几个常用函数的导数ppt课件

1.2.1几个常用几个常用函数的导数函数的导数高二数学高二数学 选修选修2-2 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 一、复习：导数的概念和几何意义1.y=f(x)的导数2.y=f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点Px0,f(x0)处的切线的斜率.极限 叫f(x)在点x0处的导数或变化率）。叫平均变化率。3.物体的运动规律是S=St），则物体在时刻t的瞬时速度为 即瞬时速度是位移S对时间t 的导数。xxfxxfxyxfxx)()()(limlim00ttsttsVt)()(lim0 xxfxxfxfx)()()(0000limxy4.用定义法求函数y=fx在点x0处的导数的方法步骤：（1求y （2求 （3取极限xylim0txy测试一下你对定义法求导掌握了没有？（试一试下测试一下你对定义法求导掌握了没有？（试一试下题：）题：）(1)一球沿斜面自由滚下，其运动方程是一球沿斜面自由滚下，其运动方程是s=s(t)=t2位移单位：位移单位：m，时间单位：，时间单位：s）.求小球在求小球在t=5时的瞬时的瞬时速度用定义法求）时速度用定义法求）解：解：s=s(5+t)-s(5)=(5+t)2-52=t2+10t 10tts10)10(limlim00ttsvtt(2)设fx为可导函数，那么的为（）B.2 C.-2 D.0 （3设fx在x=x0处可导，且 等于（）1 B.0 C.3 D.（4在 中，x不能（）A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.小于0或等于0hhxfhxfh)()(000lim)(0 xf)(0 xf)(0 xf)(,1)()3(0000limxfxxfxxfx则31xxfxxfxfx)()()(0000limCDB思考与练习思考与练习 函数 在某点 处的导数)(xf0 x)(0 xf)(xf 区别:)(xf 是函数,)(0 xf 是数值;联络:0)(xxxf)(0 xf 注意注意:有什么区别与联系?)()(00 xfxf？与导函数00()()()limlimxxyf xxf xf xyxx 在不致发生混淆时，导函数也简称导数函数导函数 当x=x0时,f(x0)是一个确定的数.那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:00()6f xx()6f xx2()3f xxf(x)在x=x0处的导数f(x)的导函数x=x0时的函数值关系关系求函数求函数f(x)=2的导数；的导数；xyo022)()(xfxxfy 解：根据导数定义，解：根据导数定义，.00limlim2)(00 xxxyxf(2)求函数求函数f(x)=0的导数；的导数；(3)求函数求函数f(x)=-2的导数的导数.00).(01为为常常数数公公式式CC ,)(Cxfy 证证明明：()()=0yf xxf xCC,0 xy 0()lim 00.xfxC(1)y=x的导数的导数求下列函数的导数求下列函数的导数,)()(xxxxxfxxfy 解解：根根据据导导数数定定义义，00limlim1 ()1=xxyxxf (2)y=x2的导数的导数,2)()()(222xxxxxxxfxxfy 解解：根根据据导导数数定定义义，00lim()2.lim(2)xxyfxxxxx (3)y=x3的导数的导数.3)()(23xxxf 220021)1(limlim1)()(11)()(xxxxxyyxxxxxxxxxxxxxxxxfxxfxyxx 所以所以解：因为：解：因为：的的导导数数求求函函数数xy1)4()yf xx（5函数 的导数xyxxxxxx 解：1yxxxx 0011limlim.2xxyyxxxxx 考虑：用定义求导数有些麻烦！你有什考虑：用定义求导数有些麻烦！你有什么期望？么期望？汇总以上公式，可以得到统一的公式：汇总以上公式，可以得到统一的公式：请注意公式中的条件是请注意公式中的条件是 ,但根据我们所掌握但根据我们所掌握的知识的知识,只能就只能就 的情况加以证明的情况加以证明.这个公式称为这个公式称为幂函数的导数公式幂函数的导数公式.事实上事实上n可以是任意实数可以是任意实数.Qn*Nn 公式公式2:.)()(1Qnnxxnn 21)()2)(),3)(),14)(),yf xCyf xxyf xxyf xx1y 21 yx 2yx表示表示y=x图象上每一点处的切线图象上每一点处的切线斜率都为斜率都为1这又说明什么这又说明什么?0y 表示表示y=C图象上每一点处的切线图象上每一点处的切线斜率都为斜率都为0这又说明什么这又说明什么?探究：探究：画出函数画出函数y=1/x的图像。根据图像，的图像。根据图像，描述它的变化情况。并求出曲线在描述它的变化情况。并求出曲线在点点1,1处的切线方程。处的切线方程。x+y-2=0：求下列函数的导数：求下列函数的导数11234533(1)(2)1(3)(4)1(5)(6)yxyxyyxxxyxyx算一算算一算公式公式3:3:公式公式4:4:xxcos)(sinxxsin)(cos公式公式5:5:对数函数的导数对数函数的导数1(1)(log)(0,1).lnaxaax a1(2)(ln).xx公式公式6:6:指数函数的导数指数函数的导数(2)().xxee(1)()ln(0,1).xxaaa aa注意注意:关于关于 是两个不同是两个不同的函数的函数,例如例如:axxa 和)3)(1(x)(2(3xaxln323x我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数公式我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数公式11.(),()0;2.(),();3.()sin,()cos;4.()cos,()sin;5.(),()ln(0);6.(),();17.()log,()(0,1);ln8.nnxxxxafxcfxfxxfxnxfxxfxxfxxfxxfxafxaa afxefxefxxfxaaxa 公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln,();fxxfxx则不需推导，但要注意符号的运算不需推导，但要注意符号的运算.例例1 1：求下列函数的导数：求下列函数的导数xxxyxy)2()1(5).2(,)1(3fxy求已知213333)(xxxy 解解：12)2(3)2(2f312222)(xxxy解解：2722712)3(2)3(3f).3(,1)2(2fxy求已知例例2:2:例例3.求下列函数的导数求下列函数的导数)2cos()3(3sin)2()2sin()1(xyyxy练习练习(1)5x4;(2)6x5;(3)cost;(4)-sinx.;3)5(4x.31)6(32x1(7).2yx2.选择题选择题（1下列各式正确的是（下列各式正确的是（）56.(sin)cos(66.cos)sin.(sin)cos1.()5ABxxCxxD xx 为常数）（C（2下列各式正确的是（下列各式正确的是（）1.(log)ln 10.(log).(3)3.(3)3ln 3aaxxxAxxBxxCxDD3.填空填空(1)f(x)=80，则，则f(x)=_;_;)2(32的导数是的导数是xy _)1(_;)(,)()3(等等于于等等于于则则fxfexfx 03132 xxee_)1()4(xogaaxln1例例1.已知已知P(-1,1)，Q(2,4)是曲线是曲线y=x2上的两点，上的两点，(1)求过点求过点P的曲线的曲线y=x2的切线方程。的切线方程。(2)求过点求过点Q的曲线的曲线y=x2的切线方程。的切线方程。(3)求与直线求与直线PQ平行的曲线平行的曲线y=x2的切线方程。的切线方程。三三.典例分析典例分析题型：求曲线的切线方程题型：求曲线的切线方程2yx解(1),(2)：2(1,1),(2,4)PQyx都是曲线上的点。11|2,xPy 过 点的切线的斜率k22|4,xy过Q点的切线的斜率k12(1),210Pyxxy 过 点的切线方程:即：。44(2),440yxxy过Q点的切线方程:即：。例例1.已知已知P(-1,1)，Q(2,4)是曲线是曲线y=x2上的两点，上的两点，(1)求过点求过点P的曲线的曲线y=x2的切线方程。的切线方程。(2)求过点求过点Q的曲线的曲线y=x2的切线方程。的切线方程。(3)求与直线求与直线PQ平行的曲线平行的曲线y=x2的切线方程。的切线方程。三三.典例分析典例分析题型：求曲线的切线方程题型：求曲线的切线方程2yx解(3)：4 11,2 1PQ直线的斜率k11,440214yxxy 与PQ平行的切线方程:即：。00|21,x xyx切线的斜率k01,2x1 1(,)2 4M切点;2)11.yxy例2.已知，1)求求曲线在点（，）处的切线方程12()()yxx解1)：1:1(1).2yx 2)切线方程11212x1.2 x1212x22x11即：y=00,),xy解：设切点(01,2kyx又切线0001(),2yyx xx切线方程：74切线过(4,),20014yx00071(4)42yxx，200017224yxx0017xx解得:或149),44切点为(1，)或(7,11491(1)(4)4242yxyx切线方程：或24104490 xyxy 即：或14