二节洛必达法则L'

第二节第二节 洛必达法则（洛必达法则（LHospital）本节介绍一种求不定式的极限的简单而本节介绍一种求不定式的极限的简单而有效的方法。有效的方法。)()(lim)()(lim )()()(lim)3(0)()()(,)2(0)()(,)1(:)(),(xFxfxFxfxFxfxFxFxfaxFxfaxxFxfaxaxax 那末那末或为无穷大或为无穷大存在存在且且都存在都存在及及点的某去心邻域内点的某去心邻域内在在都趋于都趋于及及函数函数时时当当满足条件满足条件若函数若函数定理定理型型）（）与与（一一 00 .)()(lim)()(lim )()()(lim)3(0)()()(,)2(0)()(,)1(:)(),(xFxfxFxfxFxfxFxFxfaxFxfaxxFxfaxaxax 那末那末或为无穷大或为无穷大存在存在且且都存在都存在及及点的某去心邻域内点的某去心邻域内在在都趋于都趋于及及函数函数时时当当满足条件满足条件若函数若函数定理定理)（或都趋于（或都趋于型型）（）与与（一一 00 .（洛必达法则）（洛必达法则）证证0)(,0)(aFaf定义定义则则.)(),(点点连连续续在在axxFxf.)()(lim 的的值值这这样样做做，并并不不影影响响极极限限xFxfax由条件（由条件（2）得：）得：.)(),(点点的的某某邻邻域域内内连连续续在在axxFxf,x在该邻域内任取一点在该邻域内任取一点为为端端点点的的区区间间上上则则在在以以xa,件件，满满足足柯柯西西中中值值定定理理的的条条)(),(xFxf因而，在该区间上因而，在该区间上应用柯西中值定理得：应用柯西中值定理得：)()()()()()(FfaFxFafxf 之间）之间）与与介于介于（xa 即即)()()()(FfxFxf)()(lim)()(lim FfxFxfax )()(limxFxfax a 注：注：也有相应的结论成立。也有相应的结论成立。时，时，当当 xxxaxax,1 作作换换元元时时，可可令令例例如如：当当xtx 得得)()(limxFxfx)1()1(limtFtf 0 t)1)(1()1)(1(lim220ttFttft )1()1(lim0tFtft)()(limxFxftx1 令令 x例例1 1解解23)3ln(lim222 xxxx求求)00(23)3ln(lim222 xxxx)23()3ln(lim222 xxxx32 231 lim22 xxxx)32)(3(2 lim22 xxxx4 例例2 2解解21)1(lnlim xxx求求21)1(lnlim xxx)00()1()(lnlim21 xxx)1(21lim 1 xxx)1(21lim 1 xxx 例例3 3解解xxxeexxxsin2lim0 求求xxxeexxxsin2lim0 )00(xeexxxcos12lim 0 （洛）（洛）)00(xeexxxsinlim 0 （洛）（洛）)00(xeexxxcoslim 0 （洛）（洛）2 例例4 4解解xxxxxsintanlim0 求求xxxxxsintanlim0 xxxcos11seclim20 xxxxsintansec2lim 20 xxxsintanlim20 xxx0lim2（求出极限非零的因子）（求出极限非零的因子）（等价无穷小代换）（等价无穷小代换）2 )00(（洛）（洛）)00(（洛）（洛）注：注：洛必达法则是求不定式的极限的一种有效方法。洛必达法则是求不定式的极限的一种有效方法。根据需要，可以应用多次。但是，也不能一味地根据需要，可以应用多次。但是，也不能一味地使用洛必达法则。使用洛必达法则。在求不定式的极限时，如能与第一章中讲过的在求不定式的极限时，如能与第一章中讲过的其它求极限方法（如：约去零因子，等价无穷其它求极限方法（如：约去零因子，等价无穷小代换，两个重要极限等）结合使用，效果会小代换，两个重要极限等）结合使用，效果会更好更好.例例5 5xxxxxeeexe20)1(1lim 求求)00(解解xxxxxeeexe20)1(1lim )00(（求出极限非零的因子）（求出极限非零的因子）20)1(1lim xxxxeexe)1()1(lim20 xxxxeexexxxxxxeeexee)1(2lim0 xxxxeexe)1(2lim0 （洛）（洛）)1(2lim0 xxex1lim210 xxex)1()(lim21 0 xxexxxe1lim210 21)00(（洛）（洛）注注 意：意：在应用洛必达法则时，如果式子中含有极限不为在应用洛必达法则时，如果式子中含有极限不为0 0 的因子，的因子，则应先求出该因子的极限值。则应先求出该因子的极限值。这样做这样做 ，可使余下的不定式变得简单，从而便于，可使余下的不定式变得简单，从而便于继续使用洛必达法则。继续使用洛必达法则。例例6 6解解xxx1arctan2lim 求求22111lim xxx 原式原式221limxxx .1 例例7 7解解)0(,lnlim nxxnx求求11lim nxnxx原式原式0)00()(nxnx1lim（洛）（洛）（洛）（洛）例例8 8解解xxx3tantanlim2 求求xxx3sec3seclim 222 原原式式xxx222cos3coslim31 )sin(cos23)3sin(3cos2lim31 2xxxxx xxx2sin6sinlim2 xxx2cos26cos6lim2 3)(（洛）（洛）（洛）（洛）)00()00(（洛）（洛）例例9 9解解),0(,lim为正整数为正整数求求nxenxx nxxxe lim)(1lim nxxnxe （洛）（洛）22)1(lim nxxxnne （洛）（洛）)()(（洛）（洛）)(次次n!limnexnx xxxxsin1sinlim20 xxxxxxxcos)1(1cos1sin2lim220 xxxxxcos1cos1sin2lim0 )1coscos11sincos2(lim0 xxxxxx 不存在不存在（洛）（洛）失效！失效！怎样求？怎样求？xxxxsin1sinlim20 xxxxx1sinsinlim0 0 xxxxxeeee lim)(xlim（洛）（洛）xxee xxee xlim（洛）（洛）xxee xxee （洛）（洛）失效！失效！怎样求？怎样求？xxxxxeeee lim xlimxe21 xe21 1)(xe分子分母同除以分子分母同除以)()(gf gf1 型型）（）与）与（二二 0 .步骤步骤:fg1 或或）型）型（0 gf gf1 1 1 1 步骤步骤:gffg11 1-1 型型)-(通分通分化为两函数相除化为两函数相除)00()()00(例例1010)0(,lnlim0 nxxnx求求)0(分析：分析：xxnlnxxnln1 或或nxx ln )00()(化为哪一种？化为哪一种？xxnxlnlim0 )(10 1 lim nxnxx 0 limxnnx 1 0 limxnxn 0（洛）（洛）nxxx ln lim0 例例1111解解)1sin1(lim0 xxx 求求)()1sin1(lim0 xxx xxxxxcossincos1lim0 0 xxxxxsinsinlim0 )00(（洛）（洛）xxxxxsincos2sinlim0 （洛）（洛）)00(型型三三)(),1(),0(.00 )(ln)()()(xgxfxgexf Axfxg)(lnlim)(若若)(ln)()(lim)(limxgxfxgexf 则则)(lnlim)(xgxfe Ae 步骤步骤:)()()(ln )(xgxgxfxf取对数，得取对数，得对对)()(ln lim xgxf求求)(ln)(limxfxg)0(A Axgexf)()(lim 则则例例1212解解xxx 0lim求求)0(0 xxln 0limx 0limxxxln)0(0limx1ln xx 0limx21 1 xx 0limx)(x 0 xxx 0lim 0e 1)(（洛）（洛）例例1313.lim111xxx 求求)1(解解xxx 111lnlimxxx 1lnlim1 11lim1 xx 1 xxx 111lim 1 e)00(（洛洛）例例1414解解xxxln10)(cotlim 求求)(0 xxxxln)ln(cot)ln(cotln1 取对数得取对数得xxxln)ln(cotlim0)(（洛洛）0limx)sin1(cot12xx x1 0limxxxxsincos 1 xxxln10)(cotlim 1 e例例1515解解)1ln(1lim nnn求求)(0)1ln(1lim xxx考虑考虑)1ln(lnln)1ln(1xxxx 取取对对数数得得)1ln(lnlim xxx)(（洛洛）xlim 1 x11 x xlimxx1 1)1ln(1lim xxx 1ee，得得限限的的关关系系根根据据函函数数极极限限与与数数列列极极 ennn )1ln(1lim小结小结洛必达法则洛必达法则型型00,1,0 型型 型型 0型型00型型 gfgf1 fgfggf1111 取对数取对数对对 gfP138,习题习题3-2，1(单单),2,4f in作作 业业