热力学统计物理第六章

2021/8/612021/8/62 统计物理基本观点：宏观性质是大量微观粒子运动的集体表现；宏观物理量是相应微观物理量的统计平均值。2021/8/63任一粒子的状态发生变化,则整个系统的微观状态发生变化 单粒子的状态描述：用 r 个广义坐标和 r 个广义动量，N个粒子系统的运动状态需要来确定。用 共2r个变量为直角坐标，构成一个2r 维空间，称为相（u）空间。q1、q2、qr；p1、p 2、pr 系统由N个粒子组成，每个粒子的微观态可用相空间的一个代表点表示，系统的微观态可用相空间同一时刻的N个代表点描述q1、q2、qr；p1、p 2、pr6.1 6.1 粒子运动状态的微观描述粒子运动状态的微观描述2021/8/64微观粒子具有波粒二相性，德布罗意指出：能量为 ，动量为 p 的物体联系着圆频率为 ，波矢为k的平面波，并有6.2 粒子运动状态的量子描述,Pk粒子状态是分立(不连续）的。粒子所处的状态叫量子态(单粒子态)。量子态 用一组量子数表征（如自由粒子nx,ny,nz）.不同量子态的量子数取值不同。量子描述单粒子的状态是确定单粒子的量子态，对于N个粒子的系统，就是确定各个量子态上的粒子数。2021/8/656.3 系统微观运动状态的描述 全同粒子系统 就是由具有完全相同属性（相同的质量、自旋、电荷等）的同类粒子所组成的系统。如自由电子气体。近独立粒子系统：粒子之间的相互作用很弱，相互作用的平均能量远小于单个粒子的平均能量，因而可以忽略粒子之间的相互作用。将整个系统的能量表达为单个粒子的能量之和。(如理想气体：近独立的粒子组成的系统)iiE一一 基本概念基本概念系统的微观态：整个系统的力学状态系统的微观态：整个系统的力学状态2021/8/66v1、微观系统的经典描述 系统由N个粒子组成，每个粒子的微观态可用相空间的一个代表点表示，系统的微观态可用相空间同一时刻的N个代表点描述，即 (i=1，2.N),共2Nr个变量为确定。qi1、qi2、q ir；pi1、pi2、pir 一个粒子运动状态用相空间一个点，一个系统用相空间N个点来表示。（特定的条件下可用）在该描述下全同粒子可分辨2021/8/67定域粒子：全同而又可辨的粒子。例如晶体中的原子或离子定域在其平衡位置附近作微振动、这些粒子就量子本性而然是不可分辨的（全同性），但可以根据粒子的位置对其加以区分（可分辨）。所以晶体中的原子或离子可看成是定域粒子。v2、微观系统的量子描述不可分辨的全同粒子系统不可分辨的全同粒子系统(非定域系）非定域系）2021/8/68玻耳兹曼系统玻耳兹曼系统 粒子可以分辨,每个个体量子态上的粒子数不受限制.确定系统的微观状态要求确定每个粒子所处的个体量子态。确定了每个粒子所处的量子态就确定了系统的一个微观状态(如定域系)。例：设系统由A、B两个粒子组成（定域子）。粒子的个体量子态有3个,讨论系统有那些可能的微观状态？因此，对于定域系统可有9种不同的微观状态，即 32。一般地为 .a A B1232021/8/69不可分辨的全同粒子系统不可分辨的全同粒子系统(非定域系）非定域系）确定由全同近独立粒子组成的系统的微观状态归结为确定每一个体量子态上的粒子数。或：确定了每个量子态上的粒子数就确定了系统的微观状态（1）玻色系统：即自旋量子数为整数的粒子组成的系统.如光子自旋为1、介子自旋为0。由玻色子构成的复合粒子是玻色子，由偶数个费米子构成的复合粒子也是玻色子 粒子不可分辨，每个量子态上的粒子数不限（即不受泡利原理限制）2021/8/610上例变为(A=B)两个玻色子占据3个量子态有6种方式 2021/8/611（2）费米系统：即自旋量子数为半整数的粒子组成的系统 粒子不可分辨，每个个体量子态上最多能容纳一个粒子（费米子遵从泡利原理）。两个费米子占据3个量子态有3种占据方式 系统由两个粒子组成（定域子）。粒子的个体量子态有3个,讨论系统有那些可能的微观状态2021/8/612 对于不同统计性质的系统，即使它们有相同的粒子数、相同的量子态，系统包含的微观状态数也是不同的。上例仅为两个粒子组成的系统、三个量子态。对于大量微观粒子组成的实际系统，其微观状态数目是大量的。2021/8/613宏观态：系统的热力学状态 用少数几个宏观参量即可确定系统的宏观态。微观态：系统的力学状态。确定方法：可分辨的全同粒子系统(玻耳兹曼系统)；不可分辨的全同粒子系统(玻色、费米系)宏观性质是大量微观粒子运动的集体表现；宏观物理量是相应微观物理量的统计平均值。6.4等概率原理2021/8/614v微观粒子的状态杂乱无章，一个系统的力学状态也是杂乱无章的，有很多个可能的状态，那么，每个状态出现的概率为多少呢，与什么因素有关 确定各微观状态出现的概率就能用统计的方法求出微观量的统计平均值，从而求出相应宏观物理量，因此确定各微观状态出现的概率是统计物理学的基本问题。2021/8/6151、等概率原理：对于处理平衡态的孤立系统系统，各个可能状态出现的概率是相等的等概率原理是统计物理的一个基本假设，是平衡态统计物理的基础。2021/8/616 全同近独立粒子组成的系统，具有确定的粒子数N，能量 E 和体积V，系统的N个粒子分布于各个能级，设第i能级上的粒子数为ai，则组成系统的粒子处于各能级的情况可描述为：以符号 表示 ，称为一个分布。la,21laaa能级：粒子数：,21laaa,21l,2,1ll分布 满足条件：laNallEalll6.5分布和微观状态2021/8/617 l,21 l,21 ，a a al,21，简并度 粒子数N 粒子系统的 能 级 即：能级 1上有a1个粒子，能级 2上有a2个粒子，。1 1a2ala2 l 分布只表示每一个能级上有多少个粒子。当能级是简并态时，一种分布包含很多种微观状态。每一种不同的量子态的占据方式都是不同的微观运动状态。2021/8/618(1)al个离子占据能级l 上的l 个量子态时，第一个粒子可以占据 个量子态中的任何一个态，有l 种可能的占据方式。由于每个量子态能够容纳的粒子数不受限制，在第一个粒子占据了某一个量子态以后，第二个粒子仍然有l种的占据方式，这样al 个编了号的粒子占据l个量子态共有 种可能的占据方式，lal 1、玻耳兹曼系统(定域系统)的分布规律：2021/8/619(2)各个能级都考虑在内，系统总的占据方式数:lall (3)现在考虑将N个粒子互相交换，不管是否在同一能级上，交换数是N!，在这个交换中应该除去在同一能级上al 个粒子的交换al!因此得因子llaN!/2021/8/620例：系统有6个可分辨粒子，共两个能级，1=3，2=4给定分布：a1=4,a2=21 1a2a2 1 1a2a2 2443(4)系统分布 al 包含的总微观状态数为!laM BllllNa1944043!24624！2443 能级之间粒子交换的方式数目为！42!6!6lla2021/8/621 2、玻色系统分布玻色系统分布 al 包含的微观状态数包含的微观状态数 粒子不可分辨，交换任意一对粒子不改变系统的微观态。每个量子态上的粒子数不受限制。CDEA B1234 (1)al个粒子占据能级 l 上的 l个量子态的占据方式数：用 表示量子态，表示粒子。12345 这样就确定了每个量子态上的粒子数，即确定了一种占据方式（一个微观态）。对能级 ，lla把 个粒子和 个量子态混合排列，l2021/8/622123451234513452 粒子和量子态之间的交换 会产生新的占据方式：量子态和量子态之间的交换 不产生新的占据方式：显然，粒子和粒子之间的交换 不会产生新的占据方式。其中粒子与粒子的交换、量子态与量子态的交换不产其中粒子与粒子的交换、量子态与量子态的交换不产生新的微观态。只有量子态与粒子交换导致不同微观态。生新的微观态。只有量子态与粒子交换导致不同微观态。量子态、粒子各种交换量子态、粒子各种交换(排列排列)总数总数)!1(lla 2021/8/623量子态交换数量子态交换数)!1(l 粒子交换数粒子交换数!la各种交换共有各种交换共有 种可能的方式。种可能的方式。)!1(!)!1(llllaa （2）将各种能级的结果相乘，就得到玻色系统与分布将各种能级的结果相乘，就得到玻色系统与分布 al 相应的微观状态数为相应的微观状态数为：(1)!(1)!llBElllaa2021/8/6243、费米系统分布费米系统分布 al 包含的微观状态数：包含的微观状态数：!()!llallllCaa 将各能级的结果相乘，得到费米系统与分布 al 相应的微观状态数为：.!()!lF Dllllaa 粒子不可分辨，每一个个体量子态最多只能容纳一个粒子。lla相当于从 个量子态中选 个被粒子占据。lla2021/8/6256.6 6.6 玻耳兹曼分布玻耳兹曼分布!laM BllllNa(1)!(1)!llBElllaa.!()!lF Dllllaa玻尔兹曼系统玻色系统费米系统 微观状态数是分布 al 的函数，不同的分布存在不同个微观状态数，可能存在这样一个分布，它使系统的微观状态数最多。2021/8/626 根据等概率原理，对于处在平衡状态的孤立系统，系统各个可能的微观状态出现的概率是相等的，那么微观状态数最多的分布，出现的概率最大，称为最可几分布（最概然分布）。2021/8/627 为什么提出最概然分布？出现概率最大分布随机现象多次呈现的结果 当最概然分布的几率大于非概然几率很多时，系统呈现出基本相同的状态可以用其表征平衡态分布2021/8/628一、玻尔兹曼分布的推导（M.B.系统）1、写出分布及对应的微观状态数 lalllMBlaN!l,21 ，1，2 l，a a al,21，玻耳兹曼系统粒子的最概然分布玻耳兹曼分布。2021/8/6292 取对数，用斯特林公式化简取对数，用斯特林公式化简 llllla a N ln!ln!lnlnNNN lnllllllaaaNN lnlnln斯特林近似公式ln m!ln mmm lllllaaa ln llla ln lalllMBlaN!要求1la要求1mllllla a N ln!ln!lnln2021/8/6303 拉格朗日未定乘子法（拉氏乘子法）求极值拉格朗日未定乘子法（拉氏乘子法）求极值(ln)(ln )ln d lnlllllllllllda d ad ad aaa 0 lnlnlnlnllllllNNaaa 对上式做一次微分，对于极值，一次微分为零2021/8/631由于系统确定，则还要满足约束条件：lldadN0lldadE0l llaN lllaE 0lldNdal0lldEda对上两式子做一次微分得到：上两式子乘以未定乘子得到：(ln)d ln=0lllldaa 2021/8/632(ln)ln0dNEddNdE0ln llla leall 即 称为 麦克斯韦玻耳兹曼分布（玻耳兹曼系统粒子的最概然分布）。任意，所以 lda0lnllllldaa(ln)d ln=0lllldaa 0lldNdal0lldEda2021/8/633 玻色分布和费米分布玻色分布和费米分布 包含微观状态数目最大的分布出现的概率最大，是系统的最概然分布。lllllEBaa)!1(!)!1(.lllllllllllEBaaaa ln)1(ln)1()1(ln)1(ln.ln)(lnln.lllllEBaaa 0lnln.llllllEBaaaEN llaN0 lllaE0 11;111;1lllllllllaaa 2021/8/6340ln llllaa leaalll leaalll ）（1 leall 1 leall 此式给出了玻色系统粒子的最概然分布，称为 玻色分布。二、费米分布二、费米分布 费米分布的推导作为练习，请同学们课后自己推导.1 leall 2021/8/635费米分布费米分布 1 leall 2021/8/636三种分布的关系三种分布的关系leall 1leall 1 eleall 1leall 这时玻色分布和费米分布都过渡到玻耳兹曼分布。由由 知知1 lla 1 eleall 与与是一致的，都称为 非简并性条件，或 经典极限条件。满足经典极限条件时，玻色系统和费米系统都过渡到玻耳兹曼分布。通常条件下的理想气体（非定域系）即属于这种情况。2021/8/637l 玻耳兹曼系统遵从玻耳兹曼分布。（如顺磁固体等定域系统）。总之：总之：l 玻色系统遵守玻色分布；费米系统遵守费米分布。l 满足经典极限条件时，玻色系统和费米系统都满足玻耳兹曼分布。!NMBFDBE 定域系统和满足经典极限条件的玻色(费米)系统虽然遵从同样的分布，但它们的微观状态数是不同的。2021/8/638假如系统可以应用 M-B 分布,而且粒子的能级非常密集,则粒子的能量可看作是连续的，问题可用经典方法处理，这时的 M-B分布称为经典分布。2021/8/639拉氏乘子、由约束条件决定：llaN llle lllaE llllea 与体积有关的常数，与温度有关的常数2021/8/640 llaNlllllleee令llleZ称之为粒子配分函数2021/8/641复习题二1、简述统计物理的基本观点、基本假设2、简述全同近独立粒子系统3、简述玻尔兹曼系统、玻色系统的特征4、什么是分布，什么是最概然分布？2021/8/642v计算题v1、有一系统由3个全同粒子组成，每个粒子具有4个量子态，求v(1)若为玻尔兹曼系统，系统的可能状态为多少？v（2）若为玻色系统，系统的可能的状态为多少？v（3）若为费米系统，系统的可能状态为多少？2021/8/643v有一全同近独立粒子系统系统，分布如下v(1)若为玻尔兹曼系统，该分布对应的状态为多少？v（2）若为玻色系统，状态为多少?v(3)费米系统，又为多少？v（4）系统的总能量为多少？12,3,4 ，2,3a