空间曲面与曲线

首页上页返回下页结束曲面与曲线曲面与曲线一、曲面的方程一、曲面的方程二、曲线的方程二、曲线的方程三、二次曲面三、二次曲面首页上页返回下页结束柱体的表面、探照灯的反射面等柱体的表面、探照灯的反射面等曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面方程的定义：曲面方程的定义：如如果果曲曲面面S与与三三元元方方程程0),(zyxF有有下下述述关关系系：（1 1）曲曲面面S上上任任一一点点的的坐坐标标都都满满足足方方程程；（2 2）不不在在曲曲面面S上上的的点点的的坐坐标标都都不不满满足足方方程程；曲面的实例：曲面的实例：一、曲面的方程一、曲面的方程1.曲面方程的概念曲面方程的概念首页上页返回下页结束研究空间曲面有研究空间曲面有两个基本问题两个基本问题：（2 2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状）已知坐标间的关系式，研究曲面形状（讨论旋转曲面）（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（讨论柱面、二次曲面）（1 1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程首页上页返回下页结束定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴播放播放2.旋转曲面旋转曲面首页上页返回下页结束定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴2.旋转曲面旋转曲面首页上页返回下页结束定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴2.旋转曲面旋转曲面首页上页返回下页结束定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴2.旋转曲面旋转曲面首页上页返回下页结束xozy0),(zyf),0(111zyM M),(zyxM设设1)1(zz|122yyxd 旋转过程中的特征：旋转过程中的特征：如图如图将将 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyfd首页上页返回下页结束将将 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyf ,0,22 zyxf得方程得方程同理：同理：yoz坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线0),(zyf绕绕y轴旋转一周的轴旋转一周的旋转曲面方程旋转曲面方程为为 .0,22 zxyf首页上页返回下页结束求旋转曲面的方程技巧求旋转曲面的方程技巧1)在曲线在曲线C 的方程的方程中，只要将中，只要将y改成改成,22yx z不变，不变，同理同理,曲线曲线C绕绕y轴旋转所成的旋转曲面的方程为：轴旋转所成的旋转曲面的方程为：0,22 zxyf便得曲线便得曲线C绕绕z轴旋转所成的旋转曲面的方程轴旋转所成的旋转曲面的方程.0 y,zf 0,22 zyxf首页上页返回下页结束2）xoy 面上的曲线面上的曲线C：绕绕 x 轴轴 0,22 zyxf绕绕 y 轴轴 0,22 yzxf3）zox 面上的曲线面上的曲线C：绕绕x轴轴 0,22 zyxf绕绕z轴轴 0,22 zyxf 0 x,yf 0 x,zf首页上页返回下页结束xozy解解 yoz面面上上直直线线方方程程为为 cotyz ),0(111zyM),(zyxM圆锥面方程圆锥面方程 cot22yxz oxzy 首页上页返回下页结束例例6 6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程生成的旋转曲面的方程首页上页返回下页结束绕绕y轴轴旋旋转转绕绕z轴旋转轴旋转122222 czxay122222 czayx旋转椭球面旋转椭球面pzyx222 旋转抛物面旋转抛物面G椭圆抛物面G首页上页返回下页结束播放播放定义定义观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.CL3.3.柱面柱面这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫柱面的叫柱面的母线母线.CL首页上页返回下页结束柱面举例柱面举例xozyxozyxy22 抛物柱面抛物柱面xy 平面平面首页上页返回下页结束从柱面方程看柱面的从柱面方程看柱面的特征特征：xyz0表表示示怎怎样样的的曲曲面面？方方程程222Ryx 例例解解222:Ryxz 轴轴的的圆圆柱柱面面表表示示母母线线平平行行于于 0:222zRyxC准线为准线为 圆柱面圆柱面C准线准线首页上页返回下页结束12222 bzax例例:母线平行于母线平行于y轴的双曲柱面，轴的双曲柱面，准线为准线为 012222yczaxC S1S2其他类推其他类推.pzx22 例例:抛物柱面抛物柱面 /轴轴y首页上页返回下页结束思考题思考题1 指出下列方程在平面解析几何中和空指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？间解析几何中分别表示什么图形？;2)1(x;4)2(22 yx.1)3(xy首页上页返回下页结束思考题思考题1解答解答平面解析几何中平面解析几何中空间解析几何中空间解析几何中2 x422 yx1 xy平平行行于于y轴轴的的直直线线平平行行于于yoz面面的的平平面面圆心在圆心在)0,0(，半半径径为为2的的圆圆以以z轴轴为为中中心心轴轴的的圆圆柱柱面面斜率为斜率为1的直线的直线平平行行于于z轴轴的的平平面面方程方程首页上页返回下页结束 0),(0),(zyxGzyxF空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程不能同时满足两个方程.xozy1S2SC空间曲线空间曲线C可看作空间两曲面的交线可看作空间两曲面的交线.特点特点：二、曲线的方程二、曲线的方程1.曲线的一般方程曲线的一般方程首页上页返回下页结束例例1 1 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？6332122zyxyx解解122 yx表示圆柱面，表示圆柱面，6332 zyx表示平面，表示平面，6332122zyxyx交线为椭圆交线为椭圆.首页上页返回下页结束例例2 2 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？4)2(222222ayaxyxaz解解222yxaz 上半球面上半球面,4)2(222ayax 圆柱面圆柱面,交线如图交线如图.首页上页返回下页结束C1 C2G G1C1C2首页上页返回下页结束 )()()(tzztyytxx 当当给给定定1tt 时时，就就得得到到曲曲线线上上的的一一个个点点),(111zyx，随随着着参参数数的的变变化化可可得得到到曲曲线线上上的的全全部部点点.空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程2.曲线的参数方程曲线的参数方程首页上页返回下页结束 动点从动点从A点出点出发，经过发，经过t时间，运动到时间，运动到M点点 例例 3 3 如如果果空空间间一一点点M在在圆圆柱柱面面222ayx 上上以以角角速速度度 绕绕z轴轴旋旋转转，同同时时又又以以线线速速度度v沿沿平平行行于于z轴轴的的正正方方向向上上升升（其其中中、v都都是是常常数数），那那么么点点M构构成成的的图图形形叫叫做做螺螺旋旋线线试试建建立立其其参参数数方方程程A MM M在在xoy面的投影面的投影)0,(yxM tax cos tay sin vtz t 螺旋线的参数方程螺旋线的参数方程取时间取时间t为参数，为参数，解解xyzo首页上页返回下页结束螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的参数方程还可以写为 bzayaxsincos),(vbt 螺旋线的重要螺旋线的重要性质性质：,:00 ,:00 bbbz 上升的高度与转过的角度成正比上升的高度与转过的角度成正比即即上升的高度上升的高度 bh2螺距螺距,2 首页上页返回下页结束 )(0),()(0),(:21 zyxGzyxFC消去变量消去变量z后得：后得：0),(:yxH 曲线关于曲线关于 的的投影柱面投影柱面xoy设空间曲线的一般方程：设空间曲线的一般方程：以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.投影柱面的投影柱面的特征特征：3.空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影 00),(:zyxHC面上的面上的在在xoyC投影曲线投影曲线xozyCC 首页上页返回下页结束类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影 00),(xzyR 00),(yzxT面上的面上的投影曲线投影曲线,yoz面上的面上的投影曲线投影曲线,xoz 00),(zyxH空间曲线在空间曲线在 面上的面上的投影曲线投影曲线xoy首页上页返回下页结束例例4 4 求曲线求曲线 在坐标面上的投影在坐标面上的投影.211222zzyx解解（1）消去变量）消去变量z后得后得,4322 yx在在 面上的投影为面上的投影为xoy,04322 zyx首页上页返回下页结束所以在所以在 面上的投影为线段面上的投影为线段.xoz;23|,021 xyz（3）同理在）同理在 面上的投影也为线段面上的投影也为线段.yoz.23|,021 yxz（2）因为曲线在平面）因为曲线在平面 上，上，21 z首页上页返回下页结束补充补充:空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体或曲面在坐标面上的投影.空间立体空间立体曲面曲面首页上页返回下页结束例例6.,)(34,2222面上的投影面上的投影求它在求它在锥面所围成锥面所围成和和由上半球面由上半球面设一个立体设一个立体xoyyxzyxz 解解半球面和锥面的交线为半球面和锥面的交线为 ,)(3,4:2222yxzyxzC,122 yxz 得投影柱面得投影柱面消去消去xozy首页上页返回下页结束面面上上的的投投影影为为在在则则交交线线xoyC .0,122zyx一个圆一个圆,面上的投影为面上的投影为所求立体在所求立体在 xoy.122 yx首页上页返回下页结束二次曲面的定义：二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称之为三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面二次曲面相应地，平面被称为相应地，平面被称为一次曲面一次曲面讨论二次曲面的形状用所谓的讨论二次曲面的形状用所谓的截痕法截痕法：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌三、二次曲面三、二次曲面首页上页返回下页结束ozyx（一）椭球面（一）椭球面1222222 czbyax 椭球面与椭球面与三个坐标面三个坐标面的交线：的交线：,012222 yczax.012222 xczby,012222 zbyax首页上页返回下页结束（二）抛物面（二）抛物面1.椭圆抛物面椭圆抛物面:zqypx 22xyzo（与与 同号）同号）pqzxyo0,0 qp0,0 qp首页上页返回下页结束2.双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）zqypx 22（与与 同号）同号）pqxyzo首页上页返回下页结束（三）双曲面（三）双曲面1.单叶双曲面单叶双曲面1222222 czbyax xyoz2.双叶双曲面双叶双曲面:1222222 czbyaxxyo首页上页返回下页结束定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL首页上页返回下页结束定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL首页上页返回下页结束定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL首页上页返回下页结束定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL首页上页返回下页结束定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL首页上页返回下页结束定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL首页上页返回下页结束定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL首页上页返回下页结束定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL首页上页返回下页结束定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL首页上页返回下页结束定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL