信号与系统教学2.2常系数线性微分方程

北京航空航天大学电子信息学院2023-1-11信号与系统信号与系统一、常系数线性微分方程的求解作为一般分析方法，以及本课程的基础和引子，我们作为一般分析方法，以及本课程的基础和引子，我们首先回顾常系数线性微分方程的经典求解方法首先回顾常系数线性微分方程的经典求解方法1.1.随后讨论由于冲激信号激励系统可能导致的微分方随后讨论由于冲激信号激励系统可能导致的微分方程边界条件发生跳变的问题。程边界条件发生跳变的问题。一、常系数线性微分方程的求解自由响应自由响应：微分方程的齐次解：微分方程的齐次解强迫响应强迫响应：微分方程的解称：微分方程的解称暂态响应暂态响应：随着时间趋于穷大而趋于随着时间趋于穷大而趋于0 0的部分的部分稳态响应稳态响应：随着时间趋于穷大不为：随着时间趋于穷大不为0 0的部分的部分 自由响应自由响应强迫响应强迫响应暂态响应暂态响应稳态响应稳态响应二、起始状态的跳变 (t t)二、起始状态的跳变以电容为例以电容为例1()()dtccv tiC0000111()d()d()dtccciiiCCC00011(0)()d()dtcccviiCC001(0)(0)()dcccvviC citt若若1(0)(0)ccvvC则则电容两端电压在冲激电流加入后发生跳变三、冲激函数匹配法冲激函数匹配法冲激函数匹配法是指，在是指，在t=0 时刻微分方程左右两端的时刻微分方程左右两端的(t)及各阶导数应该相等。及各阶导数应该相等。由于由于(t)及各阶导数的取值为无穷大，及各阶导数的取值为无穷大，取值有限的项取值有限的项在在t=0时已没有意义从而时已没有意义从而不加以考虑不加以考虑。冲激函数匹配法的基本步骤为：冲激函数匹配法的基本步骤为：确定方程右边激励项中确定方程右边激励项中(t)的最高微分阶次；的最高微分阶次；确定方程左边所表示的响应确定方程左边所表示的响应 的最高微分次数项的的最高微分次数项的 的微分阶次，构造相应的冲激函数形式的微分阶次，构造相应的冲激函数形式;通过一次或多次积分得到通过一次或多次积分得到 r(t)及其微分的冲激函数及其微分的冲激函数形式形式;平衡方程两边的平衡方程两边的(t)及其微分项，得到及其微分项，得到 的冲激函数的冲激函数形式中的系数形式中的系数。习题