第4章离散傅里叶变换

第第4章章 图像变换图像变换n4.2 离散余弦变换离散余弦变换n4.3 K-L变换变换n4.4 小波变换小波变换 2023-1-282 第第4章章 图像变换图像变换 为了有效和快速地对图像进行处理和分析，常常需为了有效和快速地对图像进行处理和分析，常常需要将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到其他要将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到其他空间，并且利用图像在这个空间的特有性质进行处理，空间，并且利用图像在这个空间的特有性质进行处理，然后通过逆变换操作转换到图像空间。然后通过逆变换操作转换到图像空间。本章讨论图像变换重点介绍图像处理中常用的正交本章讨论图像变换重点介绍图像处理中常用的正交变换，如傅里叶变换、离散余弦变换和小波变换等。变换，如傅里叶变换、离散余弦变换和小波变换等。2023-1-28 设设f(x)f(x)为为x x的函数，如果的函数，如果f(x)f(x)满足下面的狄里赫莱条件：满足下面的狄里赫莱条件：(1)(1)具有有限个间断点；具有有限个间断点；(2)(2)具有有限个极值点；具有有限个极值点；(3)(3)绝对可积。绝对可积。则定义则定义f(x)f(x)的傅里叶变换为：的傅里叶变换为：2023-1-28dxexfuFuxj2)()(4 从从F(uF(u)恢复恢复f(xf(x)称为傅里叶反变换，定义为：称为傅里叶反变换，定义为：2023-1-28dueuFxfuxj2)()(上述二式形成傅里叶变换对，记做上述二式形成傅里叶变换对，记做：)()(uFxf函数函数f(xf(x)的傅里叶变换一般是一个复数，它可以由下式表的傅里叶变换一般是一个复数，它可以由下式表示：示：F(uF(u)=)=R(u)+jI(uR(u)+jI(u)R(u),I(uR(u),I(u)分别为分别为F(uF(u)的实部和虚部。的实部和虚部。写成指数形式：写成指数形式：juF uF u e5F(u)为复平面上的向量，它有幅度和相角：为复平面上的向量，它有幅度和相角：2023-1-28幅度：2/122)()(|)(|uIuRuF相角：)()(arctan)(uRuIu 幅度函数|F(u)|称为f(x)的傅里叶谱或频率谱，(u)称为相位谱。)()(|)(|)(222uIuRuFuE称为f(x)的能量谱或称为功率谱。6 2.2.二维连续傅里叶变换二维连续傅里叶变换 傅里叶变换可以推广到两个变量连续可积的函数傅里叶变换可以推广到两个变量连续可积的函数f(x,yf(x,y)若若f(x,yf(x,y)满足狄里赫莱条件，则存在如下傅里叶满足狄里赫莱条件，则存在如下傅里叶变化对：变化对：),(),(),(22vuIvuRvuE2023-1-28 dxdyeyxfvuFvyuxj)(2),(),(二维函数的傅里叶谱、相位和能量谱分别表示为：),(),(|),(|22vuIvuRvuF),(),(arctan),(vuRvuIvu dudvevuFyxfvyuxj)(2),(),(72023-1-281.1.一维离散傅里叶变换一维离散傅里叶变换 对一个连续函数f(x)等间隔采样可得到一个离散序列。设共采了N个点，则这个离散序列可表示为f(0),f(1),f(N-1)。借助这种表达，并令x为离散空域变量，u为离散频率变量，可将离散傅里叶变换定义为：210()()uxNjNxF uf x e8 傅里叶反变换定义由表示：傅里叶反变换定义由表示：2023-1-282101()()uxNjNuf xF u eN可以证明离散傅里叶变换对总是存在的。其傅里叶谱、相位和能量谱如下：2/122)()(|)(|uIuRuF)()(arctan)(uRuIu)()(|)(|)(222uIuRuFuE92.2.离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFTDFT）的矩阵表示法）的矩阵表示法 由由DFTDFT的定义，的定义，N N4 4的原信号序列的原信号序列f(xf(x)=f(0),f(1),f(2),f(3)=f(0),f(1),f(2),f(3)的傅里叶变换的傅里叶变换F(uF(u)展开为：展开为：2023-1-2800000:(0)(0)(1)(2)(3)uFfefefefe2322021:(1)(0)(1)(2)(3)jjjuFfefefefe46222022:(2)(0)(1)(2)(3)jjjuFfefefefe69223023:(3)(0)(1)(2)(3)jjjuFfefefefe10 将将e指数项化简可写成矩阵形式：指数项化简可写成矩阵形式：2023-1-2800003022003022(0)(0)(1)(1)(2)(2)(3)(3)jjjjjjjjeeeeFfFfeeeeFfeeeeFfeeee记作：FWf 可用复平面的单位圆来求W的各元素。如图4-1所示。当N=4时，参看图4.1(a)。把单位圆分为N=4份，则正变换矩阵第u行每次移动u份得到该行系数。112023-1-2804W14W24W34W08W18W28W38W48W58W68W78W(a)(b)图4.1 复平面单位圆(a)N4(b)N8122023-1-280000012302020321111111111111WWWWjjWWWWWWWWjjWWWW 同理N=8见图4-1(b)的单位圆。N=8的W阵应把单位圆分为8份，顺时顺次转0份,1份、,7份，可得W阵为:132023-1-2800000000012345670246024603614725040404040527416306420642076543211111111111111122221111jjjjjjWWWWWWWWWWWWWWWWjjjWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW 111111222211111111111111222211111111112222jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj 142.2.二维离散傅里叶变换二维离散傅里叶变换 一幅静止的数字图像可看做是二维数据阵列。因此，一幅静止的数字图像可看做是二维数据阵列。因此，数字图像处理主要是二维数据处理。数字图像处理主要是二维数据处理。如果一幅二维离散图像如果一幅二维离散图像f(x,yf(x,y)的大小为的大小为M M*N N，则二，则二维傅里叶变换可用下面二式表示。维傅里叶变换可用下面二式表示。2023-1-28112()000,1,2,1(,)(,)0,1,2,1uxvyMNjMNxyuMF u vf x y evN112()000,1,2,11(,)(,)0,1,2,1uxvyMNjMNuvxMf x yF u v eyNMN15 在图像处理中，一般总是选择方形阵列，所以通常情在图像处理中，一般总是选择方形阵列，所以通常情况下总是况下总是M=NM=N。正逆变换对具有下列对称的形式：。正逆变换对具有下列对称的形式：2023-1-28112()001(,)(,),0,1,2,1ux vyNNjNxyF u vf x y eu vNN112()001(,)(,),0,1,2,1ux vyNNjNuvf x yF u v ex yNN16 3.3.二维离散傅里叶变换的性质二维离散傅里叶变换的性质 二维离散傅里叶变换有一些重要的性质，这些性质为二维离散傅里叶变换有一些重要的性质，这些性质为使用提供了极大的方便。使用提供了极大的方便。1 1）分离性）分离性 二维离散傅里叶变换具有分离性二维离散傅里叶变换具有分离性 2023-1-28112()001(,)(,)ux vyNNjNxyF u vf x y eN1122001(,)uxvyNNjjNNxyef x y eN1201(,)uxNjNxF x v eN1201(,)(,)vyNjNyF x vNf x y eN172023-1-28 分离性质的主要优点是可借助一系列一维傅里叶变换分两步求得F(u,v)。第1步，沿着f(x,y)的每一行取变换，将其结果乘以1/N,取得二维函数F(x,v);第2步，沿着F(x,v)的每一列取变换，再将结果乘以1/N,就得到了F(u,v)。这种方法是先行后列。如果采用先列后行的顺序，其结果相同。如图4.6所示。182023-1-28(0,0)f(x,y)N-1N-1xy(0,0)F(x,v)N-1N-1vx(0,0)F(u,v)N-1N-1vu行变换列变换图4.6 把二维傅里叶变换作为一系列一维的计算方法 19 对逆变换对逆变换f(x,y)也可以类似地分两步进行。也可以类似地分两步进行。2023-1-28112()00112200120(,)(,)(,)(,)uxvyMNjMNuvuxvyNNjjNNuvuxNjNuf x yF u v eeF u v ef u y e20 2 2）平移性）平移性 傅里叶变换和逆变换对的位移性质是指：傅里叶变换和逆变换对的位移性质是指：2023-1-28)(20000),(),(NyvxujeyxfvvuuFNvyuxjevuFyyxxf00200),(),(由f(x,y)乘以指数项并取其乘积的傅立叶变换，使频率平面的原点位移至(u0,v0)。同样地，以指数项乘以F(u,v)并取其反变换，将空间域平面的原点位移至(x0,y0)。当u0=v0=N/2时，指数项为：002()()()(1)u x v yjjx yx yNee 21即为即为：2023-1-28)2,2()1)(,()(NvNuFyxfyx 这样，用（-l）(x+y)乘以f(x,y)就可以将f(x,y)的傅里叶变换原点移动到N*N频率方阵的中心，这样才能看到整个谱图。另外，对f(x,y)的平移不影响其傅里叶变换的幅值。此外，与连续二维傅里叶变换一样，二维离散傅里叶变换也具有周期性、共轭对称性、线性、旋转性、相关定理、卷积定理、比例性等性质。这些性质在分析及处理图像时有重要意义。22 3.DFT 3.DFT应用中的问题应用中的问题 1 1）频谱的图像显示）频谱的图像显示 DFTDFT在计算机图像处理中计算的中间过程和结果要图在计算机图像处理中计算的中间过程和结果要图像化。对像化。对DFTDFT来讲不但来讲不但f(x,yf(x,y)是图像是图像,F(u,vF(u,v)也要用图像来也要用图像来显示其结果。显示其结果。谱图像就是把谱图像就是把|F(u,vF(u,v)|)|作为亮度显示在屏幕上。但在作为亮度显示在屏幕上。但在傅里叶变换中傅里叶变换中F(u,vF(u,v)随随u,vu,v的衰减太快，其高频项只看到的衰减太快，其高频项只看到一两个峰，其余皆不清楚。一两个峰，其余皆不清楚。由于人的视觉可分辨灰度有限，为了得到清晰的显示由于人的视觉可分辨灰度有限，为了得到清晰的显示效果，即为了显示这个频谱，可用下式处理，设显示信号效果，即为了显示这个频谱，可用下式处理，设显示信号为为D(u,vD(u,v),),2023-1-28|D(u,v)log(1F(u,v)23 即用显示即用显示D(u,vD(u,v)来代替只显示来代替只显示|F(u,vF(u,v)|)|不够清楚的补救不够清楚的补救方法。方法。谱的显示加深了对图像的视觉理解。如一幅遥感图像谱的显示加深了对图像的视觉理解。如一幅遥感图像受正弦网纹的干扰，从频谱图上立即可指出干扰的空间频受正弦网纹的干扰，从频谱图上立即可指出干扰的空间频率并可方便地从频域去除。率并可方便地从频域去除。如图如图4.74.7为图像的傅里叶频谱图像为图像的傅里叶频谱图像2023-1-28242023-1-28图4.7 图像的傅里叶频谱图像，原始图像，(b)频谱直接显示，(c)频谱经过变换后的结果(b)(c)a.a.25 2.2.频谱图像的移中显示频谱图像的移中显示 常用的傅里叶正反变换公式都是以零点为中心的公式，常用的傅里叶正反变换公式都是以零点为中心的公式，其结果中心最亮点却在频谱图像的左上角，作为周期性函数其结果中心最亮点却在频谱图像的左上角，作为周期性函数其中心最亮点将分布在四角，为了观察方便，将频谱图像的其中心最亮点将分布在四角，为了观察方便，将频谱图像的零点移到显示的中心。零点移到显示的中心。当周期为当周期为N N时，应在频域移动时，应在频域移动N/2N/2。利用。利用DFTDFT的平移性质，的平移性质，先把原图像先把原图像f(x,yf(x,y)乘以乘以(-1)(-1)(x+y)(x+y)然后再进行傅里叶变换，其然后再进行傅里叶变换，其结果谱就是移结果谱就是移N/2N/2的的F(u,vF(u,v)。图。图4-84-8所示。所示。应当注意，显示是为了观看，而实际应当注意，显示是为了观看，而实际F(u,vF(u,v)数据仍保留数据仍保留为原来的值。为原来的值。2023-1-28262023-1-28图4.8 频谱图像的移中显示 (a)未移至中心的频谱图像，(b)移至中心后的频谱图像(a)(b)27 3.3.旋转性旋转性 应用中，对两幅图像进行傅里叶变换后，为求两幅图应用中，对两幅图像进行傅里叶变换后，为求两幅图像的相似性，常须对频域图进行旋转寻找匹配。此时像的相似性，常须对频域图进行旋转寻找匹配。此时FTFT公公式常用极坐标表示为傅里叶变换对。设式常用极坐标表示为傅里叶变换对。设f(x,yf(x,y)为原图中任为原图中任一点的坐标，一点的坐标，为为(x,yx,y)点与点与x x轴的夹角，轴的夹角，则傅里叶变换对为：则傅里叶变换对为：2023-1-28sincosyx),(),(fRF若空域 sincosyxsincosRvRu频域 28则旋转不变性质为：则旋转不变性质为：2023-1-28),(),(00fRF上式表明，在空域中对图像f(x,y)旋转0对应于将其傅里叶变换F(u,v)也旋转0，类似的，对F(u,v)旋转0也对应于将其傅里叶反变换f(x,y)旋转0。292023-1-28(a)(b)图4.9 傅里叶变换的旋转性，对比图4.8302023-1-28 1)数字图像傅里叶变换的频谱分布 数字图像的二维离散傅里叶变换所得结果的频率成分如图4.10所示，左上角为直流成分，变换结果的四个角的周围对应于低频成分，中央部位对应于高频部分。为了便于观察谱的分布，使直流成分出现在窗口的中央，可采用图示的换位方法，根据傅里叶频率位移的性质，只需要用f(x，y)乘上 因子进行傅里叶变换即可实现，变换后的坐标原点移动到了窗口中心，围绕坐标中心的是低频，向外是高频。312023-1-28图图4.10 二维傅里叶变换的频谱分布二维傅里叶变换的频谱分布 322023-1-28图4.11 频率位移示例332023-1-28 图4.11为二维离散傅里叶变换的频率位移特性。围绕坐标中心的是低频，向外是高频，频谱由中心向周边放射，而且各行各列的谱对中心点是共轭对称的，利用这个特性，在数据存储和传输时，仅存储和传输它们中的一部分，进行逆变换恢复原图像前，按照对称性补充另一部分数据，就可达到数据压缩的目的。2）图像傅里叶变换的统计分布 （1）傅里叶变换后的零频分量F（0，0），也称作直流分量，根据傅里叶变换公式有：1010),(1)0,0(MxNyyxfMNF它反映了原始图像的平均亮度。342023-1-28（2）对大多数无明显颗粒噪音的图像来说，低频区集中了85的能量，这一点成为对图像变换压缩编码的理论根据，如变换后仅传送低频分量的幅值，对高频分量不传送，反变换前再将它们恢复为零值，就可以达到压缩的目的。（3）图像灰度变化缓慢的区域，对应它变换后的低频分量部分；图像灰度呈阶跃变化的区域，对应变换后的高频分量部分。除颗粒噪音外，图像细节的边缘、轮廓处都是灰度变化突变区域，它们都具有变换后的高频分量特征。