一阶线性方程与常数变易法习题及解答

2.2 一阶线性方程与常数变易法习题及解答求下列方程的解1=解： y=e (e)=e-e()+c=c e- ()是原方程的解。2+3x=e解：原方程可化为：=-3x+e所以：x=e (e e) =e (e+c) =c e+e 是原方程的解。3=-s+解：s=e(e )=e()= e()= 是原方程的解。4 ， n为常数.解：原方程可化为： 是原方程的解.5+=解：原方程可化为：=- ()= 是原方程的解.6 解： =+令 则 =u因此：= （*） 将带入 （*）中 得：是原方程的解.13这是n=-1时的伯努利方程。两边同除以，令 P(x)= Q(x)=-1由一阶线性方程的求解公式 =14 两边同乘以 令 这是n=2时的伯努利方程。两边同除以 令 P（x）= Q(x)=由一阶线性方程的求解公式 = =15 这是n=3时的伯努利方程。两边同除以 令 = P(y)=-2y Q(y)= 由一阶线性方程的求解公式 =16 y=+P(x)=1 Q(x)= 由一阶线性方程的求解公式 = =c=1y=17 设函数(t)于t上连续，(0)存在且满足关系式(t+s)=(t)(s)试求此函数。令t=s=0 得(0+0)=(0)(0) 即(0)= 故或（1） 当时 即 ,) (2) 当时 = = =于是 变量分离得 积分 由于，即t=0时 1=c=1故 20.试证： （1）一阶非齐线性方程（2 .28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2.3）之解； （2）若是（2.3）的非零解，而是（2.28）的解，则方程（2.28）的通解可表为，其中为任意常数.（3）方程（2.3）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是方程（2.3）的解.证明： （2.28） （2.3）（1） 设，是（2.28）的任意两个解则 （1） （2）（1）-（2）得 即是满足方程（2.3）所以，命题成立。（2） 由题意得： （3） （4）1）先证是（2.28）的一个解。于是 得故是（2.28）的一个解。2）现证方程（4）的任一解都可写成的形式设是(2.28)的一个解则 （4）于是 （4）-（4）得从而 即 所以，命题成立。（3） 设，是（2.3）的任意两个解则 （5） （6）于是（5）得 即 其中为任意常数也就是满足方程（2.3）（5）（6）得 即 也就是满足方程（2.3）所以命题成立。21.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解。（5） 曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方；（6） 曲线上任一点的切线的纵截距是切点横坐标和纵坐标的等差中项；解：设为曲线上的任一点，则过点曲线的切线方程为从而此切线与两坐标轴的交点坐标为即 横截距为 ， 纵截距为 。由题意得：（5） 方程变形为 于是 所以，方程的通解为。（6）方程变形为 于是 所以，方程的通解为。22求解下列方程。（1）解： = = = （2） P(x)= Q(x)=由一阶线性方程的求解公式 = = =