平面曲线的方程

解析几何http:/2.1 2.1 平面曲线的方程平面曲线的方程解析几何http:/ 定义1 当平面上取定了坐标系之后，如果一个方程与一条曲线之间有着关系：满足方程的 必是曲线上某一点的坐标；曲线上任何一点的坐标 满足这个方程，那么这个方程就叫做这条曲线的方程，这条曲线叫做这个方程的图形。,x y,x y一、曲线的方程一、曲线的方程概括言之，曲线上的点和方程之间存在这一一对应的关系解析几何http:/ 例例1 求圆心在原点，半径为求圆心在原点，半径为R 的圆的方程的圆的方程22222MxyMOROMRxyRxyR.(2.1.1)12.1.1 解：由圆的定义，任意一点（，）在圆上的充要条件是 到圆心 的距离等于半径，即，由两点间的距离公式可得，(1)两边平方可得方程（）与（）完全同解，所以（2.1.1)即为所求圆的方程.222a)Rx-a)().bybR类 似 可 得 圆 心 在（，半 径 为的 圆 的 方 程 为（解析几何http:/例例2 2 已知两点已知两点 和和 ，求满足条件，求满足条件 的动点的动点M M 的轨迹方程的轨迹方程2,2A 2,2B4MAMB2222222222MxyMAM4x2y2x2y24x2y2x2y24x2y2xy23xyB 解：动点（，）在轨迹上的充要条件是，即（）（）（）（），（2）移项得（）（）（）（），两边平方整理得（）（），（）再两边平方整理得=2，（4）解析几何http:/xy20 xy2432xyxy2M方程（2）与（3）同解，而（4）与（3）却不同解，但附加条件即后（）与（），（）都是同解的，所以方程=2（）为所求动点的轨迹方程.解析几何http:/定义2 若取 的一切可能取值由 表示的向径 的终点总在一条曲线上在这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点的向径，而这向径可由 的某一值 通过 完全决定,那么就把 叫做曲线的向量式参数方程，其中 为参数。t a tb 12r tx t ey t e a t b r tt 12r tx t ey t eatb 12r tx t ey t eatb 00tatbt ,xx tatbyy t 二、曲线的参数方程二、曲线的参数方程其坐标式参数方程为：解析几何http:/该定点的轨迹为旋轮线或摆线（cycloid）例例3 一个园在一直线上无滑动地滚动，求圆上一定点的轨迹一个园在一直线上无滑动地滚动，求圆上一定点的轨迹解析几何http:/axPOxACrOPOC,CPCAiCP2CPiacosjasinasiniacosj.22AACP 解：取直角坐标系，设半径为 的圆在 轴上滚动，开始时点 恰好在原点，经过一段时间的滚动，圆与 轴的切点移到 点，圆心移到 点，这时有设（，），于是（，）（），则（）（）=（-）（-）又OPaOa iCajrasinia 1 cosjP)AAAA 因为，所以，故即为所求 点轨迹的向量式参数方程，其中（为参数.解析几何http:/2axPOPxyPxasin)ya 1 cos0P0 x=aarccos2.ayayya 取直角坐标系，设半径为 的圆在 轴上滚动，开始时点 恰好在原点，设 点的坐标为（，），可得 点的坐标式参数方程为，（取时，消去参数，可得 点轨迹在时的普通方程为解析几何http:/(1)一个半径为一个半径为r 的小圆在半径为的小圆在半径为R 的大圆内无滑动地滚动，小圆周上一的大圆内无滑动地滚动，小圆周上一 定点定点P 的运动轨迹称为的运动轨迹称为内摆线内摆线(hypocycloid）例例4 已知大圆半径为已知大圆半径为a，小圆半径为，小圆半径为b，设大圆不动，设大圆不动，而小圆在大圆内无滑动地滚动，求动圆周上某一定而小圆在大圆内无滑动地滚动，求动圆周上某一定点点P 的轨迹方程的轨迹方程三、常见曲线的参数方程三、常见曲线的参数方程解析几何http:/PAOOAxOOAyBCCOBrOPOCCPiOCCPCOCi a bcos+j ab sinaPbBABB 解：设运动开始时动点 与大圆周上的点 重合，并取大圆中心 为原点，为 轴，过 点垂直于的直线为 轴，经过一段时间后，小圆与大圆的接触点为，并设小圆中心为，则 一定在半径上，显然有，设=（，），（，），则（-）（），且有abaiCPbbbabaCPbCPibcosjbsinbbababibcosjbsinbbababrab cosbcosia)sinsin.bb)bbj ，所以=，（，）=-=，又，所以，（）（此式即为内旋轮线的向量式参数方程，（为参数.圆的内摆线解析几何http:/Pxyabxab cosbcosb)abya)sinsinbbb 设 点的坐标为（，），可得内旋轮线的坐标式参数方程为（），（圆的内摆线圆的内摆线解析几何http:/3333a4bcos34cos3cossin33sin4sinx acosy asin.特殊地，当时，应用公式，内旋轮线的方程化为这样的内旋轮线称为四尖点星形线.四尖点星型线解析几何http:/（2）一个半径为）一个半径为r的小圆在半径为的小圆在半径为R的大圆外无滑动地滚动，小圆周上一个定点的大圆外无滑动地滚动，小圆周上一个定点P的的运动轨迹称为运动轨迹称为外摆线外摆线（epicycloid）2 cos(1 cos)2 sin(1 cos)xRyRcoscos,sinsinRrxRrrrRryRrrr 参数方程为：特别地，当R=r时，得到心脏线参数方程为：解析几何http:/（3）把线绕在一个固定的圆周上，将线头拉紧后向反方向旋转，以把线从圆周上）把线绕在一个固定的圆周上，将线头拉紧后向反方向旋转，以把线从圆周上解放出来，使放出来的部分成为圆的切线，则线头的轨迹所形成的曲线叫做圆解放出来，使放出来的部分成为圆的切线，则线头的轨迹所形成的曲线叫做圆的的渐伸线渐伸线或或切展线切展线（involute）cossinsincosxRyR解析几何http:/（4）椭圆的参数方程）椭圆的参数方程设椭圆的方程为设椭圆的方程为22221xyabcos,sinxaybt2222222222,2aba txba ttab tyba t