几个常用函数的导数

几种常见的函数的导数求法几种常见的函数的导数求法例例1:2210(1)1(11)|limxxxyx 解：22(1)yx切线方程：20 xy即：求曲线求曲线y=f(x)=x2+1在点在点P(1,2)处的切线方程处的切线方程.导数的几何意义的应用导数的几何意义的应用202lim2xxxx 注：旧方法也可以求，且新方法与旧方法相比还不显示出导数注：旧方法也可以求，且新方法与旧方法相比还不显示出导数的优越性。但以下一题就可以显示出导数的优越性，这一题旧方法的优越性。但以下一题就可以显示出导数的优越性，这一题旧方法已经是力不从心无可救药了，必须要发明新方法即导数的方法。已经是力不从心无可救药了，必须要发明新方法即导数的方法。练习练习:如图如图,已知曲线已知曲线 ,求求:(1)(1)点点P P处的切线的斜率处的切线的斜率;(2);(2)点点P P处的切线方程处的切线方程.)38,2(313Pxy上一点 yx-2-112-2-11234OP313yx31(1),3yx解：.42|22 xy即即点点P P处的切线的斜率等于处的切线的斜率等于4.4.(2)(2)在点在点P P处的切线方程是处的切线方程是y-8/3=4(x-2),y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0.12x-3y-16=0.330011()33limlimxxxxxyyxx 2230133()()lim3xxxxxxx 22201lim33().3xxx xxx 这是导数这是导数非常非常非常非常小的应用。小的应用。原来方法原来方法没有效果没有效果了，必须了，必须发明新方发明新方法，那就法，那就是导数是导数 结论：根据导数的几何意义，结论：根据导数的几何意义，当某点处导数大于零时，说明在这点的附近曲线当某点处导数大于零时，说明在这点的附近曲线是上升的，即函数在这点附近是单调递增；是上升的，即函数在这点附近是单调递增；当某点处导数小于零时，说明在这点的附近曲线当某点处导数小于零时，说明在这点的附近曲线是下降的，即函数在这点附近是单调递减；是下降的，即函数在这点附近是单调递减；当某点处导数等于零时，说明是函数的最值点。当某点处导数等于零时，说明是函数的最值点。这是导数又一个非常重要的应用，用导数判断函数的单调性结这是导数又一个非常重要的应用，用导数判断函数的单调性结论是简单明了通俗易懂，这就是导数的伟大魅力。比如判断论是简单明了通俗易懂，这就是导数的伟大魅力。比如判断y=xy=x2 2 、y=xy=x3 3 的单调性的单调性,要复习高一的证法，再讲解导数的证法，高一证法要复习高一的证法，再讲解导数的证法，高一证法同学早已忘光。通过比较知道导数的巨大魅力，导数是项伟大的发同学早已忘光。通过比较知道导数的巨大魅力，导数是项伟大的发明，如爱因斯坦的狭义、广义相对论。证明明，如爱因斯坦的狭义、广义相对论。证明y=xy=x3 3 的单调性是某年的的单调性是某年的高考题，得分很低。高考题，得分很低。有的同学可能觉得求导数每次按定义求运算量很大，其实同学有的同学可能觉得求导数每次按定义求运算量很大，其实同学们学到以后会发现这些有共同的公式去套，有人专门解出具有普遍们学到以后会发现这些有共同的公式去套，有人专门解出具有普遍意义的函数的导数，让人们只是套一下解题。意义的函数的导数，让人们只是套一下解题。我国著名数学家我国著名数学家 华罗庚曾说过：华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，数缺形时少直观，形少数时难入微；形少数时难入微；数形结合百般好，数形结合百般好，隔离分家万事休。隔离分家万事休。”练习1、求函数y=f(x)=c的导数。0)()(xccxxfxxfxy因为00limlim00 xxxyy所以同学们看，从几何角度结论明显不明显？同学们看，从几何角度结论明显不明显？答：从几何角度是非常显然的事实。答：从几何角度是非常显然的事实。1)()(xxxxxxfxxfxy因为11limlim00 xxxyy所以练习2、求函数y=f(x)=x的导数同学们看，从几何角度结论明显不明显？同学们看，从几何角度结论明显不明显？答：从几何角度是非常显然的事实。答：从几何角度是非常显然的事实。探究？探究？(1)(1)从图象上看，它们的导数分别表示什么？从图象上看，它们的导数分别表示什么？（2 2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？一个增加得最慢？（3 3）函数）函数y=kx(k0)y=kx(k0)增（减）的快慢与什么有增（减）的快慢与什么有关关？在同一平面直角坐标系中，在同一平面直角坐标系中，画出画出y=2x,y=3x,y=4xy=2x,y=3x,y=4x的的图象，并根据导数定义，图象，并根据导数定义，求它们的导数求它们的导数。xxxxxxfxxfxy22)()()(因为xxxxyyxx2)2(limlim00所以练习3、求函数y=f(x)=x2的导数xxxxxxxx2)(2222你能不能求出函数y=f(x)=x3的导数。由函数y=x，y=x2，y=x3的导数为1，2x，3x2y=3x2你猜测你猜测 y=x n 导数是什么导数是什么?y=nxn-1 其实就算不用归纳法，直接求其实就算不用归纳法，直接求y=xy=xn n 的导数也是可以求的，我的导数也是可以求的，我们不做要求，历史上是牛顿的功劳。们不做要求，历史上是牛顿的功劳。xxxxxxfxxfxy11)()(因为22001)1(limlimxxxxxyyxx所以练习4、求函数y=f(x)=-的导数1xxxxxxxxxxx21)()(1 1、从图像上看，求出导数我们就可以求出图像的切线，但不用导、从图像上看，求出导数我们就可以求出图像的切线，但不用导数法用旧方法可以求出切线吗？数法用旧方法可以求出切线吗？2 2、我们知道、我们知道(x(xn n)=nx=nxn-1n-1 ，问这种情况还可以归入吗？即，问这种情况还可以归入吗？即n n可以是负可以是负数吗？数吗？答：答：n n可以是负数，有理数，无理数，即全体实数。可以是负数，有理数，无理数，即全体实数。探究？探究？画出函数画出函数 的图象。的图象。根据图象，描述它的变化根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点（情况，并求出曲线在点（1 1，1 1）处的）处的切线方程切线方程。1yx求切线方程的步骤：求切线方程的步骤：（1 1）求出函数在点求出函数在点x x0 0处的变化率处的变化率 ，得到曲线，得到曲线 在点在点(x(x0 0,f(x,f(x0 0)的切线的斜率。的切线的斜率。)(0 xf （2 2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即).)()(000 xxxfxfy 11.(),()0;2.(),();3.()sin,()cos;4.()cos,()sin;5.(),()ln(0);6.(),();17.()log,()(0,1);ln8.nnxxxxafxcfxfxxfxnxfxxfxxfxxfxxfxafxaa afxefxefxxfxaaxa 公 式若则公 式若则公 式若则公 式若则公 式若则公 式若则公 式若则且公 式若1()ln,();fxxfxx则基本初等函数的导数公式注意：几个其他的公式只须知道结论，推导过程超标不做要求，注意：几个其他的公式只须知道结论，推导过程超标不做要求，大学里有学。有了公式我们求函数导数时不必每次都根据定义大学里有学。有了公式我们求函数导数时不必每次都根据定义来求，根据定义运算量大，我们只须根据公式套一下就可求出来求，根据定义运算量大，我们只须根据公式套一下就可求出例1 y=|x|(xR)有没有导函数，试求之。解:(1)当x0时，y=x,则y=1(2)当x0时，比值为1，从而极限为1当x0时，比值为-1，从而极限为-1从而当x=0时，极限不存在。故y=|x|(xR)没有导函数。注意：此函数只在注意：此函数只在x=0 x=0处没有导数，其他任何地方都有导数，所以处没有导数，其他任何地方都有导数，所以整体上没有导函数，但除了整体上没有导函数，但除了x=0 x=0点外就有导函数。点外就有导函数。