第二章__光的衍射

第二章 光的衍射1. 单色平面光照射到一小圆孔上，将其波面分成半波带。求第 k 个带的半径。若极点到观察点的距离r0为lm,单色光波长为450nm，求此时第一半波带的半径。已知：ro = 1m，“ 450“m求：R = ?hl50 x 10-9 x 1解：R斥1根据 Rhk fkZr0 ，得：=6.71x 10-5 m = 00067cm2. 平行单色光从左向右垂直射到一个有圆形小孔的屏上，设此孔可以像照相机光 圈那样改变大小。问：（1）小孔半径应满足什么条件时，才能使得此小孔右侧轴 线上距小孔中心4m的P点的光强分别得到极大值和极小值；（2） P点最亮时， 小孔直径应为多大？设此光的波长为 500nm。已知：九=500nm求：（i）R“ = ?时，在r =4m处的p点I最大或最小？hk0p（2）I最大时Rhk = ?phk解：（1）根据R =可知：当k为奇数时，P点光强为最大；hk0当k为偶数时，P点光强为最小。（2）P 点最亮时，k=1,所以 Rh1 =旳=J4x500x 10一9 =匚41 x 10-3m小孔直径为 d = 2R = 2.82 x 10-3m = 0.282cmh1h13. 波长为500nm的单色点光源离光阑1m，光阑上有一个内外半径分别为0.5mm 和1mm的透光环，接收点P离光阑1m,求P点的光强I与没有光阑时的光强I。 之比。已知：九=500nm ,r =1m， R=1m ，0R = 0.5 mm ， R = 1mm h1h20解：根据k = Rh（- + -1）可以分别求出R = 05嘶和R = mm时的九 r Rhlh 20圆孔所包含的波带数：ki=R G+R）=卅 *（i+1）=i0k 2=字 G+1）=加 *（i+1）=40因此通光圆环通过的波带数为 3。由于相邻两波带在 P 点的干涉为相消干涉，所以，通过圆环在 P 点产生的 振幅实际就等于一个波带在 P 点产生的振幅，并且近似等于第一个波带的振幅既 AP =巴，.：I = A2 = a 2 PP P la2没有光阑时，P点的振幅为A = ai , 10 = AP =-4P0 20P04I所以 尹=404 波长为 632.8nm 的平行光射向直径为 2.76mm 的圆孔，与孔相距 lm 处放一屏试问：（1）屏上正对圆孔中心的P点是亮点还是暗点？ （2）要使P点变成与（1）相反的情况，至少要把屏幕向前或向后移动多少？ 已知：X = 6328nm， r = 1m， d = 2R, = 2-76mm，平行光入射0h求：（ 1） P 点是亮还是暗？（2）要使P点变成与（1）相反的情况，r0变为多少？解：（1）根据R =莎，得：k =hk0所以 P 点是亮点。(2.76 1O )R 2 1(亍 X 10 -3) 2h = 3九 r632.8 x 10 -9 x 10（2）若使P点变为暗点，则k应为偶数，令k = 2k , k = 1,2,R 2 1R2则有 2k,=r，所以 r0= 2k0R 2(38 x 10 -3)1 “h = 1.05皿22 X 632.8 X10-901即此时屏幕需向后或向右移动 0.5m。, R2(.38 X10-3)k = 2 时 r = h = 0.75m时， 0222 x 2 x 632.8 x 10-9即此时屏幕需向前或向左移动 0.25m。k = 3,4时，也可以，但至少要向前移0.25m或向后移0.5m。5波带片由五个半波带组成。第一半波带为半径的不透明圆盘，第二半波带是半径 r1 至 r2 的透明圆环，第三半波带是半径 r2 至 r3 的不透明圆环，第四半1223波带是半径 r3 至 r4 的透明圆环，第五半波带是半径 r4 至无穷大的不透明区域。344已知r :r :r :r = 1: ：2 : J3 : k红，即血%就吧红 所以得：字Ld鶴，即17,6k可见，仅当k = 1时，上式成立，即一级光谱和二级光谱不重叠,二级和三级以后各光谱重叠。设第三级光谱中的紫线与第二级中九谱线开始重叠，23则有 sin = sin ，即亍x= 九则有23紫 ，即 d d 紫所以33九=2 九紫=2 X 400 = 6T即第三级在第二级中X = 600nm处开始重叠，重叠范围:九=760 一 600 = 160nm14. 用波长为 589nm 的单色光照射一衍射光栅，其光谱中的中央最大值和第二十级主最大之间的衍射角为15。10，求该光栅1cm内的缝数是多少？ 已知：X = 589nm， 9 = 1510， k = 20求：解：根据ds i9n= kX，得丄=輕=血 1510 222dkX20 x 589 x 10 一 715. 用每毫米内有 400 条刻痕的平面透射光栅观察波长为 589nm 的钠光谱。试问（1）光垂直入射时，最多能观察到几级光谱？ （2）光以30。角入射时，最多能观察到几级光谱？1已知：九=589nm , d = mm400求：(1)光垂直入射时，最多能观察到几级光谱？(2)光以30。角入射时，最多能观察到几级光谱?解：(1)根据 d si 01= kd1得 k = 4.24得 max 九400 X 589 X 10-6即光垂直入射时，最多能观察到 4 级光谱。kmax=（sin 90。土 sin 30。）=九1400 x 589 x 10-6(2)光以30。角入射时，根据d(sin0 土 sina)= k九即光以 3 0。角入射时，在中央的下方可以看见 6 级条纹，在中央的上方可以看见 2 级条纹，也就是说，最多可以看见 8级条纹。16. 白光垂直照射到一个每毫米 250 条刻痕的平面透射光栅上，试问在衍射角为 30。处会出现哪些波长的光?其颜色如何?1已知：d = 250 mm， 0 = 30。求：X = ?解：根据d si &= kXd106 11得 X = sin 30 =x = 2000 -k250 k 2kk = 3所以能观察到的谱线是：k = 4k = 5时，X = 666.7nm 红3时， X = 500nm 绿4时， X = 400nm 紫517用波长为624nm的单色光照射一光栅，已知该光栅的缝宽b为0.012mm，不 透明部分的宽度a为0.029mm，缝数N为103条。求：（1）单缝衍射图样的中央 角宽度；（2）单缝衍射图样中央宽度内能看到多少级光谱？（3）谱线的半角宽度 为多少？； 已知： X = 624nm ， b = 0.012mm ， a = 0.029mm ， N =103条求：（1）A90 = ? （2）单缝衍射图样中央宽度内能看到几级光谱？（3）谱线半宽度。解:（1）单缝衍射极小值满足：bsine= k所以，单缝衍射的中央亮纹角宽度为：A00 =0,-0, = 2q而 sine =-= 624X106 = 0.052 ，所以 0 2.98。= 0.052rad 而1 b0.012所以1A0 = 0 0 = 20 = 2 x 0.0 5 = 0.1 0 r ad0 111（2）因为 d = a + b = 0.012 + 0.029 = 0.041所以 d 3.4，缺级发生在 k = dkf = 34k，k = 1,2,b 0 .012b第一个缺级发生在k=4附近。因此，单缝衍射图样中央宽度内能看到k = 0,1,2,3级共7条谱线。3）谱线半宽度：A0Nd cos0Nd624 x 10-6103 x 0.041 1.52 x 10-5 rad22.一平行单色光投射于衍射光栅上，其方向与光栅的法线成00角，在和法线成11。和53。角的方向上出现第一级谱线，且位于法线的两侧。（1）试求入射角00 ；（ 2）试问为什么在法线两侧能观测到一级谱线，而在法线同侧则能观察到二级谱 线？ 已知：在和法线成11。和53。角的方向上出现第一级谱线，且位于法线的两侧。 求：（1）试求入射角00；（ 2）试问为什么在法线两侧能观测到一级谱线，而在法线同侧则能观察到二级谱 线？ 解：（1）如图（a）所示， 若入射方向与衍射方向处于 法线的同侧，根据光程差的计算，光栅方程为d sin0 + d sin0 = X0如图（b）所示，若入射方向与衍 射方向处于法线的两侧，根据光程差的计算，光栅方程为d sin 0 d sin 0 = X0上面两式相减得：2 sin00 = sin0 - sin0所以sin0 = 1（sin0- sin0）=（sin 53 - sin11）= 03 0 3 90 2 20 = 17702)当位于法线两侧时，满足d sin 0 = d sin 0 +jX s i n = s i n + j0 J dXX一级谱线：sin 53 = sin 17.7 +，所以一=sin 53 - sin 17.7dd二级谱线：sinG = sin 6 + 2 = sin 6 + 2 （sin 0f - sin 0 ）= 2 sin 53 一 sin 17 7 = 1 2910 d 0 0 故当位于法线两侧时，第二级谱线无法观察到。 当位于法线同侧时，满足 d sin6 = j - d sin60sin6 = 2 - sin6 = 2（sin 53 一 sin17 7） sin17 7d 0 取 j = 2 时，= 2sin53 -3sin177=1597 一 0.9117 = 0.68551故当位于法线同侧时，第二级谱线可以观察到。23波长为 = 600nm 的单色光正入射到一透明平面光栅上，有两个相邻的主最 大分别出现在sin61 = 02和sin02 = 03处，第四级缺级。（1）试求光栅常量；（2） 试求光栅的缝可能的最小宽度；（3）在确定了光栅常量和缝宽之后，试列出在光 屏上实际呈现的全部级数。已知： = 600nm ， sin61 = 02 ，sin62 = 03 ，第四级缺级求：（1） d = ? （2） bmin= ? （3） kminmax解：（1）根据 d s i 01=k，有 sin6 = k1dsin6 = （k +1）2d所以得600 x 10-6 =6 x 10-3 mmsin6 一 sin601212）根据 k = k = 4，k = l,2,bb = k所以 b = = 15 x 10-3 mm4min 43）根据 ds i6n= k ，10- d6 x 10 -3k =max 九600 x 10-6所以，在光屏上实际呈现的全部级数为k 0,1,2, 土9。