1二次型理论起源于解析几何中二次曲线

第九章 二次型综述1二次型理论起源于解析几何中二次曲线、二次曲面的简化问题.一般的 n 元二次型化为标准型问 题在很多工程问题中有广泛的应用,而 n 维欧氏空间中二次型正交化为标准型问题,在相近学科如分析、 统计学中有直接的应用,但内容本身作为高等代数（线性代数）的一部分,不太需要完整的论述而又必要 作一讨论.2. n元二次型理论（一般数域F上）从体系结构上来讲，可作为一独立的内容,但其可建立与F上n 阶对称矩阵的 对应,所以可安排在矩阵一节之后（北大教材即如此），而其又可与F上的向量空间v 上的对称内积（亦可为对称双线性函数（型）的集合一一对应,因而可放在欧氏空间后.（先推广欧氏空 间即定义一般数域上的（对称）内积（或更一般的酉内积） ,具体见下补） .特别是对欧氏空间中实二次 型的讨论（主轴问题、正定等）因而可放在欧氏空间后（因有些结论是对称变换的推论） .3. 就本章内容而言,主要是二次型的概念及标准形问题,实二次型分类及实二次型的正定及主轴问题. 如刚才所讲，实际上：一般数域F上的n元二次型的集合,F上n维向量空间的对称双线型（函数）的集 合（亦是对称内积的集合）,F上n阶对称矩阵的集合是一一对应的，即是同一事物的三种表现形式，可通 过一方研究（表示）另一方,且大多是通过对称矩阵来研究二次型的（如标准形（化简）、复、实二次型 的规范型、实二次型的正定及主轴问题皆是如此） ,这是方法问题,而理论上为认识二次型是先介绍了双 线性型（对称双线性函数） ,所以在具体内容上直接给出二次型定义,用上述方法讨论前述问题.4. 本节重点难点是二次型的标准形,复、实二次型的规范形及正定二次型的判定,所以二次型的初等 变换法化简、惯性定理是难点.5. 简要介绍一下欧氏空间的推广内积空间与西空间.（略）6. 本教材是先定义双线性型（函数） ,对称双线性型（函数） ,引入与对称双线性型（函数）的关联 函数得出二次型定义,好在理论 上可进一步了解二次型,但不利于实质上（用对称矩阵）讨论二次型本章要解决的问题,以及 9.2 以后的 内容；重要的是引导学生建立F上n元二次型与F上n阶对称矩阵的 对应，通过对称矩阵研究本章 所有问题.9.1 二次型一 教学思考1. 二次型的理论起源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题，但其理论在网络问题中、分析、 热力学等中有广泛应用仅从数学内容上言，其与F上n维向量空间v上所有对称双线性型（对称内积）,F 上所有 n 阶对称方阵是同一事物的三种表现形式，即存在一一对应.这样不管从理论上还是从方法上提 供了讨论问题的方法.本节重要的是给出二次型的定义及二次型的表示，特别是其矩阵表示，从而建立n 元二次型与n阶对称矩阵的对应，用对称矩阵来讨论二次型的标准形问题，为下面具体讨论C上R上的 二次型的规范形（分类）（正定、主轴问题）打下基础.2. 本节不从书中介绍，直接给出二次型的定义 、表示、标准形等概念，及标准形的化法.二 内容要求1. 内容：二次型、二次型的矩阵、可逆性替换，矩阵的合同、二次型的等价、二次型的标准型2. 要求：掌握上述概念及二次型的标准形的化法.三 教学过程1.二次型及表示（1）定义 数域F上n个文字x ,x，x的一个二次齐次多项式叫做F上n个文字的二次型或1 2 nn元二次型（简称二次型）.一个n元二次型总可以写成：q(x ,x ，x )=a x2 +a x2 +.+a x212 n 11 122 2nn n+2a x x +.+2a x x12 1 21n 1 n+2a x x +.+2a2323xx2 n 2 n(I).+2ax xn-1n n-1 n（I ）式称为二次型的一般形式.a = aq(x ,x，x ) - Jl12 na x xij i j(II)i=1 j=1（2）二次型的矩阵定义令A= C.）是由（II）的系数所构成的矩阵.称为二次型（II）的矩阵.ij二次型（I） （II）又可表示为（矩阵）形式：（x、1q(x ,x，x )= (x ,x，x )A12 n 12 n=x T AX. (Ill)x.2x丿n定义：一个二次型的矩阵叫做二次型的秩.（3）可逆（非退化、满秩）线形替换有矩阵的合同.定义x ,x，x和y , y y是两组文字，系数在数域F中的一组关系式12 n 12 nx = c y + c y + + c y11111221n n）Vx = c y + c y + + c yn n1 1n 2 2nn n称为由x ,x，X到y ,y y的一个线性替换.12 n 12 n定理1 n元二次型q（x ,x，x ）= xT AX经（可逆）线性替换（*） X=CY变为二次型YTBY其中 12nB=CTAC.定义设A,BWM （F）,若存在一可逆矩阵PGM （F）,使得B= PTAP，则称A与B合同.nn合同关系的性质： 自反性：V AGM （F）,A 与 A 合同.（A= ItAI ）.n 对称性：若A与B合同，则B与A亦合同事实上： A与B合同，即存在可逆矩阵P使B= PtAP.A=( Pt )-1 BP-1 = ( P-1)tBP-1Pi可逆.故也.传递性：若A与B合同,B与C合同，则A与C合同事实上：存在可逆矩阵P、Q使B= PtAP , C = QtBQ C 二 QtPtAPQ 二（PQ）T A（PQ）而 PQ 可逆.故也.合同矩阵的简单性质：若A与B合同,A为对称矩阵，则B亦是.事实上：存在可逆矩阵P使B= PtAP ,Bt 二（PtAP）t 二 PtAtPtt = PtAP = B，故也.合同矩阵有相同的秩由P Th5.2.8.显（反之不真）.195（4）二次型的等价：定义 设q（x ,x，x ）与q （x ,x，x ）是数域F上两个n元二次型，若可以通过可逆现线性替换将1 2 n 1 2 n 前者化为后者（此时可互化）则称这两个二次型等价.定理2：数域F两个n元二次型等价o它们的矩阵合同.2二次型的标准形引言 对二次型，当形式简单时便于讨论，比如解析几何中有？二次曲线，当仅有平方项时，其几何图形便一 目了然；对于二次型成为二次型形式最简单那的一种是只含有平方项的二次型称之为：定义只含有平方项的二次型称为二次型的标准形.问题：任给F上一个二次型能否象解析几何中讨 论有心（中心与原点重合、或否）二次曲线那样，通过（坐标旋转（加平移 ）可逆线形替代：若能，怎样 做（即怎样找可逆线形替换）补例 化二次型 f (x ,x ,x ) = x2 + 2xx + 2xx + 2x2 + 8x x + 5x2为标准形.1 2 3 1 1 2 1 3 2 2 3 3f (x , x , x ) = x2 + 2x (x + x ) + (x + x )2 - (x + x )2 + 2x2 + 8x x + 5x21 2 3 1 1 2 3 2 3 2 3 2 1 2 3=(x + x + x )2 + x2 + 6x x + 4x21 2 3 2 2 3 3=(x + x + x )2 + x2 + 2x (3x ) + (3x )2 - (3x )2 + 4x2123223333=(x + x + x )2 + (x + 3x )2 - 5x2123233作线性替换,即令：y = x + x + x1123 y = x + 3xn223x = y - y + 2 y1 123 0,则称q(x，x，n12c ) 0,则称q(x，x，n121Cn )-0,则称 q (1，x 2,1n )-0,则称 q (1，x 2,若q（C1Cn ）有正、有负，则称q（x1，x2,x ）为正定二次型；nx ）为负定二次型；nx ）为半正定二次型 nx ）为半负定二次型nx ）为不定二次型.n2正定二次型的判定定理9.3.1实数域上n元二次型q（x , x ,x）是正定的O它的秩与符号差都等于n （惯性12n指标为 n） .有时须从二次型的矩阵直接判定，不希望通过典范形式，为此下讨之.定义设A冷Mn（R ），位于A的前k行、前k列的子式aiia1k叫做A的k阶顺序主子式.二次型qW X 2,a kkx )的 k 阶主nx）= XAX的矩阵的k阶主子式叫做二次型q（x，x，n12子式.x）= XAX是正定的o它的一切主子式全大于0. n9.4主轴问题一 教学思考本节内容是在欧氏空间中将有心二次曲线、二次曲面,用正交变换化为标准形问题的推广将实 二次型用正交变换化为标准形.思想方法仍是将实二次型问题转化为实对称矩阵处理.由第八章第4 节的 结论，则此问题解决的具体完满.须注意的是：此将实二次型化为标准形是用正交变换因而方法过程与 前不同，从而结论中标准形的平方项系数为二次型的矩阵的全部特征根顺便得到了判定实二次型是否 正定的又一方法（用特征根）.二 内容、要求1内容：主轴问题；实二次型用正交变换化标准形 2要求：掌握上述概念与方法.三 教学过程：1主轴问题：实数域上一个n元二次型通过坐标的正交变换（正交线性替换）化为标准形的问题 2问题的提出及含义的由来我们知道（9.1）任何一个二次型都可经过线性替换化为标准形.用一般的线性替换把二次型化为标 准形,可能会改变向量的度量性质（见霍元极P379），在许多问题中都要求简化实二次型时,所作的线性替 换不改变向量的度量性质，如在解析几何中一样，用坐标变换（旋转、平移）化二次曲面（线）为标准形， 其特点是用正交变换；因而，一般地讨论把一个n元实二次型通过正交线性替换化为标准形的问题正是 解析几何中的问题的推广,叫做主轴问题（因由此可知有关曲面、线的性态） .3问题的变通 因为二次型通过可逆线性替换化为标准形问题等价于对称矩阵与对角形矩阵合同问题,所以主轴问 题：n元实二次型q （x , x ） = X AX N能否通过正交线性替换化为标准形的问题1nO A g M （R）,A = A是否存在正交矩阵U，使得UAU为对角形.n4问题的解决（由定理 8.4.6）定理9.4.1设q（x , , x ） = XAX是一个n元实二次型,则可通过正交线性替换X = UY化为1n九y 2 +九y 2 .其中u为正交矩阵,九,九为A的全部特征根.1 1n n1 n推论：设q（x , x ） = X AX是一个 n元实二次型，则1n1）二次型的秩等于其矩阵A的不为0的特征根的个数；而符号差为A的正特征根的个数与负特 征根的个数的差.2）q（x ,x ） = XAX是正定的充要条件是A的所有正特征根为正实数.1n