动量守恒定律中内力的分析

动量守恒定律中内力的分析动量守恒定律反映了系统内物体间相互作用过程中所遵循的物理规律，其内容为：一 个系统不受外力或者受外力之和为零，这个系统的总动量保持不变。但系统内部各个物体由 于相互作用内力，内力总是成对出现的，系统内力的冲量相互抵消，不会改变系统的总动量， 但在系统内起到动量的转移或传递作用,系统内部各个物体动量会有显著的变化，这里涉及 到一个内力做功和系统内物体动能变化的问题。这类问题十分广泛，不只在力学中多见，在电学、原子物理学中亦会碰到。在动量守 恒系统的功能关系中，相互作用的内力可能是恒力，但多数情况下内力为变力，有时其变化 规律可能较复杂， 相互作用的内力不仅可以变化复杂，力的性质也可以多种多样，诸如弹 力、滑动摩擦力、分子力、电场力、磁力等等，与其相对应的能量则如弹性势能、内能、分 子势能、电势能、磁场能（闭合回路中的电能）等等。因此，若我们能仔细分析系统中相互 作用的内力的性质，也就可能在题设条件内建立起系统的动能和某种性质的内力相对应的能 之间相互转化的能量关系。解决动量守恒系统的功能问题，其解题的策略应为：1、建立系统的动量守恒定律方程。2、根据系统内的能量变化的特点建立系统的能量方程。面就不同性质的内力作用下，动量守恒定律应用作一慨括分析。一、“内力”是弹力这类问题比较多，常见的有两物体弹性碰撞；在弹簧力作用下将两物体压缩或分离等；相互作用的物体间机械能有传递，而系统机械能守恒。【例1】有光滑圆弧轨道的小车总质量为M,静止在水平地面上， 轨道足够长，下端水平，有一质量为m的小球以水平初速度V。滚上小车（如图1所示）求：（1）小球沿圆形轨道上升的最大高度h.（2）小球又滚回来和M分离时两者的速度.解析：小球沿圆形轨道上升到最大高度时，应该与小车具有相同的水平速度V,因小 球和小车在水平方向上不受合外力，相互作用中水平方向的分动量守恒，由动量守恒定律得：mv。= (M + m)v又因轨道光滑，相互作用中没有引起其他能的变化，故系统机械能守恒，有：1mv 22。(m + M )v 2 + mgh2Mv 202(M + m) g同理，有mv = mv + Mv0 1 1 1 2mv 2 + Mv 2 21221mv 2 = 2 o得：,v22m=vm + M 0【例2】如图所示，滑块A、B的质量分别为m1与叫，mVm2，由轻质弹簧相连接置于水平的气垫导轨上，用一轻绳把两滑块拉至最近，使弹簧处于最大压缩状态后绑紧。两滑块一 起以恒定的速率v0向右滑动突然轻绳断开当弹簧伸至本身的自然长度时，滑块A的速度正好为 0.求：(1) 绳断开到第一次恢复自然长度的过程中弹簧释放的弹性势能Ep；(2) 在以后的运动过程中，滑块B是否会有速度为0的时刻?试通过 定量分析证明你的结论.【解析】 (1)当弹簧处压缩状态时，系统的机械能等于两滑块的动能和弹簧的弹性势能之和当弹簧伸长到自然长度时，弹性势能为0,因这时滑块A的速度为0,故系统的机械能等于滑块B的动能设这时滑块B的速度为v,则有E=m2v2/2. 因系统所受外力为 0，由动量守恒定律(m1+m2)v0=m2v.解得 E=(m1+m2)2v02/(2m2).由于只有弹簧的弹力做功，系统的机械能守恒(m1+m2)v02/2+Ep=E.解得 Ep=(m1-m2)(m1+m2)v02/2m2.(2)假设在以后的运动中滑块B可以出现速度为0的时刻，并设此时A的速度为,弹簧 的弹性势能为Ez p,由机械能守恒定律得m1v12/2+E p=(m1+m2)2v02/2m2.根据动量守恒得(m1+mm 2)v0=m1v1,求出 v1 代入上式得:(m1+m2)2v02/2m1+E p=(m1+m2)2v02/2m2.因为E p0,故得：(m1+m2)2v02/2m1 W (m1+m2)2v02/2m2 即m三m2，这与已知条件中mVm2不符. 可见在以后的运动中不可能出现滑块B的速度为0的情况.二、“内力”是滑动摩擦力在滑动摩擦力对系统做功的过程中，系统的机械能转化为其他形式的能，其大小为 Q= fS相对特别要指出，在用Q= fS相对计算摩擦生热时，正确理解是关键。这里分两种情况：相对(1) 若一个物体相对于另一个物体作单向运动，S相对为相对位移；(2) 若一个物体相对于另一个物体作往返运动，S相对为相对路程。【例3】如图所示，在光滑的水平面上，有一质量为M的长木板以一定的初速度v0向右匀速 运动，将质量为m的小铁块无初速地轻放到木板右端，设小铁块没有滑离长木板，且与木板间动摩擦因数为卩，试求小铁块在木板上相对木板滑动的过程中: (1)摩擦力对小铁块做的功；(2)木板克服摩擦力做的功；(3) 系统机械能的减少量；(4)系统增加的内能； (5)若小铁块恰好没有滑离长木板，则木板的长为多少【解析】动量守恒；Mv0= (M+m) v(1)对小铁块由动能定理得：W占mv2-0，mM 2v 2由得摩擦力对小铁块做的功叫=亍齐（2）木板克服摩擦力做的功W2= 2 Mv2 2 Mv 2,由得 W2=mM (2M + m)v 202( M + m)211mMv 2系统减少的机械能AE= 2 Mv2-2（m +m）v2 =丽右（4）系统增加的内能Q=AE=mMv202( M + m)mMv2恰好没有滑离长木板，则Q=fs相对皿l=丽右，即木板长度 L=Mv202 卩 g (M + m)三、“内力”可以是电场力，安培力遇到这类题目，由于学生接触比较少，所以有些无所适从。这类题目要注意：（1）电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增加。在只有重力、电场力做功 的系统内，系统的动能、重力势能、电势能间发生相互转化，但总和保持不变。（2）在电磁感应现象中，克服安培力做功等于回路中产生的电能，电能再通过电路转化为 其他形式的能。【例4】绝缘光滑的平面上，有两个带电量分别Q、Q的小球A和B,相距为2m，其12中m二0.5g , m二10g，它们由静止开始运动时，A的加速度为a，经ts后B的加速度AB也为a，速度为3 m s，试求： 此时两球相距多少？ A球的速度是多少？ 在此过程中两小球的电势能变化多少?解析：设当物体B加速度为a是，A、B相距为r对A:a=r 2 m0A对B: a =KQQr2m1Bmr = r由上二式得到1 m 0B= 1.4 m释放后，A、B两球分别在“内力”库仑力作用下开始运动，A、B球动量发生改变，但系统动量守恒，有动量守恒定律得到：0=mAvA+mBvB得vA=m=6ms负号表示a球运动方向与b球相反。f f bA由动量守恒定律得到，在此过程中两小球的电势能减少量即为小球动能的增量。AE =丄 m v 2 一 m v 2 = 0.27 J2 A A 2 B B【例5】如图所示，金属杆a从离地h高处由静止开始沿光滑平行的弧形轨道下滑，轨道的 水平部分有竖直向上的匀强磁场B,水平轨道上原来放有一金属杆b,已知a杆的质量为 ma,且与杆b的质量之比为ma：叫=3： 4,水平轨道足够长，不计摩擦，求：(1) a 和 b 的最终速度分别是多大?(2) 整个过程中回路释放的电能是多少?若已知a、b杆的电阻之比Ra : Rb=3 : 4,其余部分的电阻不计，整个过程中杆a、b上产 生的热量分别是多少?【解析】(l)a下滑过程中机械能守恒：magh=mav02/2a进入磁场后，回路中产生感应电流，a、b都受安培力作用，a做减速运动，b做加速 运动，经过一段时间，a、b速度达到相同，之后回路的磁通量不发生变化，感应电流为0， 安培力为0，二者匀速运动.匀速运动的速度即为a.b的最终速度，设为v.由于所组成的系统 所受合外力为0，故系统的动量守恒mav0=(ma+mb)v由以上两式解得最终速度va=vb=v=訂2gh(2)由能量守恒得知，回路中产生的电能应等于a、b系统机械能的损失，所以E=magh-(ma+mb)v2/2=4magh/7(3) 由能的守恒与转化定律，回路中产生的热量应等于回路中释放的电能等于系统损失的机械能，即Qa+Qb=E.在回路中产生电能的过程中，电流不恒定，但由于Ra与Rb串联，通过 的电流总是相等的，所以应有QI 2R tR3a a a Q12 R tR4b b b3 l2所以Q =石E = m gha 749 aQ - E 16 m ghb 749 a