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一、交错级数及其审敛法一、交错级数及其审敛法三、小结三、小结 思考题思考题第三节第三节 任意项级数的绝对与条件收敛任意项级数的绝对与条件收敛二、绝对收敛与条件收敛二、绝对收敛与条件收敛一、交错级数及其审敛法定义定义:正、负项相间的级数称为交错级数正、负项相间的级数称为交错级数.nnnnnnuu 111)1()1(或或定定理理 1 1 莱莱布布尼尼茨茨定定理理 如如果果交交错错级级数数满满足足条条件件:(),3,2,1(1 nuunn;()0lim nnu,则则级级数数收收敛敛,且且其其和和1us ,其其余余项项 nr的的绝绝对对值值 1 nnur.)0(nu其其中中证明证明nnnnuuuuuus212223212)()(又又)()()(21243212nnnuuuuuus 1u,01 nnuu.lim12ussnn ,0lim12 nnu,2是单调增加的是单调增加的数列数列ns,2是是有有界界的的数数列列ns)(limlim12212 nnnnnuss,s.,1uss 且且级数收敛于和级数收敛于和),(21 nnnuur余余项项,21 nnnuur满足收敛的两个条件满足收敛的两个条件,.1 nnur定理证毕定理证毕.解解），21(1111 nunnunn0lim nnu又又故级数收敛故级数收敛.41312111的敛散性的敛散性判别交错级数判别交错级数例例 例例 2 2 判判别别级级数数 21)1(nnnn的的收收敛敛性性.解解2)1(2)1()1(xxxxx)2(0 x,1单单调调递递减减故故函函数数 xx,1 nnuu1limlim nnunnn又又.0 原级数收敛原级数收敛.注意注意1.1.莱布尼茨判别法是判定级数收敛的充分而非莱布尼茨判别法是判定级数收敛的充分而非必要条件；必要条件；思考思考：莱布尼茨判别法的条件其中之一不成立，：莱布尼茨判别法的条件其中之一不成立，结果如何？结果如何？2.2.判定判定 的方法的方法nnuu 1；0)11 nnuu；）121 nnuu.3）相相应应函函数数的的单单调调性性二、绝对收敛与条件收敛任意项级数任意项级数正项级数正项级数任意项级数的各项取绝对值任意项级数的各项取绝对值定义定义:正项和负项任意出现的级数称为任意项级数正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.问题问题:如何研究任意项级数的敛散性问题？如何研究任意项级数的敛散性问题？绝对收敛：绝对收敛：1.1nnu收敛；收敛；1nnu条件收敛：条件收敛：1.2nnu收敛；收敛；发散，发散，11nnnnuu.31发散发散 nnu任意项级数的敛散性任意项级数的敛散性定定理理 2 若若 1nnu收收敛敛,则则 1nnu收收敛敛.证明证明),2,1()(21 nuuvnnn令令,0 nv显显然然,nnuv 且且,1收敛收敛 nnv),2(11 nnnnnuvu又又 1nnu收敛收敛.例例 3 3 判判别别级级数数 12sinnnn的的收收敛敛性性.解解,1sin22nnn,112收敛收敛而而 nn,sin12 nnn收敛收敛故由定理知原级数收敛故由定理知原级数收敛.定理定理 3 如果任意项级数如果任意项级数 121nnnuuuu 满足条件满足条件 nnnuu1lim（其中（其中 可以为可以为 ）则当则当1 时，级数时，级数 1nnu收敛，且绝对收敛；收敛，且绝对收敛；当当1 时，级数时，级数 1nnu发散发散 例例 4 4 判别下列级数的收敛性判别下列级数的收敛性:(1)0!nnnx;(2)12)!2()1(nnnnx;(3)nnxnn 1!)1()1(解解01|lim|!)!1(|limlim)1(11 nxxnnxuunnnnnnn则此级数对一切则此级数对一切)(xx绝对收敛绝对收敛 0|)12)(22(1lim|)!22()!2(limlim)2(221 xnnxnnuunnnnn|1limlim)3(1xxnnuunnnn 则此级数对一切则此级数对一切)(xx绝对收敛绝对收敛 则则当当1|x时时，级级数数收收敛敛；当当1|x时时，级级数数发发散散，而而1 x时时，级级数数是是否否收收敛敛取取决决于于 为为何何值值.三、小结任意项级数任意项级数审审敛敛法法1.2.4.绝对收敛绝对收敛5.交错级数交错级数(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)3.按基本性质按基本性质;,则级数收敛则级数收敛若若SSn;,0,则则级级数数发发散散当当 nun思考题思考题1 设设级级数数 1|nnu收收敛敛,能能否否推推得得 1nnu收收敛敛?反反之之是是否否成成立立?思考题思考题1解答解答由由级级数数|1 nnu收收敛敛，可可以以推推得得 1nnu收收敛敛,反之不成立反之不成立.例如：例如：11)1(nnn收敛收敛,11nn发散发散.思考题思考题2绝绝对对收收敛敛？若若收收敛敛是是条条件件收收敛敛还还是是是是否否收收敛敛？）（）（判判断断级级数数 211nnnn思考题解答思考题解答发发散散；发发散散，而而）（11212111nnnnnunnnu.1无效无效，所以莱布尼兹判定法，所以莱布尼兹判定法但因不满足但因不满足，首先认定是交错级数，首先认定是交错级数下面判断是否条件收敛下面判断是否条件收敛nnuu .此处可用定义证明此处可用定义证明()()()nsnn211111113254212()()nsnnn 2111111123421221或ns21limnnss21；.原级数收敛原级数收敛,0lim12 nnu所以所以 ssnn lim .112条条件件收收敛敛）（）（级级数数 nnnn为单调递减数列为单调递减数列。一、一、别下列级数是否收敛别下列级数是否收敛?如果是收敛的如果是收敛的,是绝对收敛是绝对收敛还是条件收敛还是条件收敛?1 1、1113)1(nnnn；2 2、5ln14ln13ln12ln1；3 3、2ln)1(nnnn.二二、若、若nnun2lim 存在存在,证明证明:级数级数 1nnu收敛收敛.三三、证明、证明:0!lim3 nnnanb.练练 习习 题题练习题答案练习题答案一一、1 1、绝绝对对收收敛敛；2 2、条条件件收收敛敛；3 3、条条件件收收敛敛.
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