探究椭圆的生成方式

探究椭圆的生成方式刘桂芹 天津蓟县第一中学一、背景分析在学习椭圆之后，学生对曲线与方程有了一定的了解；基本能运用求曲线方程的一般方 法求曲线的方程.一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为 “方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化 的思想、方法以及技巧的极好教材.通过学习，从书本的例题以及习题中的一些轨迹方程的 求解中发现了许多生成椭圆的方法，除了椭圆的定义之外还有很多其它方法，如圆按某一个 方向作伸缩变换可以得到椭圆，一个动点到两个定点连线的斜率之积是一个负常数生成的轨 迹是椭圆.学生对椭圆已有一定的感性认识.归纳例题、习题是为了让学生能灵活地运用椭圆 的知识进行探究，同时也是为了更好地调动、活跃学生的思维，发展学生数学思维能力，在 探究过程中发展学生的数学应用意识和创新能力，同时培养学生大胆实践、勇于探索的精神， 开阔学生知识应用视野.二、课堂生成1创设情境 提出问题【师】同学们，前一段时间我们学习了求曲线的轨迹方程的方法，下面我们一起求解几 个这类问题.教师给出 2 个问题(1) 将圆X 2 + y 2 = 4上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲 线的方程.(2) 设点A, B的坐标分别为(5,0), (5,0)，直线AM , BM相交于点M，且它们的斜率之积是-，求点M的轨迹方程.9提问：通过求出方程，判断所求轨迹是什么曲线.2实践操作 获得感知【生】学生开始动手求解教师提出的问题.按照求曲线的轨迹方程的一般步骤进行实践操作进而得出轨迹方程分别是(1)X 2 + y 2 = 14(2)丄 + 止=1(x 工土5)25100_9师】请同学们观察以上轨迹方程，得出轨迹是什么曲线？【生】学生回答轨迹是椭圆，理由是它们均符合椭圆的标准方程兰+ 21 = 1(a b 0). a2 b2【师】椭圆是生活中常见的图形，是圆锥曲线中重要的一种.椭圆的标准方程除应用定义推导方法外，你还有得到椭圆其他方法吗？刚才的推导过程给同学们怎样的启示？【生】学生开始议论，对这个问题产生浓厚兴趣. 提出大胆猜想生成椭圆的方式可以从 圆的纵坐标的变换和一个动点到两个定点连线的斜率之积两个角度考虑.【师】既然同学们产生了猜想，那就让我们一起来验证大家的猜想.3讨论探究 科学论证【师】将圆x 2 + y 2 = 4上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的丄、色、2倍，34 所得的曲线的方程又如何.计算出结果后，共同讨论探究将圆的纵坐标进行怎样的变换，可以得到椭圆？【生】学生通过仔细计算得出相应曲线方程x 2 +y 2 = 1、x 2 +y 2 = 1、x 2 +y 2 = 1.44941694教师引导学生讨论得出结论：将圆的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短可以得到椭圆.【师】通过计算曲线的方程形如匚+二=1(a b 0)或+= 1(a b 0)a2 b2a 2 b 2仍然是椭圆的标准方程.生成椭圆的方式之一是将圆的纵坐标进行伸缩变换.【生】把学生分为两组，分别做“设点A, B的坐标分别为(-5,0), (5,0)，直线相交于点 M，且它们的斜率之积是- 2、-丄并结合求得的结果让学生进行总结：你得到了什么结3论？【师】最后向学生展示结论：当两条直线斜率之积是负常数时，动点M的轨迹是椭圆。 生成椭圆的又一种方式：一个动点到两个定点连线的斜率之积是一个负常数.4拓宽思路 发展思维【师】将圆X 2 + y 2 = 4上的点的横坐标伸缩，纵坐标不变，能否得到椭圆？或将圆的 横、纵坐标同时伸缩情况又如何呢？【生】学生继续探究，对可能的情况逐一判断.得出如下结论：将圆的横纵坐标同时伸 长或缩短相同量，则得到的还是圆；将圆的横纵坐标伸长或缩短的量不同时，得到的是椭圆.【师】“设点A, B的坐标分别为(-5,0), (5,0)，直线AM , BM相交于点M，且它们的 斜率之积是-1、2时，求点M的轨迹方程.【生】学生计算得到斜率之积是-1时，轨迹方程是x2 + y 2 = 25，曲线是圆而不是 椭圆斜率之积是2时，轨迹方程是-汇=1也不是椭圆.25 50【师】要想生成椭圆斜率之积这一常数必须满足什么条件？【生】学生分组讨论得知生成椭圆的又一种方式：一个动点到两个定点连线的斜率之积 是一个不等于-1的负常数.5整合归纳 达成共识【师】通过以上探究、交流，我们发现生成椭圆的方式不止一个，请大家归纳、整合我 们探究成果.教师引导学生从不同的维度、角度来探究：（1）椭圆的定义 （2）椭圆与圆的关系（3）从斜率角度看【生】同学们经过探究、交流猜想得出生成椭圆的几种方法：（1）椭圆的定义（2）一 个圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆（3）一个动点到两个定点连线的斜率之积是 一个不等于-1的负常数，这个点的轨迹是椭圆.6总结评估 研究拓展【师】生成椭圆的方法有很多，只要求得的轨迹方程是椭圆方程，所得轨迹是椭圆这个 方法都可以作为生成椭圆的方法.椭圆是一种圆锥曲线（也有人叫圆锥截线），我们书本上课 后的探究与发现中指出用一个不平行底面的平面截圆锥（或圆柱）得到的截口曲线是椭圆， 所以它属于一种圆锥截线.只要同学们注意课本的习题、例题，努力挖掘它们之间的横纵联 系，从中获得规律与方法. 更重要的是通过探究性学习初步尝试数学研究的过程，体验创造 的激情，建立严谨的科学态度和不怕困难的科学精神，有助于培养同学们勇于质疑和善于反 思的习惯，培养同学们发现、提出、解决问题的能力，有助于发展同学们的创新意识和实践 能力. 探究性学习注重的是过程而不是结果.