正余弦定理在实际问题中的应用

正余弦定理在实际问题中的正余弦定理在实际问题中的应用应用【课标要求课标要求】1熟练掌握正、余弦定理熟练掌握正、余弦定理 2能够运用正、余弦定理等知识和方法求解实际问题能够运用正、余弦定理等知识和方法求解实际问题【核心扫描核心扫描】1求解距离、高度和角度问题求解距离、高度和角度问题(重点重点)2从实际问题中抽象出数学模型从实际问题中抽象出数学模型(即画出三角形即画出三角形)(难点难点)第第1课时正、余弦定理在实际问题中的应用课时正、余弦定理在实际问题中的应用1.2测量中的常用角测量中的常用角(1)仰角和俯角仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，把视线在水平线在视线和水平线所成的角中，把视线在水平线_的角称为仰的角称为仰角，视线在水平线角，视线在水平线_的角称为俯角如下图的角称为俯角如下图.(2)方位角方位角指从正北方向按指从正北方向按_转到目标方向线所成的水平角如方位转到目标方向线所成的水平角如方位角是角是45，指北偏东，指北偏东45，即东北方向，即东北方向自学导引自学导引上方上方下方下方顺时针顺时针(3)方向角方向角从指定方向到目标方向线所成的水平角如南偏西从指定方向到目标方向线所成的水平角如南偏西60，即，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60.如下图如下图所示所示 ：如图所示，：如图所示，OA，OB的方位角各的方位角各是多少？如何表示是多少？如何表示OA，OB的方向角？的方向角？提示提示：OA的方位角为的方位角为60，OB的方位的方位角为角为330，OA的方向角为北偏东的方向角为北偏东60，OB的方向角为北偏西的方向角为北偏西30.解三角形应用题的一般思路解三角形应用题的一般思路(1)读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系量与量之间的关系(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型(3)选择正弦定理或余弦定理求解选择正弦定理或余弦定理求解(4)将三角形的解还原为实际问题的解，注意实际问题中的单将三角形的解还原为实际问题的解，注意实际问题中的单位、近似计算要求位、近似计算要求这一思路可描述如下：这一思路可描述如下：名师点睛名师点睛1解三角形应用题常见的两种情况解三角形应用题常见的两种情况(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个(或两个以上或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解够三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求出其他三角形中的解，有时条件的三角形，然后逐步求出其他三角形中的解，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程，解方程得出需设出未知量，从几个三角形中列出方程，解方程得出所要求的解所要求的解2题型一题型一测量距离问题测量距离问题基地基地C和和D测得蓝方两支精锐部队分别测得蓝方两支精锐部队分别在在A处和处和B处，且处，且ADB30，BDC30，DCA60，ACB45，如图，如图所示，求蓝方这两支精锐部队的距离所示，求蓝方这两支精锐部队的距离思路探索思路探索 可将可将AB放在放在ABC中来求，为此应先求出中来求，为此应先求出AC和和BC，再用余弦定理求，再用余弦定理求AB.【例例1】解三角形应用问题的一般步骤：解三角形应用问题的一般步骤：(1)准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；用题中的有关名词和术语；(2)画出示意图，并将已知条件在图形中标出；画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理求解通过合理运用正弦定理和余弦定理求解求：求：(1)A处与处与D处的距离；处的距离；(2)灯塔灯塔C与与D处的距离处的距离解解(1)在在ABD中，中，ADB60，B45，由正弦定理得，由正弦定理得【变式变式1】如图所示，如图所示，A、B是水平面上的两个是水平面上的两个点，相距点，相距800 m，在，在A点测得山顶点测得山顶C的仰的仰角为角为45，BAD120，又在，又在B点测点测得得ABD45，其中，其中D点是点点是点C到水平到水平面的垂足，求山高面的垂足，求山高CD.思路探索思路探索 由仰角为由仰角为45可知可知CDAD，再在再在ABD中应用正弦定理求解中应用正弦定理求解AD即可即可解解由于由于CD平面平面ABD，CAD45，所以，所以CDAD.因此只需在因此只需在ABD中求出中求出AD即可，即可，在在ABD中，中，BDA1804512015，题型题型二二测量高度问题测量高度问题【例例2】依题意画图是解决三角形应用题的关键依题意画图是解决三角形应用题的关键在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内视线与水平线的夹角同时空角都是在同一铅垂面内视线与水平线的夹角同时空间图形和平面图形要区分开，然后通过解三角形求间图形和平面图形要区分开，然后通过解三角形求解解 (2011儋州高二检测儋州高二检测)如图，测如图，测量河对岸的塔高量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点在同一水平面内的两个测点C和和D.现现测得测得BCD，BDC，CDs，并在点并在点C测得塔顶测得塔顶A的仰角为的仰角为，求塔，求塔高高AB.解解在在BCD中，中，BCD，BDC，CBD180()，【变式变式2】某海上养殖基地某海上养殖基地A接到气象部接到气象部门预报，位于基地南偏东门预报，位于基地南偏东60距距离离20(1)海里的海面上有一台海里的海面上有一台风中心，影响半径为风中心，影响半径为20 海里，海里，正以每小时正以每小时10海里的速度沿某一海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且心将从基地东北方向刮过且(1)小时后开始影响基地小时后开始影响基地持续持续2小时求台风移动的方向小时求台风移动的方向审题指导审题指导题型题型三三测量角度问题测量角度问题【例例3】规范解答规范解答 如题图所示，设预报时台风中心为如题图所示，设预报时台风中心为B，开始影，开始影响基地时台风中心为响基地时台风中心为C，则，则B，C，D在同一直线上，且在同一直线上，且AD20海里，海里，AC20海里海里(2分分)【题后反思题后反思】在充分理解题意的基础上画出大致图形，在充分理解题意的基础上画出大致图形，由问题中的有关量得出三角形中的元素，用余弦定理、勾由问题中的有关量得出三角形中的元素，用余弦定理、勾股定理解三角形股定理解三角形 甲船在甲船在A点发现乙船在北偏东点发现乙船在北偏东60的的B处，乙船以每小时处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时 a海里，问海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？【变式变式3】0CAB90，CAB30.DAC603030.所以甲船应沿着北偏东所以甲船应沿着北偏东30的方向前进，才能最快与乙船相的方向前进，才能最快与乙船相遇遇方法技巧分类讨论思想在解三角形中的应用方法技巧分类讨论思想在解三角形中的应用 在解决问题时由于条件的变化，问题的结果有多种情在解决问题时由于条件的变化，问题的结果有多种情况，不能用同一种标准或同一种方法去解决，这就需要对况，不能用同一种标准或同一种方法去解决，这就需要对条件分情况讨论，这就是分类讨论思想，也叫做分类与整条件分情况讨论，这就是分类讨论思想，也叫做分类与整合思想在本节中，由于三角形解的个数的不确定性，解合思想在本节中，由于三角形解的个数的不确定性，解三角形时需讨论在不同的三角形中解的情况三角形时需讨论在不同的三角形中解的情况 在一次反恐演习中，某特警在一条笔直的公路上追在一次反恐演习中，某特警在一条笔直的公路上追击前方击前方20公里的一恐怖分子，此时恐怖分子正跳下公路沿公里的一恐怖分子，此时恐怖分子正跳下公路沿与前方公路成与前方公路成60角的方向以每小时角的方向以每小时8公里的速度逃跑，公里的速度逃跑，已知特警在公路上的速度为每小时已知特警在公路上的速度为每小时10公里特警决定在公公里特警决定在公路上离恐怖分子最近时将其击毙，问再过多少小时，特警路上离恐怖分子最近时将其击毙，问再过多少小时，特警向恐怖分子射击向恐怖分子射击【示例示例】思路分析思路分析 根据人物的不同位置，分情况列出相距的表达根据人物的不同位置，分情况列出相距的表达式，利用二次函数求最值的方式即可求所需时间式，利用二次函数求最值的方式即可求所需时间解解设开始时特警在设开始时特警在B地，恐怖分子在地，恐怖分子在A地，地，t小时后两人小时后两人分别到达分别到达Q，P两地，特警到达两地，特警到达A地需地需2小时，分别画出示小时，分别画出示意图意图(1)当当0t2时，如图时，如图1，在在APQ中，中，AP8t，AQ2010t，图图1图图2方法点评方法点评 本题根据两种不同的位置关系，利用分类讨论思本题根据两种不同的位置关系，利用分类讨论思想，相距最近时特警可能还没到达恐怖分子跳下公路的地点，想，相距最近时特警可能还没到达恐怖分子跳下公路的地点，也可能超过恐怖分子跳下公路的地点特警位置、恐怖分子也可能超过恐怖分子跳下公路的地点特警位置、恐怖分子位置、恐怖分子跳下公路的位置会构成两个不同的三角形位置、恐怖分子跳下公路的位置会构成两个不同的三角形单击此处进入单击此处进入 活页规范训练活页规范训练