应变花计算公式

1. 概述（1）平面应变状态：即受力构件表面一点处的应变情况。（2）测试原理： 一般最大应变往往发生在受力构件的表面。通常用应变仪测出受力构件表面一点处三个 方向的线应变值，然后确定该点处的最大线应变和最小应变及其方程。2. 公式推导：（1）选定坐标系为xoy,如图示（2）设0点处，耳&如 为已知。环勺 规定伸长为正，切应变以xoy直角增大 为正。（3）求任意方向，匕方向（匕规定逆时针方向为正）的线应变耳 和切应变-（即 f 直角的改变量）。（4）叠加法：求匚方向的线应变和切应变亠 由于宀 而引起ds的长度改变点仏I , J方向（即匚方向）的线应变 求S 的切应变匚即匕方向的直角改砂坐标轴偏转的角度以代替式（c）中的匕，求得坐标轴偏转角度:3. 结论（1）已知 劭可求得任意方向匚的-G1(2)已知W心，求得化乓(3) 主应变和主应变方向比较上述公式，可见故:4. 应变圆5. 应变的实际测量 用解析法或图解法求一点处的主应变时，首先必须已知耳川严G，然而用应变仪直 接测量时可以测试，但不易测量。所以，一般是先测出任选三个方向sss 的线应变沁 劭。 然后利用一般公式，将.耳2沁 代入得出：联解三式，求出耳川尸于是再求出主应变的方向与数值 由式求出轴 +汕，当时盂与二、四相限的角度相对应。6. 直角应变花（45应变花）测量为了简化计算，三个应变选定三个特殊方向测得:%八畑，代入耳一般公式求得：故讨论:若%=勺-%宀张 与二、四相限的旳角度相对应。见P257、7.21题6. 等角应变花测量一般公式:测定值：忌0丐加 代入式（a）得：主应变方向:故:于是由主应变公式：，電穿过二，四相限见P258, 7.22题Example 1. 用直角应变花测得一点的三个方向的线应变Find :主应变及其方向Solution：故张过二、四相限。Example2. 若已测得等角应变花三个方向的线?洎也“山也1 - %戏止二7宀试求主应变及其方向Solution:即:应力测量/(measurement of stress)测量物体由于外因或内在缺陷而变形时，在它内部任一单位截面积上内外两方的相互 作用力。应力是不能直接测量的，只能是先测出应变，然后按应力与应变的关系式计算出应 力。若主应力方向已知，只要沿着主应力方向测出主应变，就可算出主应力。各种受力情况 下的应变值的测量方法见表 1。轴向拉伸（或压缩）时，沿轴向力方向粘贴应变片（表1之14），测出应变，按单向虎 克定律算出测点的拉（压）应力g=E。式中为应变，E为弹性模量。弯曲时在受弯件的上下表面上粘贴应变片（见表1之56），测出应变e，可计算弯曲应 力。扭转时沿与圆轴母线成45。？角的方向贴片（表1之79），测出主应变em,再代入虎 克定律公式算出主应力g o?，即得最大剪应力r ?：45 ？max式中卩为泊松比。拉（压）、弯曲、扭转，其中两种或三种力的联合作用下，不同测量要求的应变值测量方 法分别见表 1 的 1014。主应力方向未知时的应力测量如图1所示。在该测点沿与某坐标轴X夹角分别为a/、 a2?和a3?的3个方向，各粘贴一枚应变片，分别测出3个方向的应变 123al 2?和 3?根据下式23可解出 ?， ?和 ?再代入下式求出主应变_? 2?和主方向与X轴夹角a：x y z12最后，再根据广义虎克定律公式求出主应力？、g2?和 T ?。12 max实际上为了简化计算，3枚应变片与z轴的夹角曹?、a2?和a3?总是选取特殊角，如0。?、 45。?、60。?、90。?和120。?并将3枚应变片的敏感栅制在同一基底上，形成应变花。常用的应 变花有直角应变花（00 45。一90。）和等角应变花（O。？一 60。？一 120o?）。不同形式的应变 花的计算公式见表2。用应变片测量的应变值一般是很小的，因而电阻值的变化同样是很小的。为此，有必 要把应变计连接到一定的测量系统中，以精确测定应变片电阻值的变化。用应变片测量应变 的测量系统框图见图 2。电阻应变测量法是实验应力分析中应用最广的一种方法。电阻应变测量方法测出的是构件上某一点处的应 变，还需通过换算才能得到应力。根据不同的应力状态确定应变片贴片方位，有不同的换算公式。8.7.1 ?单向应力状态在杆件受到拉伸（或压缩）情况下，如图8-31所示。此时只有一个主应力si,它的方向是平行于外加载荷F 的方向，所以这个主应力si的方向是已知的，该方向的应变为el。而垂直于主应力si方向上的应力虽然 为零，但该方向的应变e2#0，而是e2=-Mel。由此可知:在单向应力状态下，只要知道应力si的方向，虽然S1的大小是未知的，可在沿主应力S1的方向上贴一个应变片，通过测得el,就可利用sl=Eel公式 求得si。8.7.2?主应力方向巳知平面应力状态平面应力是指构件内的一个点在两个互相垂直的方向上受到拉伸(或压缩)作用而产生的应力状态，如图 8-31所示。图中单元体受已知方向的平面应力si和s2作用，在X和Y方向的应变分别为si作用：X方向的应变el为si/EY方向的应变e2为-si/Es2作用：Y方向的应变e2为e2/EX方向的应变el为-e2/E由此可得X方向的应变和Y方向的应变分别为1= (a -井耳)? ?(8-72)? ?(8-73)1 E E E 匚6.61上式变换形式后可得巧=7(巧-皿2)1-01 一只 由此可知：在平面应力状态下，若已知主应力si或s2的方向(si与s2相互垂直)，则只要沿si和s2方 向各贴一片应变片，测得 l和 2后代入式(8-73)，即可求得si和s2值。8.7.3 ?主应力方向未知平面应力状态当平面应力的主应力si和/ 2的大小及方向都未知时，需对一个测点贴三个不同方向的应变片，测出三个 方向的应变，才能确定主应力si和s2及主方向角q三个未知量。图8-33表示边长为x和y、对角线长为l的矩形单元体。设在平面应力状态下，与主应力方向成q角的任一方向的应变为，即图中对角线长度l的相对变化量。由于主应力sx、sy的作用，该单元体在X、Y方向的伸长量为厶X、 y，如图8-33(a)、(b)所示，该方向 的应变为ex=A x/x、ey=A y/y；在切应力r xy作用下，使原直角ZXOY减小gxy，如图8-33(c)所示，即 切应变gxy=A x/y。这三个变形引起单元体对角线长度l的变化分别为 xcosq、 ysinq、ygxy cosq，其 应变分别为excos2q、eysin2q、gxysinqcosq。当ex、ey、gxy同时发生时，则对角线的总应变为上述三 者之和，可表示为J.；!.= cos + S sinsin cos3? ? ? (8-74)利用半角公式变换后，上式可写成cos 23 +sin 2&? ? ? ? (8-75)由式(8-75)可知ed与ex、ey、gxy之间的关系。因ex、ey、gxy未知，实际测量时可任选与X轴成qi、 q2、q3三个角的方向各贴一个应变片，测得ei、e2、e3连同三个角度代入式(8-75)中可得? ?(8-76)由式(8-76)联立方程就可解出ex、ey、gxy。再由ex、ey、gxy可求出主应变el、e2和主方向与X轴的夹 角q,即3 = arctg? ?将上式中主应变el和e2代入式(8-73)中，即可求得主应力。在实际测量中，为简化计算，三个应变片与X轴的夹角ql、q2、q3总是选取特殊角，如0、45和90或0、60和120角，并将三个应变片的丝栅制在同一基底上，形成所谓应变花。图8-34所示是丝式应变花。设应变花与X轴夹角为q1=0，q2=45、q3=90，将此ql、q2、q3值分别代 人式(8-76)得勺二(耳+亏)+(片一勺)=召由式(8-78)可得? ? ?(8-78)? ?(8-79)将式(8-79)代入式(8-77)可得主应变el、e2和主应变方向角q的计算式为? ?(8-80)? ?(8_8l)将式(8-80)代入式(8-81)得应力计算公式为? ? (8-82)对ql=0、q2=60、q3=l20。的应变花，主应变el、e2和主应变方向角。及主应力sl和s2计算公式为?(8-83)?(8-84)仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur fur den pers?nlichen fur Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l etude et la recherche uniquement a des fins personnelles; pas a des fins commerciales.TonbKO gn只 nwgen, KOTopbie ucnonb3yQTC只 gn只 o6yqeHU只，uccnegoBaHU叼 u He gonxHN ucnonb3OBaTbc只 b KOMMepqecKux qen只x.?仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur fur den pers?nlichen fur Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l Qtude et la recherche uniquement a des fins personnelles; pas a des fins commerciales.TOJibKo gnjirogeiioTopurenonb3yiHDTocCsiyHeHiiC5ic, negoBiaHieufio ucnoHb3OBaTbcm b KOMMepecKux n,eiox ？