位即可.例2求值或化简.(1)(a0,b0);(2)()(a0,b0);(3).活动：学生观察,思考,所谓化简,即若能化为常数则化为常数,若不能化为常数则应使所化式子达到最简,对既有分数指数幂又有根式的式子,应该把根式统一化为分数指数幂的形式,便于运算,教师有针对性地提示引导,对(1)由里向外把根式化成分数指数幂,要紧扣分数指数幂的意义和运算性质,对(2)既有分数指数幂又有根式,理应统一起来,化为分数指数幂,对(3)有多重根号的式子,应先去根号,这里是二次根式,被开方数应凑完全平方,这样,把5,7,6拆成()2+()2,22+()2,22+()2,并对学生作即时的评价,注意总结解题的方法和规律.解：(1)=(ab)=a-2bab=ab=.点评：根式的运算常常化成幂的运算实行,计算结果如没有特殊要求,就用根式的形式来表示.(2)()=aabb=a0b0=.点评：化简这类式子一般有两种办法,一是首先用负指数幂的定义把负指数化成正指数,另一个方法是采用分式的基本性质把负指数化成正指数.(3) =-+2-2+=0.点评：考虑根号里面的数是一个完全平方数,千万注意方根的性质的使用.例3已知x=(5-5),nN*,求(x+)n的值.活动：学生思考,观察题目的特点,从整体上看,应先化简,然后再求值,要有预见性,5与5具有对称性,它们的积是常数1,为我们解题提供了思路,教师引导学生考虑问题的思路,必要时给予提示.x2=(5-5)2=(5-250+5)=(5+2+5-4)=(5+5)2-1.这时应看到1+x2=1+(-5)2=(5+5)2,这样先算出1+x2,再算出,带入即可.解：将x=(5-5)代入1+x2，得1+x2=1+(5-5)2=(5+5)n,所以(x+)n=(5-5)+n=(5-5)+(5+5)n=(5)n=5.点评：使用整体思想和完全平方公式是解决此题的关键,要深刻理解这种做法.思路2例1计算:(1);(2)125+()-2+343-();(3)(-2xy)(3xy)；(4)(x-y)(x-y).活动：学生观察、思考,根式化成分数指数,利用幂的运算性质解题,另外要注意整体的意识,教师有针对性的提示引导,对(1)根式的运算常常化成幂的运算实行,对(2)充分利用指数幂的运算法则来实行,对(3)则要根据单项式乘法和幂的运算法则实行,对(4)要利用平方差公式先因式分解,并对学生作即时的评价.解：(1)=()+()+(0.062 5)+1-=()2+()+(0.5)+=+0.5+=5;(2)125+()-2+343-()=(53)+(2-1)-2+(73)-(3-3)=5+2-2(-1)+7-3=25+4+7-3=33;(3)(-2xy)(3xy)=(-23)(xxyy)=-6xy=;(4)(x-y)(x-y)=(x)2-(y)2)(x-y)=(x+y)(x-y)(x-y)=x+y.点评：在指数运算中,一定要注意运算顺序和灵活使用乘法公式.例2化简以下各式:(1);(2)(a3+a-3)(a3-a-3)(a4+a-4+1)(a-a-1).活动：学生观察式子的特点,特别是指数的特点,教师引导学生考虑题目的思路,这两题要注意分解因式,特别是立方和和立方差公式的应用,对有困难的学生即时提示:对(1)考查x2与x的关系可知x2=(x)3,立方关系就出来了,公式便可使用,对(2)先利用平方差,再利用幂的乘方转化为立方差,再分解因式,组织学生讨论交流.解：(1)原式=;(2)原式=(a3)2-(a-3)2(a4+a-4+1)(a-a-1)=a+a-1.点评：注意立方和立方差公式在分数指数幂当中的应用,因为二项和、差公式,平方差公式一般在使用中一目了然,而对立方和立方差公式却一般不易观察到,a=(a)3还容易看出,对其中夹杂的数字m能够化为maa=m,需认真对待,要在做题中持续地提升灵活使用这些公式的水平.知能训练课本P59习题2.1A组 3.利用投影仪投射以下补充练习