最小二乘法求二次方程系数

例1：二次方程式计算Y=a0+a1x+a2 x2y=-6.3+2.4x+1.3x2下表为自动计算系数，给出9组x和y的数值，自动计算出系数。原理与多项式拟合说明附后。第一节 最小二乘法的基本原理和多项式拟合一 最小二乘法的基本原理从整体上考虑近似函数同所给数据点(i=0,1,m)误差(i=0,1,m)的大小，常用的方法有以下三种：一是误差(i=0,1,m)绝对值的最大值，即误差 向量的范数；二是误差绝对值的和，即误差向量r的1范数；三是误差平方和的算术平方根，即误差向量r的2范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算 ，后一种方法相当于考虑 2范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和来 度量误差(i=0，1，m)的整体大小。数据拟合的具体作法是：对给定数据 (i=0,1,，m)，在取定的函数类中,求,使误差(i=0,1,m)的平方和最小，即 =从几何意义上讲，就是寻求与给定点(i=0,1,m)的距离平方和为最小的曲线（图6-1）。函数称为拟合 函数或最小二乘解，求拟合函数的方法称为曲线拟合的最小二乘法。在曲线拟合中，函数类可有不同的选取方法.61二 多项式拟合假设给定数据点(i=0,1,m)，为所有次数不超过的多项式构成的函数类，现求一,使得 (1)当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的称为最小二乘拟合多项式。特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合。显然为的多元函数，因此上述问题即为求的极值 问题。由多元函数求极值的必要条件，得 (2)即 (3)（3）是关于的线性方程组，用矩阵表示为 (4)式（3）或式（4）称为正规方程组或法方程组。可以证明，方程组（4）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。从式（4）中解出(k=0,1,，n)，从而可得多项式 (5)可以证明，式（5）中的满足式（1），即为所求的拟合多项式。我们把称为最小二乘拟合多项式的平方误差，记作由式(2)可得 (6)多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步： (1) 由已知数据画出函数粗略的图形散点图，确定拟合多项式的次数n；(2) 列表计算和；(3) 写出正规方程组，求出；(4) 写出拟合多项式。在实际应用中，或；当时所得的拟合多项式就是拉格朗日或牛顿插值多项式。 例1 测得铜导线在温度()时的电阻如表6-1，求电阻R与温度 T的近似函数关系。i0123456()19.125.030.136.040.045.150.076.3077.8079.2580.8082.3583.9085.10解 画出散点图（图6-2），可见测得的数据接近一条直线，故取n=1，拟合函数为列表如下i019.176.30364.811457.330125.077.80625.001945.000230.179.25906.012385.425336.080.801296.002908.800440.082.351600.003294.000545.183.902034.013783.890650.085.102500.004255.000245.3565.59325.8320029.445正规方程组为解方程组得故得R与T的拟合直线为利用上述关系式，可以预测不同温度时铜导线的电阻值。例如，由R=0得T=-242.5，即预测温度T=-242.5时，铜导线无电阻。6-2例2 例2 已知实验数据如下表i01234567813456789101054211234试用最小二乘法求它的二次拟合多项式。解 设拟合曲线方程为列表如下I0110111101013592781154524416642561664352251256251050461362161296636571493432401749682645124096161287938172965612724381041001000100004040053323813017253171471025得正规方程组解得故拟合多项式为*三 最小二乘拟合多项式的存在唯一性定理1 设节点互异，则法方程组（4）的解存在唯一。证 由克莱姆法则，只需证明方程组（4）的系数矩阵非奇异即可。用反证法，设方程组（4）的系数矩阵奇异，则其所对应的齐次方程组 （7）有非零解。式(7)可写为 （8）将式（8）中第j个方程乘以(j=0,1,，n)，然后将新得到的n+1个方程左右两端分别 相加，得因为其中所以 (i=0,1,m)是次数不超过n的多项式，它有m+1n个相异零点，由代数基本定理，必须有，与齐次方程组有非零解的假设矛盾。因此正规方程组（4）必有唯一解 。定理2 设是正规方程组（4）的解，则是满足式（1）的最小二乘拟合多项式。证 只需证明，对任意一组数组成的多项式，恒有即可。因为(k=0,1,，n)是正规方程组（4）的解，所以满足式（2），因此有故为最小二乘拟合多项式。*四 多项式拟合中克服正规方程组的病态在多项式拟合中，当拟合多项式的次数较高时，其正规方程组往往是病态的。而且正规方程组系数矩阵的阶数越高，病态越严重；拟合节点分布的区间偏离原点越远，病态越严重；(i=0,1,，m)的数量级相差越大，病态越严重。为了克服以上缺点，一般采用以下措施：尽量少作高次拟合多项式，而作不同的分段低次拟合；不使用原始节点作拟合，将节点分布区间作平移，使新的节点关于原 点对称，可大大降低正规方程组的条件数，从而减低病态程度。平移公式为： (9)对平移后的节点(i=0,1,，m),再作压缩或扩张处理： （10）其中,（r是拟合次数） （11） 经过这样调整可以使的数量级不太大也不太小，特别对于等距节点，作式（10）和式（11）两项变换后，其正规方程组的系数矩阵设 为A，则对14次多项式拟合，条件数都不太大，都可以得到满意的结果。变换后的条件数上限表如下：拟合次数1234=19.950.3435在实际应用中还可以利用正交多项式求拟合多项式。一种方法是构造离散正交多项式；另一种方法是利用切比雪夫节点求出函数值后再使用正交多项式。这两种方法都使正规方程 组的系数矩阵为对角矩阵，从而避免了正规方程组的病态。我们只介绍第一种，见第三节。例如 m=19,=328,h=1, =+ih，i=0,1,，19，即节点 分布在328,347，作二次多项式拟合时 直接用构造正规方程组系数矩阵，计算可得严重病态，拟合结果完全不能用。 作平移变换用构造正规方程组系数矩阵，计算可得比降低了13个数量级，病态显著改善，拟合效果较好。 取压缩因子作压缩变换用构造正规方程组系数矩阵，计算可得又比降低了3个数量级，是良态的方程组，拟合效果十分理想。如有必要，在得到的拟合多项式中使用原来节点所对应的变量x，可写为仍为一个关于x的n次多项式，正是我们要求的拟合多项式。