三矢量的混合积

9 三矢量的混合积 定义1给定空间的三个矢量abc，我们(axb)c叫做三矢量a，b，c的混合积，记做(a，b，c)或(abc) .定理1 三个不共面矢量a,b,c的混合积的绝对值等于以a,b,c为棱的平行六面体的体积V，并且当 a, b, c构成右手系时混合积为正；当a, b, c构成左手系时混合积为负. 证由于矢量a，b，c不共面，所以把它们归结到共同的试始点0可构成以a，b，c为棱的平行六面体，它的 底面是以a,b为边的平行四边形，面积为S = lab，它的高为,(axb)c = axb c cos0 = S c cos0根据数性积的定义其中0是axb与c的夹角.当a，b c构成右手系时,0 0 (axb)c=sh=VOH = h，体积是 V = Sh.h = c cos 0，因而可得2 -0 -Kh = (a x b)c = 一 sh = -V定理2三矢量a,b, c共面的充要条件是(abc)= . 证若三矢量a，b c共面，由定理1.9.1知|(a xb)c |= sh = V = 0,所以|(abc)|= 0，从而(abc) = 0. 反过来，如果(abc)= 0，即(a x b)c，那么根据定理1.7.1有(a xb)丄c,另一方面，有矢性积的定义 知 (axb)丄 a,(axb)丄 b，所以a,b,c 共面.定理 3 轮换混合积的三个因子，并不改变它的值；对调任何俩因子要改变混合积符号，即(abc) = (bca) = (cab) = -(bac) = -(cba) = -(acb)当 a,b,c 构成左手系时cos(兀-0)二一 ccos 0，因而可得 证当a,b,c共面时，定理显然成立；当a,b,c不共面时，混合积的绝对值等于以a,b,c为棱的平行六面 体的体积V，又因轮换a,b,c的顺序时，不改变左右手系，因而混合积不变，而对调任意两个之间的顺序时, 将右手系变为左，而左变右，所以混合积变号. 推论1(axb)c=a(bxc)定理 4 设 a = x1 i + y1 j + z1 k(abc ) =b=xi+y j+zk2y1y2yx1x2x2z1z2z c=xi+y j+zk3 3 3，那么证 由矢量的矢性积的计算知a x b =y1z1i +z-1x1j +x1yzzxx222223331k再根据矢量的数性积得zzxx1+ y11+ z1z3zx3x2222y1y2yx 1 (abc) =(a x b)c = 3 y2xyz1 iixyz2 22xyz=333推论2三矢量a = xi，yi，Z1，b = x2,与Z2，c = x3, y3 Z3共面的充要条件是x1 y1 z1x3y3z3