数学史部分43古希腊数学3

1 1、希罗（、希罗（Heron）与）与几何学：几何学：Heron：约公元：约公元62年前年前后活跃于亚历山大，后活跃于亚历山大，数学家、物理学家数学家、物理学家.他的工作奠定了工他的工作奠定了工程学和土地测量学的程学和土地测量学的科学基础科学基础.（七）后希腊时期的数学：（七）后希腊时期的数学：)()(cpbpappS 希腊最重要的几何学著作是希腊最重要的几何学著作是度量学度量学（Metrica），分三卷，是），分三卷，是R.舍内舍内（Schone）于）于1896年才在年才在君士坦丁堡君士坦丁堡发现的发现的.第一卷：讲述各种图形的面积度量第一卷：讲述各种图形的面积度量.求非完全平方的整数平方根近似值的希罗求非完全平方的整数平方根近似值的希罗方法方法 n=ab，则，则 第一近似值由第一近似值由 给出给出.此方法允许逐步近似此方法允许逐步近似.n2ba 的第一近似值的第一近似值 ，n1a第二近似值第二近似值2112anaa 第三近似值第三近似值2223anaa 第二卷：讲述各种立体图形的体积测量，包第二卷：讲述各种立体图形的体积测量，包括：锥体，柱体，平行六面体，棱锥，圆锥括：锥体，柱体，平行六面体，棱锥，圆锥和棱锥的平截头体；球体球截形，锚环，五和棱锥的平截头体；球体球截形，锚环，五种正立方体和某些旁面三角台种正立方体和某些旁面三角台.第三卷：讲述把一定的面积和体积依给定的第三卷：讲述把一定的面积和体积依给定的比例分成两部分的问题比例分成两部分的问题.另一本代表作：另一本代表作：测量仪器测量仪器 其中描述一种仪器，功能类似现代的经纬仪其中描述一种仪器，功能类似现代的经纬仪.（1 1）挖一个隧道，从山的两侧开始，找准方）挖一个隧道，从山的两侧开始，找准方向，使隧道准确会合向，使隧道准确会合.（2 2）确定两点之间的高度差）确定两点之间的高度差.（3 3）测量可望而不可及的两点间距离）测量可望而不可及的两点间距离.（4 4）测量沟渠的深）测量沟渠的深.（5 5）两城市间的距离）两城市间的距离.（6 6）本书最后论述如何运用齿轮的结构，用本书最后论述如何运用齿轮的结构，用一个给定的力去移动给定的重物一个给定的力去移动给定的重物.Heron发明的机械：发明的机械：（1 1）“汽转球汽转球”,也叫做也叫做“风神之球风神之球”或或“风神之门风神之门”第一个蒸汽机第一个蒸汽机（2 2）“自动售贷机自动售贷机”（3 3）灭火器）灭火器（4 4）水风琴）水风琴（5 5）水钟等等）水钟等等 2 2、三角学与托勒密：、三角学与托勒密：Ptolemy,100170 系统三角学著作系统三角学著作:天文学大成天文学大成（Almagest）成书于约成书于约150年年（1 1）Ptolemy 将圆周分成将圆周分成360度，角的度量度，角的度量采用采用60进制进制.（2 2）弦表：）弦表：0度到度到90度每隔度每隔15分的角的正弦分的角的正弦.（3 3）AAAAABABABAAAcossin22sin;2cos12sin;sincoscossin)sin(;1cossin22 （4）Ptolemy 定理：定理：“在圆内接四边形中，在圆内接四边形中，两对角线之积等于两对边乘积的和两对角线之积等于两对边乘积的和.”（5）用直尺和圆规做出圆的内接正五、十）用直尺和圆规做出圆的内接正五、十五边形五边形.（6）圆周率的近似值）圆周率的近似值（7）球面三角定理，用以解决特定的天）球面三角定理，用以解决特定的天文学问题文学问题.6141.3 第二篇，研究与地球球面有关的知识第二篇，研究与地球球面有关的知识 第三、四、五篇，利用本轮解释天文学的地心第三、四、五篇，利用本轮解释天文学的地心学说在第四篇中，提出了测量学的三点问题学说在第四篇中，提出了测量学的三点问题的解：确定这样的点，使这一点与给定的三个的解：确定这样的点，使这一点与给定的三个点中每两点的连线所成之角分别为给定的角点中每两点的连线所成之角分别为给定的角 在第六篇中，提出了日、月蚀的理论在第六篇中，提出了日、月蚀的理论 在第七、八篇中，含有在第七、八篇中，含有1028个恒星目录个恒星目录 其余几篇研究行星其余几篇研究行星 天文学大成天文学大成一书，在一书，在哥白尼哥白尼(N.Copernicus,14731543)之名著之名著关于天体关于天体的运转的运转(Derevolutionibusorbium Caelestium)成书前，一直是标准的天文学著作成书前，一直是标准的天文学著作 Ptolemy曾怀疑过欧几里德平行公设，试图利曾怀疑过欧几里德平行公设，试图利用用几何原本几何原本中的其它公理和公设推出第五公中的其它公理和公设推出第五公设，使之去掉欧几里德的一系列原始假定，但未设，使之去掉欧几里德的一系列原始假定，但未能成功能成功 几乎在同一时期，希腊学者几乎在同一时期，希腊学者门纳劳斯门纳劳斯(Menelaus of Alexandria，进一步研究了球面，进一步研究了球面三角，并著三角，并著球面论球面论(Sphaerica)，着重讨论，着重讨论球面三角形的几何性质球面三角形的几何性质 在在Ptolemy逝世之后，希腊的黄金时代已逝世之后，希腊的黄金时代已经过去，希腊数学开始走下坡路正是在此时，经过去，希腊数学开始走下坡路正是在此时，有一些才华出众的学者，又为希腊数学增添了有一些才华出众的学者，又为希腊数学增添了新的光彩，其中最著名的人物乃是亚历山大里新的光彩，其中最著名的人物乃是亚历山大里亚的亚的帕普斯帕普斯(Pappus，300？-350？)和和丢番图丢番图(Diophantus)，他们的工作推动了希腊后期的，他们的工作推动了希腊后期的数学数学邮票上的托勒密邮票上的托勒密 3 3、代数学与丢番图代数学与丢番图 Diophantus，246330 ，代数方程理论，代数方程理论 （1 1）丢番图的墓志铭：）丢番图的墓志铭：“丢番图一生的丢番图一生的1/6为童年，为童年，1/12为青年，为青年，1/7为单身汉，结婚五年之后，生了个儿子，为单身汉，结婚五年之后，生了个儿子，儿子在他最终年龄的一半时，比他父亲早儿子在他最终年龄的一半时，比他父亲早四年死去。路过的朋友，请你猜一猜，丢四年死去。路过的朋友，请你猜一猜，丢番图活了多少年？番图活了多少年？”（2 2）主要著作：）主要著作：算术算术（Arithmetica）：不定方程的求解）：不定方程的求解 论多边形数论多边形数 衍论衍论Diophantus 算术算术（Arithmetica）：算术算术是代数数论的解析处理，特别以不是代数数论的解析处理，特别以不定方程的求解而著称，表明作者在这个领定方程的求解而著称，表明作者在这个领域中是一个天才域中是一个天才.这部著作的尚存部分是大这部著作的尚存部分是大约约130130个各种各样的，导出一次和二次方程个各种各样的，导出一次和二次方程的问题的解法的问题的解法.其中还解出了一个很特殊的其中还解出了一个很特殊的三次方程三次方程.其解法巧妙，远远超出了同时代其解法巧妙，远远超出了同时代人的水平人的水平.算术算术的主要内容：的主要内容：第一卷讲述一元的确定方程第一卷讲述一元的确定方程.Diophantus解一次方程的方法与现代基本相同，解一次方程的方法与现代基本相同，但是没有概括出一般的解法和步骤但是没有概括出一般的解法和步骤.余下的几卷讲述二元和三元，二次或高次的余下的几卷讲述二元和三元，二次或高次的不定方程不定方程.cBxAxybyx 22;FExDxzCBxAxy2222值得注意的是：值得注意的是：书中缺少一般的方法，主要是依靠其高超书中缺少一般的方法，主要是依靠其高超的技巧的技巧.Diophantus只承认正有理数；只承认正有理数；满足于对一个问题只求出一个解满足于对一个问题只求出一个解.深刻的定理：深刻的定理：“两个有理数立方的差也是两个有理数立方两个有理数立方的差也是两个有理数立方的和的和”Veita,Fermat 把一个数表示成两个，三个或四个数的平把一个数表示成两个，三个或四个数的平方和方和 Fermat,Euler,Lagrange 求两个平方数，使得它们的乘积加到任一求两个平方数，使得它们的乘积加到任一个上给出一个平方数个上给出一个平方数.求三个数，使得它们和和为平方数，且任求三个数，使得它们和和为平方数，且任何两个数的和为平方数何两个数的和为平方数.求成算术级数的三个数，使得其中任何两求成算术级数的三个数，使得其中任何两个数的和为平方数个数的和为平方数.求三个数，使得其中任何两个数的乘积加求三个数，使得其中任何两个数的乘积加上第三个数为平方数上第三个数为平方数.求三个数，使得其中任何两个数的乘积加求三个数，使得其中任何两个数的乘积加上这两个数的和为平方数上这两个数的和为平方数.求两个数，使得其和等于其立方和求两个数，使得其和等于其立方和.求成几何级数的三个数，使得任何两个数求成几何级数的三个数，使得任何两个数的差为平方数的差为平方数.求一组毕氏三数，使其斜边减去每一直角求一组毕氏三数，使其斜边减去每一直角边均为立方数边均为立方数.求一组毕氏三数，使其一个锐角的平分线求一组毕氏三数，使其一个锐角的平分线的长度是有理数的长度是有理数.（3 3）字母运算方式的开端）字母运算方式的开端“简写代数简写代数”Diophantus是采用代数符号的第一个人是采用代数符号的第一个人.他他所采用的步骤具有速记缩写的性质所采用的步骤具有速记缩写的性质.他给出了未知数，据考证这个符号是他给出了未知数，据考证这个符号是s s.他还用专门的符号来表示未知数的幂他还用专门的符号来表示未知数的幂 二次幂是，二次幂是，三次幂是，三次幂是，四次幂是，四次幂是，五次幂是等等，五次幂是等等，还有减号还有减号，相等和倒数等的缩写，相等和倒数等的缩写.4 4、帕波斯与、帕波斯与数学汇编数学汇编(Mathematical Collection)Pappus，约，约300350年，是古希腊后期亚历山年，是古希腊后期亚历山大里亚学派的最后一位数学家大里亚学派的最后一位数学家.（1 1）著名的评注家：）著名的评注家：（2 2）数学汇编数学汇编(Mathematical Collection)及其主及其主要内容：要内容：数学汇编数学汇编共共8 8篇，现存后篇，现存后6 6篇，以及第一篇与篇，以及第一篇与第二篇的一部分内容第二篇的一部分内容.这是一部总结前人成果的这是一部总结前人成果的典型著作，在数学史上有特殊的意义典型著作，在数学史上有特殊的意义.Pappus,Collection PAPPUS,of Alexandria.Mathematicae Collectiones.有许多古希腊数学的珍贵资料是由于有许多古希腊数学的珍贵资料是由于数学汇数学汇编编的记载而得以保留的的记载而得以保留的.例如例如:(1)(1)割圆曲线化圆为方；割圆曲线化圆为方；(2)(2)尼科米迪斯尼科米迪斯(Nicomedes)蚌线与倍立方体问蚌线与倍立方体问题的解题的解 secbar (3)阿基米德阿基米德(Archimedes)的半正多面体；的半正多面体；(4)阿波罗尼奥斯阿波罗尼奥斯(Apollonius)圆锥曲线圆锥曲线(Conics)中未提及的圆锥曲线的焦点、准线性中未提及的圆锥曲线的焦点、准线性质等等质等等.数学汇编数学汇编内容简介内容简介 几何作图问题：几何作图问题：等周曲边形问题：（第五篇）等周曲边形问题：（第五篇）、周长相等的所有弓形中，以半圆的面、周长相等的所有弓形中，以半圆的面积最大积最大.、球的体积比相同表面积的任何圆锥体、球的体积比相同表面积的任何圆锥体、圆柱体或正多面体的体积都大圆柱体或正多面体的体积都大.研究了蜂巢问题：研究了蜂巢问题：证明了六棱柱巢是最经济的巢形，即在其证明了六棱柱巢是最经济的巢形，即在其他条件相同的情况下，它的容积最大他条件相同的情况下，它的容积最大.这个这个问题到问题到1818世纪又得到进一步的研究世纪又得到进一步的研究.射影几何：（第七篇）射影几何：（第七篇）Pappus 在在数学汇编数学汇编的第七篇中，给出了的第七篇中，给出了一些概念和定理，为一些概念和定理，为1717世纪射影几何的研究提世纪射影几何的研究提供了线索供了线索.、过一点的四条直线在任一截线上所截取的、过一点的四条直线在任一截线上所截取的线段的交比不变；线段的交比不变；、若一个完全四边形的、若一个完全四边形的4 4条边以及条边以及2 2条对角线条对角线与某直线相交中有与某直线相交中有5 5个固定，则第个固定，则第6 6个也固定；个也固定；、四边形中一条对角线被另一条对角线以及、四边形中一条对角线被另一条对角线以及两组对边交点的连线，分割成调和比的线段；两组对边交点的连线，分割成调和比的线段；、Pappus 定理：若定理：若A,B,C与与D,E,F分分别是两条直线上的三个点，则别是两条直线上的三个点，则AE,BF,CD分别与分别与DB,EC,FA的三个交点共线的三个交点共线.旋转体体积：（第七篇）旋转体体积：（第七篇）旋转体体积的旋转体体积的Pappus定理：定理：一个平面图形绕同一平面上的轴线旋转而成一个平面图形绕同一平面上的轴线旋转而成的旋转体的体积平面图形面积其重心所转的旋转体的体积平面图形面积其重心所转过的圆周长过的圆周长.此定理到此定理到1717世纪被古尔丁（世纪被古尔丁（P.Guldin）重新）重新发现，又被称为古尔丁定理发现，又被称为古尔丁定理.badyyV2 Pappus 问题：问题：Apollonius曾断言：曾断言：“可以求出这样一个动点可以求出这样一个动点的轨迹的轨迹,它与两定直线距离的乘积它与另外它与两定直线距离的乘积它与另外两定直线距离的乘积两定直线距离的乘积一个常数一个常数”.Pappus指出这个轨迹就是一个圆锥曲线，但指出这个轨迹就是一个圆锥曲线，但他没有给出证明他没有给出证明.他还进一步指出，这一问题他还进一步指出，这一问题可以推广到包含可以推广到包含5条、条、6条或更多条直线的情形，条或更多条直线的情形，这成为著名的这成为著名的Pappus问题问题.17世纪，笛卡尔（世纪，笛卡尔（Descartes）曾试图用分析）曾试图用分析方法来解决这个问题，这也是导致笛卡尔方法来解决这个问题，这也是导致笛卡尔（Descartes）创立解析几何学（）创立解析几何学（Analytic geometry）的一个重要因素）的一个重要因素.数学汇编数学汇编（Mathematical Collection）被）被认为是古希腊数学的安魂曲认为是古希腊数学的安魂曲.Pappus 之后，之后，古希腊数学开始衰落古希腊数学开始衰落.（八）古希腊几何的三大难题：（八）古希腊几何的三大难题：工具：欧几里德工具工具：欧几里德工具1 1、倍立方体、倍立方体 Doubling tne cube 圆锥曲线圆锥曲线传说在公元前传说在公元前4 4世纪，古希腊的雅典流行一种病疫，世纪，古希腊的雅典流行一种病疫，为了消除灾难，雅典人向日神求助。日神说：为了消除灾难，雅典人向日神求助。日神说：“如果要使病疫不流行，除非把我殿前的立方体如果要使病疫不流行，除非把我殿前的立方体香案的体积扩大一倍。香案的体积扩大一倍。”这个条件使雅典人很高这个条件使雅典人很高兴，他们认为这是容易做到的，于是把旧香案的兴，他们认为这是容易做到的，于是把旧香案的各棱放大一倍，做了一个新的立方体香案。然而各棱放大一倍，做了一个新的立方体香案。然而疫势反而更加猖獗。当雅典人再去祈祷日神时，疫势反而更加猖獗。当雅典人再去祈祷日神时，他们才知道新香案的体积并不是旧香案的两倍。他们才知道新香案的体积并不是旧香案的两倍。这就难住了当时的人们，连最有名的学者柏拉图这就难住了当时的人们，连最有名的学者柏拉图也感到无能为力。也感到无能为力。倍立方体问题之所以不能解决，是因为倍立方体问题之所以不能解决，是因为作图时只能使用圆规和无刻度的直尺。这是古作图时只能使用圆规和无刻度的直尺。这是古希腊人对作图的要求。希腊人对作图的要求。假设已知立方体的棱长是假设已知立方体的棱长是1 1个单位，那么个单位，那么这个立方体的体积便是这个立方体的体积便是1 1的的3 3次方等于次方等于1 1。根据。根据需求，要求作的立方体的体积是原立方体的两需求，要求作的立方体的体积是原立方体的两倍，即倍，即1 12=22=2，所以求作的立方体的棱长为，所以求作的立方体的棱长为2 2的立方根这一个无理数，通过有限次画线、作的立方根这一个无理数，通过有限次画线、作圆、求交点是无法作出长为圆、求交点是无法作出长为2 2的的3 3次根的线段的，次根的线段的，所以倍立方体问题是不可能用直尺和圆规来解所以倍立方体问题是不可能用直尺和圆规来解决的。决的。2 2、三等分角、三等分角 Trisecting an angel 1837年凡齐尔（年凡齐尔（18141848）运用代数方）运用代数方法证明了，这是一个标尺作图的不可能问题。法证明了，这是一个标尺作图的不可能问题。在研究在研究“三等分角三等分角”的过程中发现了如蚌的过程中发现了如蚌线、心脏线、圆锥曲线等特殊曲线。线、心脏线、圆锥曲线等特殊曲线。人们还发现，只要放弃人们还发现，只要放弃“尺规作图尺规作图”的戒的戒律，三等分角并不是一个很难的问题。古希腊律，三等分角并不是一个很难的问题。古希腊数学家阿基米德发现只要在直尺上固定一点，数学家阿基米德发现只要在直尺上固定一点，问题就可解决了。问题就可解决了。现简介其法如下：在直尺边缘上添加一点现简介其法如下：在直尺边缘上添加一点，命尺端为。设所要三等分的角是，命尺端为。设所要三等分的角是，以为圆心，为半径作半圆交角边于，以为圆心，为半径作半圆交角边于，；使点在延线上移动，点在圆，；使点在延线上移动，点在圆周上移动，当尺通过时，联（见图）。周上移动，当尺通过时，联（见图）。由于，所以由于，所以。这里使用的工具已不限于标尺，而。这里使用的工具已不限于标尺，而且作图方法也与公设不合。且作图方法也与公设不合。3 3、化圆为方、化圆为方 Squaring the circle穷竭法穷竭法求一正方形，其面积和一已知圆的面积相同求一正方形，其面积和一已知圆的面积相同 在在1882年证明年证明为超越数，因此也证实该为超越数，因此也证实该问题仅用尺规是无法完成的。因为可用尺规作问题仅用尺规是无法完成的。因为可用尺规作图画出的数称为规矩数，是代数数的一种。而图画出的数称为规矩数，是代数数的一种。而或或 都不是规矩数。都不是规矩数。但若放宽限制，这一问题可以通过特殊的但若放宽限制，这一问题可以通过特殊的曲线来完成。如西皮阿斯的割圆曲线，阿基米曲线来完成。如西皮阿斯的割圆曲线，阿基米德的螺线等。德的螺线等。希腊希腊人虽然没有能够解决三大作图问题，人虽然没有能够解决三大作图问题，但是他们的探讨却引出了许多重要的发现：但是他们的探讨却引出了许多重要的发现：、如研究化圆为方的问题引出了穷竭法（、如研究化圆为方的问题引出了穷竭法（安安蒂丰蒂丰，Antiphon，-480-411）：用圆的内接）：用圆的内接正多边形逼近圆的面积的方法来化圆为方；正多边形逼近圆的面积的方法来化圆为方；、由倍立方体问题引出了，发现圆锥曲线、由倍立方体问题引出了，发现圆锥曲线（柏拉图学派柏拉图学派的的门奈赫莫斯门奈赫莫斯，Menaechmus，-4世纪世纪）指出，倍立方体问题可以转化为求一）指出，倍立方体问题可以转化为求一条线段与它的二倍长线段之间的双重比例中项条线段与它的二倍长线段之间的双重比例中项问题：问题：ayyxxa2:axyayx2,22 22axy