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竞赛考题分类汇编（一）数与式1.设r4，a，b，c，则下列各式一定成立的是。A、abc B、bcaC、cabD、cba2.设a,b是不相等的任意正数,又,则有x,y这两个数一定( )A.都不大于2B.都小于2C.至少有一个大于2D.至少有一个小于23.设的平均数为M，的平均数为N，N，的平均数为P，若，则M与P的大小关系是（ ）。（A）MP；（B）MP；（C）MP；（D）不确定。4.不超过100的自然数中，将凡是3或5的倍数的数相加，其和为。5.若x1，x2，x3，x4，x5为互不相等的正奇数，满足(2005x1)(2005x2)(2005x3)(2005x4)(2005x5)242，则的未位数字是。6. a、b、c为正整数，且a2b3c4，求c的最小值。7. 已知：，那么_。8. 若，则=_9.已知a，b，c为整数，且ab=2006，ca=2005若ab，则abc的最大值为 10.已知0aba，选D解法2：a，bc解法3：r41cabc，选D3.M，N，P，MP，即MP0，即MP。4.不超过100的自然数中，将凡是3或5的倍数的数相加，其和为。解：(3132333)(5152520)(151152156)1683105031524185.解：因为x1，x2，x3，x4，x5为互不相等的正奇数，所以(2005x1)、(2005x2)、(2005x3)、(2005x4)、(2005x5)为互不相等的偶数而将242分解为5个互不相等的偶数之积，只有唯一的形式：2422(-2)46(-6)所以(2005x1)、(2005x2)、(2005x3)、(2005x4)、(2005x5)分别等于2、(-2)、4、6、(-6)所以(2005x1)2(2005x2)2(2005x3) 2(2005x4) 2(2005x5) 222(-2) 24262(-6) 296展开得：6.设a、b、c为正整数，且a2b3c4，求c的最小值。解：显然c1.由题设得：(c2-a)(c2+a)=b3 若取由大到小考察b，使为完全平方数，易知当b8时，c236，则c=6，从而a=28。下面说明c没有比6更小的正整数解，列表如下：cc4x3(x3c4)c4-x32161,817,83811,8,27,6480,73,54,1742561,8,27,64,125,216255,248,229,192,131,4056251,8,27,64,125,216,343,512624,617,598,561,500,409,282,113显然，表中c4-x3的值均不是完全平方数。故c的最小值为67.答：，即。10.解：因为01当a1时， =10分又当时，由，得 ， 将两边平方，结合得化简得 ， 故 ，解得，或 所以，a的取值范围为a1且，15分解法二：因为，所以，所以 又，所以，为一元二次方程 的两个不相等实数根，故，所以a1当a1时， =10分 另外，当时，由式有 ，即 或 ，解得，或当时，同理可得或所以，a的取值范围为a1且，15分18.225；设()，且，其中，与互质。于是的最小公倍数为。依题意有，即又，据式(2)可得根据式(1)，只能取，可求得故两个数中较大的数是。22解：，即，。23解：左边，即，而为整数，且不相等，只可能取值或。不妨设，则，或，（2）无整数解，由（1）得，。9
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