第4章应力和强度

第四章第四章 应力和强度应力和强度研究应力和强度的必要性：研究应力和强度的必要性：1.内力最大的截面不一定是构件最弱的截面2.同一个截面上的各点承担的内力也可能不同本章的主要内容：本章的主要内容：1.正应力、剪应力的概念2.正应力、剪应力与内力的关系3.应力的安全取值4.1 应力和强度的概念应力和强度的概念一、应力一、应力1.正应力：在杆件的单位横截面积范围内法向力的集合。单位：N/m2拉应力：压应力：2.剪应力：在杆件的单位横截面积范围内切向力的集合。单位：N/m2二、强度二、强度容许应力 强度计算的目的：保证截面的安全三、强度条件三、强度条件 强度计算的内容强度计算的内容：求出截面上最大的应力，与容许应力比较 max maxmaxmax与内力和截面形状有关4.2 弯曲时的正应力弯曲时的正应力4.2.1 纯弯曲梁ABCDGHEFmmmm ABCDGHEFR中性层中性层中性轴中性轴中性层中性层1.中性轴注意：任何截面的中性轴总是通过横截面积的形心2.形心(1)形心一般是针对截面形状而言的。(2)形心与该面积的质量无关，仅与其几何形状有关。dAxxyyOAAxXd形心AAyYd形心3.形心的计算首先建立坐标系xyo1231x2x3x1y2y3yiiiAAxX形心iiiAAyY形心块面积第将面积分隔成若干块之iAi标系中的坐标值块面积的形心在选定坐第iyxii,解：解：AAyyiiCmm7.397001200510706012010AAzziiC1012057010451200700197.mm4.2.2弯曲时的正应力ABCDGHEFmmmm ABCDGHEFRy假设：HF和GE仍为直线y纤维AB的应变原长伸长ABABBADCCDCDABDCDCBA应变RRyR）（Ry弹性模量应变应力EE弹性模量应力应变中性轴一定通过形心，是区分截面内拉、压应力的分界点RyEREy根据此公式导出M来代替式中的ydyyRE距中性轴y处的纤维上的应力为设窄条面积为dAdAyREdAFF对中性轴的力矩为dAyREdAyF2整个横截面上应力对中性轴的合力矩为dAyREdAyREM22IdAy号为横截面的惯性矩，符2IREMREIMyIMyIMREIMREIM1R1:曲率EI:抗弯刚度R1与M成正比与EI成反比梁抵抗弯曲变形的能力yIM弯曲时的应力分布4.3.1、惯性矩ydydAyI2 截面上每一微面积与该微 面积至某一轴线距离平方的乘积的集合。BD2D2D2dAyI中性轴2D2D2Bdyy2D2D2dyyB2233DDyB123BDDdAyI02底DyB03333BD4.3 截面的几何特征计算几个矩形组合截面的惯性矩BbbDd1221233bdBDI中性轴B1b1b1D1d1B2b2b2323323322322311311dbDBdbDBI中性轴d2D2BbbD1d3)2(32332331DbBbdBDI中性轴D2求某一截面对平行与中性轴的任一轴的惯性矩2dAII中性轴轴线中性轴IAd 通常工程中一个截面的惯性矩有两个，分别对应与以截面形心为原点的两个坐标轴。xyxIyI4.3.2截面抵抗矩 WmaxmaxyIMmaxyIMmaxyIW 令WM截面抵抗矩yIMmaxyy 令maxWM 对于抗拉和抗压强度相差很大的材料（如钢筋混凝土、铸铁），使用中运用两个最大允许应力值（特别是非对称截面）。11yIW 22yIW y1y2拉压max拉max压1maxWM拉1maxWW压承受正弯矩，截面下边受拉时4.3.2截面回转半径i中性轴IA2iAIAIi 注意：1.不管形状如何，截面都有回转半径2.圆截面的回转半径和半径的不同2R2RAIi44RI2RA与惯性矩相对应面积A对惯性矩I所取同一轴线的回转半径dAyyzzOSy AzAd,Sz AyAd定义为图形对 轴和 轴的静矩zyy Ad4.3.4 静矩一、一、静矩和形心静矩和形心dAyyzzOSy AzAd,Sz AyAd形心坐标：形心坐标：yy AAzz AACACAdd,CyyCzCzO静矩和形心坐标之间的关系：静矩和形心坐标之间的关系：ySAzSACzCyCyyCzCzOSyASzAzCyC,1m2mP=1.5 kN例1 求C截面K点的正应力12cm18cm6cmmkNM325.1443310583.01218.012.012mbhI中性轴k24/308706.010583.03mkNyIMk中性轴kPa3087判断正应力性质：截面弯矩为负，K点在中性轴上边为拉应力kC1m2mP=1.5 kN例2 求C截面K点的正应力10cmk2cm2cm15cm1.求形心截面沿y轴对称，形心的x坐标在y轴上xy形心的y坐标iiiAAyY形心mkNM325.11321025.613214102cm76.9GxGxC10cmk2cm2cm15cmxyGxGx2.求截面对中性轴的惯性矩30324.004.0230524.01.033中性轴I30976.002.0344101.0m24/29280976.0101.03mkNyIMk中性轴kPa2928判断正应力性质：截面弯矩为负，K点在中性轴下边为压应力k例3 求工字形截面的回转半径1007550325mmxyGxGx751005050AIi 关键是求I形心有x，y两个坐标，惯性矩，回转半径也各有两个值yxyxiiII1.求形心截面沿y轴对称，形心的x坐标在y轴上形心的y坐标iiiAAyY形心50250502255020025502505.1625022530050200mm3.1521231007550325xyGxGx7510050501232.求截面对形心轴的惯性矩37.12275237.17220033xI37.102100233.15225033481074.4mm工字形截面面积A为250505022520050A233750125001125010000mm285.18104375.31074.4mmix12200503yI12502253481001.1mm12250503287.54104375.31001.1mmiy4.4 梁的正应力强度计算对于梁的某一截面，如弯矩值一定，其最大正应力为maxmaxyIM中性轴WMyIMmaxmax中性轴或截面抵抗矩越大，正应力越小，抗弯能力越强 max强度计算123hbI中性轴644dI中性轴)1(6464)(4444DdDI中性轴6,2hbW中性轴32,3dW中性轴)1(3243DW中性轴常见截面的抵抗矩等截面梁W为常量maxmaxM WMmaxmax梁的正应力强度条件分两种情况验算：1.截面不以中性轴为对称2.材料的抗压、抗拉容许应力不同时强度计算的类型：(1)强度校核强度校核 当已知梁的截面形状、尺寸，梁所用的材料以及梁上荷载，校核梁是否满足强度要求。WMmaxmax(2)选择截面选择截面 当已知梁所用的材料及梁上荷载时，可根据强度条件，先算出所需的抗弯截面抵抗矩W maxMW(3)计算梁所能承受的最大荷载计算梁所能承受的最大荷载 当已知梁所用的材料、截面的形状和尺寸时，根据强度条件，算出梁所能承受的最大弯矩 WMmax选择截面形状，再由W确定截面的尺寸根据Mmax与荷载的关系，算出最大荷载例，试校核梁的强度ql kPamkNqcmhcmbml4101.1,/221,14,414cm21cmmkNqlM4842822max抗弯截面抵抗矩222210103.0621.014.06mbhWWMmaxmax210103.04kPa3883kPa4103883.0 满足强度要求例，试求梁能承受的最大荷载ql kPamkNqcmhcmbml4101.1,/221,14,4梁能承受的最大弯矩为82maxqlM WMmax 82qlW 28lWq2424101.110103.08mkN/66.5WMmaxmaxWql82应力与荷载成正比maxmaxqqmkNqq/66.53883110002maxmax15kN3l3l3l21kN例，试求梁工字钢的型号 kPaml5107.1,6kNPkNP21,1521mkN 34mkN 381.画弯矩图，求最大弯矩2.梁所需的抗弯抵抗矩为 maxMW 5107.1383310223.0m3223cm3.查型钢表选取20a工字钢例，试校核梁的强度40kN2l2l3l15kN kPakPaml541075.1105.4,6.0压拉4cm3cm3cm 8cm4cm3cm2.画弯矩图，求最大弯矩mkN 3mkN 5.41.求形心位置和对中性轴的惯性矩452110573.0,038.0,072.0mImymy中性轴3.校核最大正应力最大拉应力1y2yyIM中性轴maxmax12maxyIM中性轴072.010573.035kPa41077.3 拉21yM12yMmkN 171.0038.05.4mkN 216.0072.0340kN2l2l3l15kN kPakPaml541075.1105.4,6.0压拉4cm3cm3cm 8cm4cm3cmmkN 3mkN 5.4最大压应力1y2y11maxyIM中性轴072.010573.05.45kPa41065.5 压11yM22yM4.4.2 提高梁抗弯能力的措施控制梁弯曲强度的主要因素是弯曲正应力，即以控制梁弯曲强度的主要因素是弯曲正应力，即以maxmaxWM作为梁设计的主要依据。作为梁设计的主要依据。因此应使因此应使Mmax尽可能地小，使尽可能地小，使W尽可能地大尽可能地大,并选择抗并选择抗弯性能好的材料。弯性能好的材料。一、合理布置支座，改善梁的受力情况一、合理布置支座，改善梁的受力情况1.适当布置梁的支座qql28lq002142.qlxl 0207.xxl002142.qlPl/4Pl/82.合理布置荷载l2l2Pq=P/ll2l28/l P4ll2P/2P/24lPl/84ll2P4l二、选择合理的截面形状和尺寸maxmaxWMW越大max越小梁抵抗弯矩能力越高消耗材料越多构件自重越大横截面面积越大梁的合理截面：横截面面积相同时，使其有尽可能大的抗弯截面抵抗矩W。例.梁平放和竖放时抗弯能力的区别bhy2hIWy竖放2123hbh62bhbhy2bIWy平放2123bhb62hbbhWW平放竖放梁的高度往往大于宽度例.矩形截面、正方形及圆形截面的合理性bhaad62bhW矩63aW方323dW圆先比较矩形与正方形6632abhWW方矩66aAhAahAbh Aa 2Ad42先比较矩形与圆形32633daWW圆方2432222adda2483219.1例.圆形截面及环形截面的合理性d323dW圆Ad42DdAdD4)(2232)(33dDW环3232)(333ddDWW圆环112283.144)(222ddDdD2总结：截面面积相同时：矩形优于方形，方形优于圆形。bhaad截面的高度愈大，面积分布得离中性轴愈远，W值就愈大。截面面积相同时：环形优于圆形。中性轴附近附近开洞，对W影响很小。而减少没有充分发挥作用的材料，经济性较好。dDd注意：注意：以上对截面合理形状的分析，是从正应力强度方面来考虑的。对于以弯曲变形为主的梁（比如梁长与梁高的比值大于5)，通常这是决定截面形状的主要因素。此外，还应考虑刚度、稳定以及制造、使用等方面的因素，在选择梁的截面时，必须全面考虑各种因素。三、变截面梁三、变截面梁 在进行梁的正应力强度计算时，是根据危险截面上的最大弯矩设计截面的Pl/4l2l2P要想更好地发挥材料的作用，应该在弯矩比较大的地方采用较大的截面，在弯矩小的地方采用较小的截面。这种截面沿着梁轴线变化的梁，称为变截面粱。最理想的变截面梁，是使梁的各个截面上的最大应力同时达到材料的容许应力。)()(maxxWxMPl/4l2l2P)()(xMxW等强度梁优点：强度的要求和材料的利用缺点：加工制作困难,特别是在荷载情况复杂的情况下。因此建筑工程上，很少采用等强度梁，而是根据不同的具体情况，采用其他形式的变截面粱。Pl/4l2l2PBA4.5 梁的剪应力强度计算ABL)(xV)(xM一般而言，正应力是支配梁受弯情况下的主要因素。BA在梁跨度较小，截面高并且窄的情况下，剪应力也有可能成为支配梁强度计算的因素。1.剪应力的计算公式bISV中性轴中性轴V:横截面上剪力的绝对值中性轴I:横截面对中性轴的惯性矩，总是正值b:横截面的宽度中性轴Sbhk:过所求应力点的水平线到截面边缘之间的那一部分面积对中性轴的面积矩的绝对值y0y0yAS中性轴 222yhyyhb2242yhb中性轴Ibhky0y123bhbISV中性轴中性轴22346yhbhV0minmax4623maxhbhV2hy0min0ybhV23AV23对矩形截面而言，截面上的最大剪应力是该截面上平均剪应力的1.5倍快速计算：AV5.15.1max平均矩形截面矩形截面剪应力计剪应力计算公式算公式剪应力的分布规律与弯曲正应力的分布规律不同点(1)弯曲正应力是上、下边缘最大，中性轴上为零而剪应力是上、下边缘最小，中性轴上最大(2)弯曲正应力在中性轴的上、下部分一为压力，另一为拉力；它们的共同作用形成一个力偶，以抵抗外力对该截面形成的力矩作用 而剪应力的方向则都是一样的，它们共同作用以抵抗外力对该截面形成的剪切破坏例 求简支梁mm截面的虚线上的剪应力l2l210kNmm10cm15cm3cmmm截面的虚线上的剪力kNV5中性轴I123bh44310281.01215.01.0m中性轴S0yA0525.0045.01.03310236.0mbISV中性轴中性轴1.01081.210236.05531.01081.210236.0553kPa42022346yhbhV22303.0415.015.01.056kPa420例 求简支梁mm截面的最大剪应力及虚线上的剪应力l2l210kNmm452110573.0,038.0,072.0mImymy中性轴4cm4cm3cm3cm8cm3cm1y2ymaxS0yA2072.0072.003.0kNV53410778.0mbISV中性轴maxmax03.010573.010778.0554kPa310263.20.6cmSyA)006.02078.0(078.003.03410772.0mkPa31024.2 2梁的剪应力强度计算bISV中性轴maxmax横截面上的最大剪应力等截面梁的最大剪应力bISV中性轴maxmaxmax 剪应力的强度条件 在进行梁的强度计算时，必须同时满足正应力和剪应力的强度条件。一般而言，梁的强度计算由正应力强度条件控制。在梁跨度较小，截面高并且窄的情况下，剪应力也有可能成为支配梁强度计算的因素。在进行梁的强度计算时，必须同时满足正应力和剪应力的强度条件。一般而言，梁的强度计算由正应力强度条件控制。剪应力可能成为支配梁强度计算的因素的情况1.梁跨度较小，截面高并且窄2.支座附近有很大的集中力3.腹板厚度很小的型钢构件4.抗剪能力各向异性的材料例 工字型钢梁，型号22a。计算此梁是否安全m3m330kNm26kN/m kPakPa55100.1,107.1解：1.画出梁的内力图剪力图kN29kN13kN12kN17kN13弯矩图mkN 12mkN 39mkN 452.查附录型钢表33310309.0309mcmWmcmSI189.09.18max中性轴mcmb0075.075.0bISV中性轴maxmaxmax 0075.0189.017kPa4102.1中性轴WMmaxmax 310309.039kPa51026.1梁安全例 取矩形截面高宽比为3:2，试确定截面的高和宽q=4kN/mm4mkN8 kPakPa34102.1,101.1解：1.画出梁的内力图kN8kN8kN8kN8剪力图弯矩图所需的截面抵抗矩 maxMW 2.由正应力强度条件确定截面再按剪应力强度条件校核剪应力3441026.7101.18m矩形截面抵抗矩62hbW中性轴23bh例 取矩形截面高宽比为3:2，试确定截面的高和宽mkN8 kPakPa34102.1,101.1kN8kN8剪力图弯矩图bh233283623bbb341026.7mmb125.0mb13.0取mh19.0mh187.0校核剪应力快速计算：AV5.15.1max平均19.013.085.1kPa485 满足剪应力强度条件3m3m4kN4kNm4kNm4kNm3m3m8kNm2kN/m6kNm4kNm2kNmBAl2l24.6 扭转时的应力4.6.1 扭转的概念 杆件在大小相等、方向相反、作用平面垂直于杆件轴线的外力偶矩作用下，使杆件任意两横截面绕杆件的轴线发生相对转动。4.6.2 扭矩的计算mN 0单位：mTMx截面法正负号规定：从截面的法线向截面看，逆时针为正，顺时针为负。（右手螺旋法则）JT极惯性矩RRmaxTdARmaxJRT max4.6.4 矩形杆的扭转应力2maxhbTcm6cm8例，求图示矩形截面杆，在受到400kNm的扭矩作用时，截面上的最大剪应力。3.16/8/cbPa1031.606.008.022.0400622maxbcT查表，进行插值计算得22.04.7 构件组合变形时的强度 在实际工程中，构件的受力情况是复杂的，构件受力后的变形往往不仅是某一种单一的基本变形，而是由两种或两种以上的基本变形组合而成的,复杂变形的情况下截面上所产生的应力，称为组合应力。解决组合变形强度问题，分析和计算的基本步骤：首先将构件的组合变形分解为基本变形；然后计算构件在每一种基本变形情况下的应力；最后将同一点的应力叠加起来，便可得到构件在组合变形情况下的应力。试验证明，只要构件的变形很小，且材料服从虎克定律，由上述方法计算的结果与实际情况基本上是符合的。PABl/2l/2N例、自重不计，求梁截面上的最大正应力bh拉应力bhNANN拉4maxPlM62bhW 22max2364bhPlbhPlWMM拉2max23bhPlWMM压最大拉应力拉拉拉MNmax压拉压MNmax截面下边缘截面上边缘P1CB例、校核图中矩形截面短柱的正应力强度，P1=50kN，P2=5kN，cm20cmh120P2BAP12cm6cm6cmP2e=2cmCBDAP1引起的偏心压缩：CBDACBDAP2引起的平面弯曲：CBDA ,100.1,102.144kPakPa拉压yxxyP1引起的偏心压缩：CBDACBDAP2引起的平面弯曲：CBDA024.0501AP612.02.002.05021yWeP62.012.02.1522xWhP拉max压max62.012.02.15612.02.002.050024.05022211xyWhPWePAP 压kPa41017.1xyWhPWePAP211 拉kPa3105.7