1.5线性电路的基本分析方法

（a）(b)(c)对图(a)，支路电压电流约束关系是：对图(b)，支路电压电流约束关系是：对图(c)，支路电压电流约束关系是：1.5线性电路的基本分析方法线性电路的基本分析方法 1.5.1 电路的支路约束和方程的独立性uR isuuR i()suiiRn电路方程须根据独立的KCL方程、独立的KVL方程、元件（支路）约束列出。n独立的KCL方程中存在别的KCL方程不包含的支路电流。n独立的KVL方程中存在别的KVL方程不包含的支路电压。n n个节点，b条支路的电路，独立的KCL方程数为（n-1），独立的KVL方程数为 b-(n-1)。1.5.2支路法支路法 对于一个具有b条支路和n个节点的电路，当以支路电流和支路电压为变量列写方程时，总计有2b个未知量。即根据KCL可列出（n1）个独立方程，根据KVL可列出（bn1）个独立方程，根据各支路的VCR(电压电流关系)可列出b个独立方程，总计方程数正好为2b,与待求未知量数相等，则可由2b个方程解出2b个支路电流和支路电压，通常把这种求解方法称为2b2b法法。然而，直接应用2b法求解较为繁琐。在实际应用中，所求的电路响应往往只是某些支路的电流或电压。即使既需要求电压又需要求电流时，当求出支路电流（或电压）后，应用支路的VCR很容易得出其电压和电流。尤其对线性电阻而言，其电压和电流之间的关系只相差一个比例系数R。因此，可应用VCR将各支路电压以支路电流来表示。然后代入KVL方程，这样，就将2b个方程数减少了一半，得到了以b个支路电流为未知量的b个KCL和KVL方程，继而求解。这种方法称为支路电支路电流法流法。如果是将支路电流用支路电压表示，然后代入KCL方程，连同支路电压的KVL方程，便得到一组以支路电压为变量的b个方程，再进行求解。这种方法称为支路电压法电压法。例例1 1 如本例图所示，已知电流源IS1=1A，电压源US2=10V，电阻RL=20,R1=R2=2,求各支路电流和电路中功率平衡的关系。n解解 该电路共有3条支路2个节点(a、b),各支路电流的参考方向如图所示，其中有一条支路含已知的电流源IS1,故只要解出另外两条支路电流I2和I3以及电流源IS1两端的电压Udb,而Udb取决于电流源IS1的外部电路。n 0321III02322SLURIRI0311dbLURIRI由KCL和KVL可列写如下方程组：代入已知数据和 ，将上述方程组整理成线性方程组的一般形式解方程组即得I2为负值，表明其实际方向与参考方向相反。A111SII232330110050202dbIIIIIUA455.02IA545.03IV9.12dbU电路中的功率平衡关系：电流源的功率 负号的物理意义表明电流源输出功率。电压源的功率 电阻R1的功率 电阻R2的功率 电阻RL的功率 负载消耗的功率为 电流源输出的功率 ,可见电路中输出功率和消耗功率相等。即功率平衡。W9.129.12111dbSIUIPSW55.410)455.0(22SUUIPSW22121211RIPRW41.02)455.0(22222RIPRW94.520)545.0(223LRRIPLW9.1294.541.0255.421LSRRRUPPPPW9.121SIP1.5.3节点电压法节点电压法 在电路中，任意选取一个节点为参考点，并令其电位为零，其它各节点对此参考节点的电势差称为节点电压。对于有n个节点的电路，节点电压数为n1,与电路的独立节点数相等，也就是说如果用电路的节点电压为变量，对参考点以外的各节点列出的KCL方程是彼此独立的，即节点电压是电路中的一组独立变量。将这组变量求出后，可直接应用KVL和VCR将其变成各支路电压和各支路电流。基于上述思想，对有n个节点的电路进行求解时，以节点电压为变量，用KCL列出n1个电流平衡方程式（简称节点方程）的计算方法称为节点电压法或节点电位法。节点电压法或节点电位法。一、节点法分析的基本方程 在如图所示电路中，共有3个节点，选定参考点（接地点）后，另外两节点、的电压则为U1和U2，由KCL可列写电流平衡方程式01431SIIII03242IIIIS 根据KVL和VCR,各支路电流均可用相应的节点电压表示，即 将这些关系式代入上述电流平衡方程式并整理得111RUI222RUI3213RUUI4124RUUUIS412431431)11()111(RUIURRURRRSS421432432)11()111(RUIURRURRRSS 若将此式中所有电阻的倒数用电导表示，则变成 为了归纳出一般的节点方程,我们把与某独立节点相联支路的电导之和称为该节点的自电导，简称自导自导。用标有双同序号下标的Gii表示。把两相邻独立节点间相联支路的电导之和的负值称为互电导，简称互导，用标有非双同序号下标的Gij表示（ij）。可见，节点与节点的自导分别为：自导总是为正值。412431431)()(GUIUGGUGGGSS421432432)()(GUIUGGUGGGSS43111GGGG43222GGGG两节点的互导为：互导总是为负值。上述电流平衡方程式右边可写为IS11、IS22,它们分别表示节点和节点由电流源和电压源所注入电流的代数和。其中对于电流源产生的电流，流入节点时取正，反之取负。对于电压源产生的电流，电压源正极向着该节点时取正，反之取负。)(432112GGGG 这样，可将上述方程写成如下形式 将此方程组推广到一般情况，即对于一个有n个节点的电路，节点电压法的基本方程为：11212111SIUGUG22222121SIUGUG1111221331(n 1)n 1S112112222332(n 1)n 1S22(n 1)11(n 1)22(n 1)33(n 1)(n 1)n 1S(n 1)(n 1)G UG UG UGUIG UG UG UGUIGUGUGUGUI 应指出，与电流源串联的电阻因对外不起作用，应指出，与电流源串联的电阻因对外不起作用，不能列入自导和互导之中，即用节点电压法解题时，不能列入自导和互导之中，即用节点电压法解题时，不要计及与电流源串联支路电阻的影响。不要计及与电流源串联支路电阻的影响。用节点电压法求解电路的步骤如下：用节点电压法求解电路的步骤如下：(1)选定参考点；(2)对参考点以外的各节点，以节点电压为变量，按有关式列出节点方程，注意自导总是正值，互导总是负值。还应注意各节点注入电流前面的“”，“”号；(3)解线性方程组，求出各节点的电压；(4)应用KVL和VCR求出待求的支路电压和支路电流。例例2 2在本例图所示的电路中，已知 ,求各支路电流和电流源IS供出的功率。V601SUV552SUA20SI5.01R8.02R 13R14R 25R 36R解解 该电路有3 个节点、。选节点为参考点。注意到与电流源IS相串联的电阻R6不能计入节点的自导，按式（62）可列写出和两节点方程为：22112414211)111(RURUURURRRSSSIURURRR1425431)111(代入已知数据后即为：联立上述方程解得：8.0555.060)18.015.01(21UU20)2111(12UUV1.511UV44.282U 设各支路电流的参考方向如图所示，由KVL和VCR的求得各支路电流分别为：A8.175.01.51601111RUUISA87.48.01.51552122RUUISA44.28144.28323RUIA7.22144.281.514214RUUIA2.14244.28525RUI 设电流源IS两端的电压为UIS，其极性如图所示。则电流源IS供出的功率为V44.8844.2832026URIUSISW8.17682044.88SIIIUPSS二、含受控源电路节点方程的列写二、含受控源电路节点方程的列写 含受控源电路的节点分析方法及步骤，与只含独立源电路的节点分析方法及步骤完全相同。在列写节点的KCL方程时，把受控源当作独立源处理，但控制变量一定要用待求的节点电压变量表示，以作为辅助方程。若电路中受控电流源的控制量不是某个节点电压，列写节点方程时需再补充一个反映控制量与某节点电压关系的方程式。若受控电流源的控制量是某一节点电压，就不用再补充方程了。例例 在本例图所示的电路中，各电阻和各电流源以及受控电流源均为已知，试列写此电路的节点方程并求其节点电压。解解 参考点（选为接地点）和其它各节点编号如图所示。则节点方程为节点节点 附加方程 联立上述方程解得 12151051.01)1.012.01(IUUUA121510)1.012.01(1.01IUU01UV12U2.021UI21UUUA例例 在本例图所示的电路中，各电阻和电流源以及受控电流源均为已知，试列写其节点方程并求其节点电压。解 参考点（选为接地点）及其它各节点编号如图所示，则节点方程为节点 节点 节点 865.0105.01)05.015.01(321UUU12111()20.0 50.0 50.2 5AUUU 1425.015.0131AUUU 由于受控源的控制量UA即为节点的节点电压U2，即UA=U2，所以不必再补充方程。整理上述方程即得 联立各式解得8622022321UUU0262021UU14222321UUUV25.31UV252UV5.643U