梁的弯曲变形与刚度计算

92 92 梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程9-3 9-3 积分法积分法计算梁的变形计算梁的变形9-5 9-5 梁的刚度计算及提高梁刚度的措施梁的刚度计算及提高梁刚度的措施第第9 9章章 梁的弯曲变形与刚度计算梁的弯曲变形与刚度计算 9-1 9-1 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题9-6 9-6 简单超静定梁简单超静定梁9-7 9-7 梁的弯曲应变能梁的弯曲应变能9-4 9-4 叠加法计算梁的变形叠加法计算梁的变形 弯曲构件除了要满足强度条件外弯曲构件除了要满足强度条件外,还需满足刚度条还需满足刚度条件。如车床主轴的过大弯曲引起加工零件的误差。件。如车床主轴的过大弯曲引起加工零件的误差。9.1 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题7-19.1 工程实际中的弯曲变形问题工程实际中的弯曲变形问题 但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。的弹性变形，以满足特定的工作需要。例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。以缓解车辆受到的冲击和振动作用。9.1 工程实际中的弯曲变形问题工程实际中的弯曲变形问题9.1 工程实际中的弯曲变形问题工程实际中的弯曲变形问题 挠度挠度(w):横截面形心横截面形心(即轴线上的点即轴线上的点)在垂直于在垂直于x轴方轴方向的线位移向的线位移,称为该截面的称为该截面的挠度挠度(Deflection)。取梁的左端点为坐标原点取梁的左端点为坐标原点,梁变形前的轴线为梁变形前的轴线为x轴轴,横截面的铅垂对称轴为横截面的铅垂对称轴为y轴轴,xy平面为纵向对称平面。平面为纵向对称平面。9.1 工程实际中的弯曲变形问题工程实际中的弯曲变形问题 x yBABCC1挠度w挠度符号？x yBABCC1转角符号？转角 转角转角():横截面绕中性轴横截面绕中性轴(即即Z轴轴)转过的角度（或转过的角度（或角位移）角位移）,称为该截面的称为该截面的转角转角(Slope rotation angle)。挠度和转角符号的规定：挠度和转角符号的规定：挠度：在图示坐标系中挠度：在图示坐标系中,向上为正向上为正,向下为负向下为负。转角：转角：逆时针转向为正逆时针转向为正,顺时针转向为负。顺时针转向为负。yxABCw(挠度挠度)C1 (转角转角)9.1 工程实际中的弯曲变形问题工程实际中的弯曲变形问题F必须注意必须注意:梁轴线弯曲成曲线后梁轴线弯曲成曲线后,在在x轴方向轴方向也有线位移。也有线位移。9.1 工程实际中的弯曲变形问题工程实际中的弯曲变形问题yxABCw(挠度挠度)C1 (转角转角)F但在但在小变形情况小变形情况下下,梁的挠度远小于跨长梁的挠度远小于跨长,横截面形心沿横截面形心沿x轴方向的线位移与挠度相比属于轴方向的线位移与挠度相比属于高阶微量高阶微量,可略去不计可略去不计。挠曲线挠曲线：梁变形后的轴线称为：梁变形后的轴线称为挠曲线挠曲线。挠曲线方程挠曲线方程:式中式中,x为梁变形前轴线上任一点的横坐标为梁变形前轴线上任一点的横坐标,w为该为该点的挠度。点的挠度。()wf xyxABCw(挠度挠度)C1 (转角转角)挠曲线挠曲线9.1 工程实际中的弯曲变形问题工程实际中的弯曲变形问题F挠度与转角的关系：挠度与转角的关系：tan()wfxyxABCw(挠度挠度)C1 (转角转角)9.1 工程实际中的弯曲变形问题工程实际中的弯曲变形问题F9.2 挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程1ME I1()()M xxEI横力弯曲时横力弯曲时,M和和 都是都是x的函数的函数。略去剪力对梁略去剪力对梁的位移的影响的位移的影响,则则纯弯曲时曲率与弯矩的关系为纯弯曲时曲率与弯矩的关系为由几何关系知由几何关系知,平面曲线的曲率可写作平面曲线的曲率可写作3221()()(1)wMxxEIw 曲线向上凸曲线向上凸 时：时：w0,M0因此因此,M与与w的正负号相同。的正负号相同。MMM0w0MM曲线向下凸曲线向下凸 时：时：w0,M0322()(1)wM xEIwOxy322()(1)wM xEIw由于挠曲线是一条非常平坦的曲线由于挠曲线是一条非常平坦的曲线,w2远比远比1小小,可以略去不计可以略去不计,于是上式可写成于是上式可写成()M xwEI 322()(1)wM xEIw此式称为此式称为 梁的挠曲线近似微分方程。梁的挠曲线近似微分方程。(Approximately differential equation of the deflection curve)称为称为近似近似的原因的原因:(1)略去了剪力的影响略去了剪力的影响;(2)略略去了去了w2项。项。再积分一次再积分一次,得得挠度方程挠度方程上式积分一次得上式积分一次得转角方程转角方程若为等截面直梁若为等截面直梁,其抗弯刚度其抗弯刚度EI为一常量为一常量,上式可改写成上式可改写成()EIwM x 1()dEIwM xxC 12()ddEIwM xxxC xC 式中：积分常数式中：积分常数C1、C2可通过梁挠曲线的可通过梁挠曲线的边界边界条件条件和变形的和变形的连续性条件连续性条件来确定。来确定。9.3 积分法求弯曲变形积分法求弯曲变形简支梁简支梁悬臂梁悬臂梁边界条件边界条件(boundary condition)ABwA0wB0ABwA0 A0ABAB 连续性条件连续性条件(Continuity condition)在挠曲线的任一点上在挠曲线的任一点上,有有唯一的挠度和转角。如唯一的挠度和转角。如:不可能不可能CCww CC c 讨论讨论：适用于小变形、线弹性、细长构件的平面弯曲适用于小变形、线弹性、细长构件的平面弯曲 用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移 积分常数由挠曲线变形边界条件确定积分常数由挠曲线变形边界条件确定 优点：使用范围广，直接求出较精确；优点：使用范围广，直接求出较精确；缺点：计算较繁缺点：计算较繁例例1：图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为EI的悬臂梁的悬臂梁,在自由端在自由端受一集中力受一集中力F作用。试求梁的挠曲线方程和转角作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程方程,并确定其最大挠度并确定其最大挠度wmax和最大转角和最大转角 max。ABlxxy解：解：以梁左端以梁左端A为原点为原点,取直角坐标系取直角坐标系,令令x轴轴向右向右,y轴向上为正。轴向上为正。(1)列弯矩方程列弯矩方程()()M xF lxFlFx F(2)列挠曲线近似微分方程并积分列挠曲线近似微分方程并积分()EIwM xFlFx 21(a)2FxEIwFlxC 2312(b)26FlxFxEIwC xC(3)确定积分常数确定积分常数 代入式代入式(a)和和(b),得：得：C10,C20ABlxxyF在在x0处处,w0 在在x0处处,0()EIwM xFlFx ABlxxyF22FlxFxwEIEI 2326FlxFxwEIEI(4)建立转角方程和挠度方程建立转角方程和挠度方程 将求得的积分常数将求得的积分常数C1和和C2代入式代入式(a)和和(b),得梁得梁的转角方程和挠度方程分别为：的转角方程和挠度方程分别为：(5)求最大转角和最大挠度求最大转角和最大挠度 自由端自由端B处的转角和挠度绝对值最大。处的转角和挠度绝对值最大。wmax max2max2x lFlEI 3max3x lFlwwEI 所得的挠度为负值所得的挠度为负值,说明说明B点向下移动点向下移动;转角为转角为负值负值,说明横截面说明横截面B沿顺时针转向转动。沿顺时针转向转动。xlABqFAFB例例2:2:图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为EI的简支梁的简支梁,在全梁上在全梁上受集度为受集度为q的均布荷载作用。试求此梁的挠曲线的均布荷载作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程方程和转角方程,并确定其最大挠度并确定其最大挠度 wmax和最大和最大转角转角 max 。xy解解:由对称性可知由对称性可知,梁的两个支反力为梁的两个支反力为2ABqlFF梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为221()()(a)222qlqM xxqxlxx2()()(b)2qEIwM xlxx 2()()(b)2qEIwM xlxx 231()(c)223q lxxEIwC 3412()(d)2612q lxxEIwC xC积分两次积分两次xlABqFAFBxy231()223q lxxEIwC 3412()2612q lxxEIwC xC简支梁的边界条件是简支梁的边界条件是在在x0处处,w0 在在xl处处,w0 代入代入(c)、(d)式确定出式确定出积分常数积分常数20C 3124qlC 323(64)24qwllxxEI 323(2)24qxwllxxEI xlABqFAFBxy323(64)24qwllxxEI 323(2)24qxwllxxEI ABqxy A Bwmaxl/23max24ABqlEI 由对称性可知由对称性可知,在两在两端支座端支座x0和和xl处处,转角的绝对值相转角的绝对值相等且都是最大值等且都是最大值4max25|384lxqlwwEI 在梁跨中点在梁跨中点l/2处有最大处有最大挠度值挠度值例例3：图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为EI的简支梁的简支梁,在在D点处受点处受一集中力一集中力F的作用。试求此梁的挠曲线方程和转的作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程角方程,并求其最大挠度和最大转角。并求其最大挠度和最大转角。xlABFabFAFBD解解:求出梁的支反力为求出梁的支反力为AFbFlBFaFl将梁分为将梁分为I和和II两段两段,其弯矩方程分别为其弯矩方程分别为1(0)AbMF xFxxal2()()bMFxF xaaxllIII梁段梁段I (0 x a)梁段梁段II(a x l)11bEIwMFxl两段梁的挠曲线方程分别为两段梁的挠曲线方程分别为22()bEIwMFxF xal2112b xEIwFCl31116b xEIwFC xDl2222()22b xF xaEIwFCl33222()66b xF x aEIwFC xDl积分一次积分一次得转角方得转角方程程再积分一再积分一次得挠曲次得挠曲线方程线方程挠曲线方程挠曲线方程注意：在对梁段注意：在对梁段II进行积分运算时进行积分运算时,对含有对含有(x-a)的弯矩的弯矩项不要展开项不要展开,而以而以(x-a)作为自变量进行积分作为自变量进行积分,这样可使下这样可使下面确定积分常数的工作得到简化。面确定积分常数的工作得到简化。D点的连续条件：点的连续条件：在在x=a处处,1 2,w1w2边界条件边界条件:在在x=0处处,w10在在x=l处处,w20代入方程可解得代入方程可解得:021DD2212()6FbCClblxlABFabFAFBDIII梁段梁段I (0 x a)梁段梁段II(a x l)将积分常数代入得将积分常数代入得222111()23FbwlbxlEI 22216FbxwlbxlEI 转角方程转角方程挠曲线方程挠曲线方程2222221()()23FblwxaxlblEI b 33222()()6FblwxaxlbxlEI b 将将x=0和和x=l分别代入转角方程左右两支座分别代入转角方程左右两支座处截面的转角处截面的转角当当a b时时,右支座处截面的转角绝对值为最大右支座处截面的转角绝对值为最大10()|6AxFab lblEI 2()|6Bx lFab lalEImax()6BFab lalEIxlABFabFAFBDIII221(2)33lba abx简支梁的最大挠度应在简支梁的最大挠度应在w0 0处。研究第一段处。研究第一段梁梁,令令w10 0得得122 3max1()9 3x xFbww|lblEI 当当a b时时,x1 a,最大挠度确实在第一段梁中最大挠度确实在第一段梁中222111()023FbwlbxlEIxlABFabFAFBDIII 在极端情况下在极端情况下,当当b b非常小非常小,以致以致b b2 2与与l l 2 2项相比项相比可以略去不计时可以略去不计时1223max1()9 3x xFbww|lblEI 221(2)33lba abx由讨论讨论1:1:上例中，梁中点挠度与最大挠度的关系？上例中，梁中点挠度与最大挠度的关系？xlABFabFAFBDIII则：当则：当F F从梁中点位置向从梁中点位置向B B支座移支座移动时，动时，b b值减小时，值减小时，x x从向趋近从向趋近（F F接近接近B B点时）；点时）；此时最大挠度的位置离梁中点最远，梁中点挠此时最大挠度的位置离梁中点最远，梁中点挠度与最大挠度应该差距较大。度与最大挠度应该差距较大。22max0 06429 3FblFblw.EIlEI 梁中点梁中点C C处的挠度为处的挠度为结论结论:在简支梁中在简支梁中,不论它受什么荷载作用不论它受什么荷载作用,只要挠曲线上无拐点只要挠曲线上无拐点,其最大挠度值都可用梁其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替跨中点处的挠度值来代替,其精确度是能满足其精确度是能满足工程要求的。工程要求的。略去略去b b2 2项项,得得2212|(34)48ClxFbwwlbEI 220.062516CFblFblwEIEI 223babxLaa22即但 当 b时 有：x即 x 不 在 段，即 在 DB段 无=0的 点。讨论讨论2:BD2:BD段上有无段上有无=0=0的点？的点？2222221()()023PbLwxaxLbLEIb2当时，w 有最大值xlABFabFAFBDIII条件条件：由于梁的变形微小由于梁的变形微小,梁变形后其跨长的改变可略梁变形后其跨长的改变可略去不计去不计,且且梁的材料在线弹性范围内工作梁的材料在线弹性范围内工作,因而因而,梁的梁的挠度和转角均与作用在梁上的载荷成线性关系。挠度和转角均与作用在梁上的载荷成线性关系。9.4 按叠加原理计算梁的挠度和转角按叠加原理计算梁的挠度和转角 在这种情况下在这种情况下,梁在几项载荷梁在几项载荷(如集中力、集中力如集中力、集中力偶或分布力偶或分布力)同时作用下某一横截面的挠度和转角同时作用下某一横截面的挠度和转角,就就分别等于每项载荷单独作用下该截面的挠度和转角的分别等于每项载荷单独作用下该截面的挠度和转角的叠加叠加。此即为。此即为叠加原理叠加原理。按叠加原按叠加原理 求理 求A A点点转 角 和转 角 和C C点挠度。点挠度。解、解、载荷分解如图载荷分解如图qqPP=+AAABBB Caa 查简单载荷引起的变形。查简单载荷引起的变形。EIPawPC63EIPaPA42EIqawqC2454EIqaqA33qqPP=+AAABBB Caa叠加叠加qAPAA)43(122qaPEIaEIPaEIqawC624534例：例：一抗弯刚度为一抗弯刚度为EI的简支梁受荷载如图所示。的简支梁受荷载如图所示。试按叠加原理求梁跨中点的挠度试按叠加原理求梁跨中点的挠度wC 和支座处横和支座处横截面的转角截面的转角 A,B。BAqlMeC解：解：将梁上荷载分为两项将梁上荷载分为两项简单的荷载。简单的荷载。CCqCMwww24e538416M lqlEIEI AAqAM3e243M lqlEIEI BBqBM3e246M lqlEIEI例例:试利用叠加法试利用叠加法,求图示抗弯刚度为求图示抗弯刚度为EI的简支的简支梁跨中点的挠度梁跨中点的挠度wC。Bql/2ACl/2Bq/2ACBACq/2q/2解解：该梁上荷载可视为：该梁上荷载可视为正正对称载荷对称载荷与与反称对载荷反称对载荷两两种情况的叠加。种情况的叠加。(1)正对称载荷作用下正对称载荷作用下4415(2)5384768CqlqlwEIEI (2)反对称荷载作用下反对称荷载作用下在跨中在跨中C截面处截面处,挠度挠度wC2等于零。等于零。BACq/2q/220Cw(3)将相应的位移进行叠加将相应的位移进行叠加,即得即得4125768CCCqlwwwEI 例例 用叠加法求梁中点处的挠度。设用叠加法求梁中点处的挠度。设bl/2。l/2lABqbxdx解解：将均布荷载看作许：将均布荷载看作许多微集中力多微集中力dF组成组成2222ddw(34)48d(34)48CFxlxEIqx xlxEI dF=qdx2222203(34)()48482bCqqbwxlxdxlbEIEI dFC当b=l/2时,2422(/2)35(/2)482768Cq lqlwllEIEI 结果与例结果与例2一致一致.例例 叠加法（叠加法（逐段刚化法逐段刚化法)抗弯刚度为抗弯刚度为EIEI，求，求B处处的挠的挠度与转角、度与转角、C C处的转角。处的转角。=+PL1L2ABCBCPL2w1w2等价等价等价等价PL1L2ABC刚化刚化AC段段PL1L2ABC刚化刚化BC段段PL1L2ABCMw2PL1L2ABCMPL1L2ABCBCPL2w12122223BCPL LwLEI 3213BPLwEI 221212()3BBBPLLLwwwEI 21223CBPL LEI 21212(23)6BBBPLLLEI 212112033CCCPL LPL LEIEI 1222BPLEI 10Cm ax ww max一、梁的刚度条件：一、梁的刚度条件：、校核刚度：、校核刚度：、设计载荷。、设计载荷。maxm ax ww其中其中 称为许用转角；称为许用转角；w 称为许用挠度。称为许用挠度。通常通常依此条件进行如下三种刚度计算：依此条件进行如下三种刚度计算：、设计截面尺寸；设计截面尺寸；9-5 梁的刚度计算梁的刚度计算例例1 下图为一空心圆梁，内外径分别为：下图为一空心圆梁，内外径分别为：d=40mm，D=80mm，梁的梁的E=210GPa，工程规定，工程规定C点的点的w m，B点的点的 弧度，试校弧度，试校核核此梁的刚度。此梁的刚度。P P2 2A AB BC CD DA AB BC CP P1 1D D=+P P2 2=2KN=2KNA AB BL=400mmL=400mma a=0.1m=0.1mC CP P1 1=1KN=1KND D200200mmmm211116CBPL awaEI EILPB16211 2321221633CPL aPaPa LwEIEIEI 解：解：结构变换，查表求结构变换，查表求简单载荷变形简单载荷变形(P(P2 2的计算可的计算可利用上节例利用上节例4 4的结果的结果)。P P2 2=2KN=2KNA AB BL=400mmL=400mma a=0.1m=0.1mC CP P1 1=1KN=1KND D200200mmmmA AB BC CP P1 1D D叠加求复杂载荷下叠加求复杂载荷下的变形的变形P P2 2A AB BC CD D222()3CPa aLwEI223BPaLEI212163BPLP LaEIEI 23261225.19 10 m1633CPL aPaPa LwEIEIEI)(.)(.弧度弧度4221104230320016400188021040316EILaPEILPB 48124444m1018810)4080(6414.3)(64 dDI 4B0.423 100.001 弧度655.191010mCwmw校核刚度校核刚度所以刚度是足够的。所以刚度是足够的。内外径分别为：内外径分别为：d=40mm，D=80mm讨论：强度校核问题讨论：强度校核问题二、二、提高梁的刚度的措施提高梁的刚度的措施由梁的位移表由梁的位移表(表表9-3)可见可见,梁的变形梁的变形(挠度和转挠度和转角角)除了与除了与梁的支承梁的支承和和荷载情况荷载情况有关外有关外,还取决还取决于以下三个因素于以下三个因素,即即材料材料梁的梁的变形变形与材料的弹性模量与材料的弹性模量E成反比；成反比；截面截面梁的变形与截面的惯性矩梁的变形与截面的惯性矩I成反比；成反比；跨长跨长梁的变形与跨长梁的变形与跨长l的的n次幂成正比次幂成正比(在各在各种不同荷载形式下种不同荷载形式下,n分别等于分别等于1,2,3或或4)。由此。由此可见可见,为了减小梁的位移为了减小梁的位移,可以采取下列措施：可以采取下列措施：EIPLy3max021.0EIPLy3max014.0EIPLy3max0073.01、合理布置外力（包括支座），使、合理布置外力（包括支座），使 M max 尽可能小。尽可能小。PL/2L/2MxPL/4PL/43L/4Mx3PL/16P=qLL/54L/5对称MxqL2/10EIqLw4max013.0EIqLw43max107875.0EIqLw43max10326.0Mx82qLqLL/5qL/5402qL502qL MxqL/2L/2322qL Mx512/92qL2.调整跨长和改变结构；调整跨长和改变结构；缩短跨长：缩短跨长：如如将简支梁改为外伸梁；将简支梁改为外伸梁；或增加支座等。或增加支座等。qlABqlABqAB 设法缩短梁的跨长，将能显著地减小其挠度和转角。这设法缩短梁的跨长，将能显著地减小其挠度和转角。这是提高梁的刚度的一个很又效的措施。是提高梁的刚度的一个很又效的措施。桥式起重机的钢梁通常采用两端外伸的结构桥式起重机的钢梁通常采用两端外伸的结构,就是为了缩短跨就是为了缩短跨长而减小梁的最大挠度值。长而减小梁的最大挠度值。增加梁的支座也可以减小梁增加梁的支座也可以减小梁的挠度。的挠度。ABq(a)ABqq(b)同时，由于梁的外伸部分的自重作用，将使梁的同时，由于梁的外伸部分的自重作用，将使梁的 AB 跨产生向上跨产生向上的挠度从而使的挠度从而使AB跨向下的挠度能够被抵消一部分，而有所减小。跨向下的挠度能够被抵消一部分，而有所减小。3.3.增大梁的弯曲刚度增大梁的弯曲刚度EI 对于钢材来说对于钢材来说,采用高强度钢可以显著提高梁的采用高强度钢可以显著提高梁的强度强度,但对刚度的改善并不明显但对刚度的改善并不明显,因高强度钢与普通因高强度钢与普通低碳钢的低碳钢的E值是相近的值是相近的。因此。因此,为增大梁的刚度为增大梁的刚度,应设应设法增大法增大I值值。在截面面积不变的情况下。在截面面积不变的情况下,采用适当形状采用适当形状的截面使截面面积分布在距中性轴较远处的截面使截面面积分布在距中性轴较远处,以增大截以增大截面的惯性矩面的惯性矩I,这样不仅可降低应力这样不仅可降低应力,而且能增大梁的而且能增大梁的弯曲刚度以减小位移。所以工程上常采用弯曲刚度以减小位移。所以工程上常采用工字形、工字形、箱形箱形等截面。等截面。截面形截面形状状截面面积截面面积(cm2)截面尺寸截面尺寸(cm)I(cm4)圆 形35.5D=6.72101.3矩形35.5B=4.21H=8.43210.56工字形35.520a 23709.6 简单超静定梁简单超静定梁lABq要求解如图所示的超静定梁，可以以要求解如图所示的超静定梁，可以以B端的活动端的活动铰支座为多余约束，将其撤除后而形成的悬臂铰支座为多余约束，将其撤除后而形成的悬臂梁即为原超静定梁的梁即为原超静定梁的基本静定梁基本静定梁。ABqFB为使基本静定梁的受力为使基本静定梁的受力及变形情况与原静不定及变形情况与原静不定梁完全一致，梁完全一致，还要求基还要求基本静定梁满足一定的变本静定梁满足一定的变形协调条件。形协调条件。lABqABqFB 由于原静不定梁在由于原静不定梁在B端端有活动铰支座的约束，因有活动铰支座的约束，因此，此，还要求基本静定梁在还要求基本静定梁在B端的挠度为零端的挠度为零，即，即 0Bw 此即应满足的此即应满足的变形协调条件变形协调条件(或变形相容条件或变形相容条件)ABq建立补充方程建立补充方程0BBqBFwwwABFBwBFwBqABqFB由图可见，由图可见，B端的挠度端的挠度为零，可将其视为均布为零，可将其视为均布载荷引起的挠度载荷引起的挠度wBq与与未知支座反力未知支座反力FB引起的引起的挠度挠度wBF的叠加结果，的叠加结果，即即:ABqABFBwBFwBq48BqqlwEI 由由表表查得查得力与变形间力与变形间的物理关系的物理关系：33BBFF lwEI34083BF lqlEIEI将其代入前式得：将其代入前式得：即得补充方程即得补充方程 ABqFB38BFql由此解出多余约束反力：由此解出多余约束反力：34083BF lqlEIEIlABq再利用平衡方程即可求得再利用平衡方程即可求得其他支座反力。其他支座反力。0,0 xAxFF0,0yAyBFFqlFABqFBFAyMAFAx58AyFql2()0,02AABqlMMF lF218AMql1:选取适当的多余约束，得到基本静定梁；选取适当的多余约束，得到基本静定梁；2:利用相应的变形协调条件和物理关系建立补充利用相应的变形协调条件和物理关系建立补充方程；方程；3:与平衡方程联立解出所有的支座反力与平衡方程联立解出所有的支座反力解静不定梁时，解静不定梁时，选择哪个约束为多余约束并不选择哪个约束为多余约束并不是固定的是固定的，可根据解题时的方便而定。，可根据解题时的方便而定。解静不定梁的步骤解静不定梁的步骤这种解静不定梁的方法，称为这种解静不定梁的方法，称为变形比较法变形比较法。求解。求解静不定问题的方法还有多种，以力为未知量的方静不定问题的方法还有多种，以力为未知量的方法称为法称为力法力法，变形比较法属于力法中的一种。，变形比较法属于力法中的一种。这时要求此梁满足的变形这时要求此梁满足的变形条件为：条件为：ABqlABqMA0AAqAM由表查得，因由表查得，因q和和MA而引而引起的截面起的截面A的转角分别为的转角分别为 3,243AAqAMM lqlEIEI ABq AqABMA AM对于上例对于上例,可以取固定端可以取固定端A的力偶矩为多余约束反力的力偶矩为多余约束反力来进行计算来进行计算:ABqlABqMA将其代入变形条件后将其代入变形条件后得补充方程为得补充方程为 30243AM lqlEIEI由此解得由此解得 28AqlMABq AqABMA AMq q 0 0L LA AB BC CEI、变形协调方程、变形协调方程解：解：、建立静定基建立静定基BBBqBRBCwwwL q q 0 0A AB B+=A AB BR RB B例例1 结构如图，求结构如图，求B处反力。处反力。L LBCBCEA=q q 0 0L LA AB BR R B BEIq q 0 0L LA AB BC CEI、物理方程、物理方程变形与变形与力的关系力的关系、补充方程补充方程34 ;83BBBqBRR LqLwwEIEI EALREILREIqLBCBB3834)3(834EILALIqLRBCB q q 0 0A AB B+=A AB BR RB BL LBCBCEAEALRLBCBBC =q q 0 0L LA AB BR R B BEIP P1 1MP P2 2fxEIxM)(1 d xM+dMMQQ+dQdxd xM M（x x）d 1()2dVdWM xd2()2MxdVdxEI2()2LMxVdxEI dxd 弯曲应变能的计算：弯曲应变能的计算：应变能等于外力功。不计剪切应变能并略去应变能等于外力功。不计剪切应变能并略去 d M d 9.7 梁的弯曲应变能梁的弯曲应变能例例 已知已知 EIEI，P,a,P,a,求梁的应变能。求梁的应变能。PaaA AC CB B解：解：2()2LMxVdxEI)0(;2)(axxPxM 利用对称性，得：利用对称性，得：232012()2212aPP aVxdxEIEIfx