《非线性系统分析》PPT课件.ppt

第 7章 非线性系统的分析 7.1 非线性系统基本概念 7.2 二阶线性和非线性系统的相平面分析 7.3 线性系统的相轨迹 7.4 非线性系统的相平面分析 7.5 描述函数法 7.6 分析非线性系统的谐波平衡分析法 7.7 非线性系统的计算机仿真 小 结 Nonlinear Science 研究什么 ？ 客观世界是非线性的、非平衡的复杂世界 Prigogine： 自然用一千种声音说话，我们刚开始去听 。 自古希腊：人们笃信和向往世界的 稳定性、规则性、和谐性、有序性、因果性、 本质简单性、周期性、对称性、 现在：人们越来越认识到：我们所处的大千世界是以 不稳定动力系统 为特征的，充满了 ： 非平衡、非线性、 非稳定、非均匀、非结构、非确定、非可积、非可逆、非晶 态、非规则、非连续、非光滑、非周期、非对称、非标准分 析、非 von Neumann计算机、 人类理智夸入 “ 想入非非 ” 时代 非线性科学的四个发展阶段 40年代：组织理论： 控制论，信息论，一般系统论 60年代：自组织理论 （系统如何从无序 有序）： Catastrophic Theory （ Thom, Arnold)，超循环 论（ Eigen）， Dissipative Structure（ Prigogine）， Synergetics （ Haken） 70年代：非线性科学 （系统如何从有序 混沌和无序 更高层次的 有序） Chaotic Dynamics（ Feigenbaum， Ford， Kadanoff）， Integrable System Soliton Theory（ Scott， 扎哈罗夫）， Fractals （ Mandelbrot） 90年代：复杂性科学 （复杂性的定义及量度，复 杂系统的行为及模型） Neural Network （ Hoppfield）， Cellular Automaton （ Wolfram），人工生命 什么是非线性系统？ 平衡与非平衡 ： 物理概念 线性与非线性： 数学概念 线性系统 ： 整体的行为或性质是部分之和 1 复杂性不因叠加产生 2 只要知道初始条件，即可了解过去，预测未来 非线性系统： 叠加原理失效 整体的行为和性质 各部分的行为与性质（本质区别） 系统行为对初始条件极端敏感依赖 Chaos 长期行为不可预测，决定论性混沌、内在随机性 非线性系统 ：只要系统中包含一个或一个以上 具有非线性静特性的元件 ， 即称为非线性系统 (P267)。 线性控制系统： 由线性元件组成 ， 输入输出具有叠加性和均匀性 . 非线性控制系统： 系统中有非线性元件 ， 输入输出不具有叠加性和均匀性 . 非本质非线性 : 能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性 . 本质非线性： 用小偏差线性化方法不能解决的非线性 . 例： 对于一由非线性微分方程 x = - x( 1 x ) 描述的非线性系统 ， 显然有两个平衡点 ， 即 x1=0和 x2=1。 将上式改写为 非线性系统的稳定性不仅取决于控制系统的固 有结构和参数，而且与系统的初始条件以及外 加输入有关系。 dt xx dx )1( 设 t 0时 ， 系统的初态为 x0。 积分上式可得 t t exx extx 00 0 1 )( x(t) t 1 ln 0 0 x x 1 0 图 1 一阶非线性系统 系统的稳定性除与结构参数有关外 ， 还与起始偏 差的大小有关 。 统的响应形式与输入信号的大小和初始条件有关 。 在没有外界周期变化信号输入时 ， 非线性系统完全 可能产生具有固定周期和幅值的稳定振荡过程 。 (自 激振荡 P272) 非线性系统的主要特征： 1. 研究非线性系统的意义 1） 实际的控制系统 ， 存在着大量的非线性因素 。 这些非 线性因素的存在 ， 使得我们用线性系统理论进行分析时 所得出的结论 ， 与实际系统的控制效果不一致 。 线性系 统理论无法解释非线性因素所产生的影响 . 2） 非线性特性的存在 ， 并不总是对系统产生不良影响 . 2. 研究非线性系统的方法 1）相平面法 是用图解的方法分析一阶，二阶非线 性系统的方法。通过绘制控制系统相轨迹，达到分 析非线性系统特性的方法。 2） 描述函数法 是近似分析法 ,受线性系统频率法 启发，而发展出的一种分析非线性系统的方法。它 是一种谐波线性化的分析方法，是频率法在非线性 系统分析中的推广。 3）计算机求解法 是利用计算机运算能力和高速度 对非线性微分方程的一种数值解法。 非线性系统与线性系统的区别，相平面的基 本概念，相轨迹，极限环，描述函数的基本思想 ，描述函数的定义和求取，描述函数法分析非线 性系统的自持振荡，非线性系统的计算机仿真。 知 识 要 点 静态非线性特性中 ， 死区特性 、 饱和特性 、 继电特性 、 间隙特性是最常见的 ， 也最简单 。 一 、 数学描述 一个单输入单输出静态非线性特性的数学 描述为： )17( )( xfy 7.1 非线性系统基本概念 二 非线性特性分类： (P269) 1、死区特性 常常是由放大器、传感器、执行机构的不灵敏区造成 的。实际的死区特性一般如图 7-1中的点划线所示， 为了分析的方便，我们将它用图 7-1中的三段直线 （实线）来近似，并称之为理想死区特性。理想型死 区特性的的数学描述为： )( |0 )( xxk x xxk y 图 7 1 死区特性 (7-2) 死区特性可能给控制系统带来不利影响 ， 它会使 控制的灵敏度下降 ， 稳态误差加大；死区特性也可能 给控制系统带来有利的影响 ， 有些系统人为引入死区 以提高抗干扰能力 。 2、饱和特性 可以说 ， 任何实际装置都存在饱和特性 ， 因 为它们的输出不可能无限增大 ， 磁饱和就是一种 饱和特性 。 实际的饱和特性一般如图 7-2中的点划 线所示 ， 为了分析的方便 ， 我们将它用图 7-2 中 的三段直线来近似 ， 并称之为理想饱和特性 。 理 想饱和特性的数学描述为： gxkg gxkx gxkg y | (7-2) 图 7-2 饱和特性 继电特性顾名思义就是继电器所具有的特性 , 继 电特性有双位特性 如图 7-3（ a） 和 （ b） ， 三 位特性 如图 7-3（ c） 等 ， 图 7-3（ b） （ c） 的 继电特性还带有滞环 。 当然 ， 不限于继电器 ， 其 它装置如果具有类似的非线性特性 ， 我们也称之 为继电特性 ， 比如：电磁阀 、 斯密特触发器等 。 分析继电特性有十分重要的意义，因为采用继 电器、电磁阀等元件的的控制系统比比皆是，例 如大多数家用电冰箱、空调就是继电器控制系统。 3、继电特性 图 7-3 几种典型的继电特性 图 7-3（ a） 所示继电特性的数学描述为： )37( 00 xM xMy 图（ c） 所示继电特性的数学描述为： )47( 0 :0 )47( 0 :0 2 21 1 1 12 2 . . b hxM hxh hxM y x a hxM hxh hxM y x 当 当 图（ b） 所示继电特性的数学描述 由读者自行导出。 传动机构的间隙也是控制系统中常见的非线性 特性 ， 齿轮传动是典型的间隙特性 ， 图 7-4（ a） 表示齿轮传动原理 ， 图 7-4（ b） 表示主动轮位移 与从动轮位移的关系 。 设主动轮与从动轮间的最 大间隙为 2b， 那么当主动轮改变方向时 ， 主动 轮最大要运动 2b从动轮才能跟随运动 。 间隙特 性类似于线性系统的滞后环节 ， 但不完全等价 ， 它对控制系统的动态 、 稳态特性都不利 。 设齿轮 传动速比为 ， 则图 7-4间隙特性的数学描述为： 4、间隙特性 图 7-4 间隙特性 返回 bkyxbxk bkyxbc bkyxbxk y /)( / /)( 当 当 当 式中，为常数，它等于主动轮改变方向时的值。 相平面法是庞加莱 （ Poincare） 1885年首先 提出的 ， 本来它是一种求解二元一阶非线性微分 方程组的图解法 ,两个变量构成的直角坐标系称为 相平面 ， 方程组的解在相平面上的图象称为 相轨 迹 。 这里是将相平面法用于分析一阶尤其是二阶 非线性控制系统，并形成了一种特定的相平面法， 它对弄清非线性系统的稳定性、稳定域等基本属 性 ,解释极限环等特殊现象，起到了直观形象的作 用。 7.2 二阶系统的相平面分析法 因为绘制两维以上的相轨迹是十分困难的，所 以相平面法对于二阶以上的系统几乎无能为力。 但是，如果我们将相平面概念推广到到抽象空间， 就得到 n维 状态空间 以后再专门介绍。下 面讨论相平面和相轨迹的基本概念。 考察二阶非线性时不变微分方程 : )57( ),( . xxfx 7.2.1 相平面的基本概念 为了引入相平面法，将二阶微分方程改写成 二元一阶微分方程组 : )67( ),( . . . xxf dt xd x dt dx 微分方程组 (7-6)有两个变量 : x 可以 看作广义位移 ， 可以看作广义速度 。 一般，直接对微分方程（ 7-5）求解，可 以得到该系统的时间解 x(t),还可以作出 x(t) 与 t的关系图 时间响应曲线。 .x x. 如果我们对微分方程组 (7-6)求解，可以得到解 x(t)和 ,如果我们取 x 和 为坐标，以时间 t 为 参变量 ,则系统的每一时刻的状态均对应于该平面 上的一点，此平面即为 相平面 。当 t 变化时，这 一点在 平面上绘出的曲线，表征了系统的 运动过程，这个曲线就是 相轨迹 。我们用一个二 阶线性时不变系统来体验一下相平面和相轨迹。 xx )(tx x 例 7-1 考虑二阶系统： 将它写成微分方程组： 0000 . )(,)(,0,0 xtxxtxaaxx ax dt xd x dt dx . . 两式相除得到： x ax dx xd . . 即： a x d xxdx . 两边积分得 : 2 0 2 0 2 2 . axxaxx 在相平面上绘出的相轨迹如图 7-5(a)所示椭圆， 如果取遍所有的初始值，就会得到无数一环套 一环的椭圆 称为相轨迹场，相轨迹场布满 了整个相平面，相轨迹场从全局上展示了动态 系统的运动过程，图（ a） 只绘出了相轨迹场 中的 2根相轨迹。当 xo=0 时，响应曲线如图 （ b）。 图 7-5 例 7-1的相轨迹与时间响应 00 x 7.2.2 相轨迹图 绘制相轨迹图有多种办法，概括起来有如下几类： 第一类 ：手工绘制概略图。概略图就象相轨迹的 素描 ， 它是根据相轨迹的基本特征 、 特殊点 、 特 殊线等信息而 随手 画出的草图 ， 它虽然在具体细 节上缺乏精度 ， 但却能提供许多重要的定性结论 。 第二类 ：手工图解绘制近似图 。 在计算机未得到广泛 应用的年代 ， 人们研究出好几种手工近似作图法 ， 如 等倾线法 、 法等 。 这些手工作图法要绘出有一定精 度的相轨迹图是十分繁琐的 ， 如今已没有多大实用价 值 。 第三类 ：计算机绘制精确图。借助计算机数值解法以 及 SIMULINK等软件绘制相轨迹图。 相轨迹的 基本特征 有： 1）奇点 对于二阶系统 ， 相平面上满足 且 的点叫做 奇点 ， 记作 。 对照方程 （ 7-6） 知 ， 奇点座标 是代数方程 的解 ， 显然奇点一定在轴上 。 0 . x 0 . x eX )( ., ee xx )77( 0),( 0. . xxf x 对于二阶系统， 和 就是 速度 和 加速度 均为零，也就意味着不 再运动，所以，奇点又称 平衡点 。相平面上任 何其它点，都叫普通点。奇点又分 稳定奇点 和 不稳定奇点 ，稍后将讨论。 0 . x 0 . x 2） 相轨迹切线斜率 由方程 （ 7-6） 知 ， 相轨迹上任一点 的切线斜率为： 某点的切线斜率就是相轨迹通过该点的运动方向， 前面提到的 等倾线 就是相轨迹场上所有切线 斜率等于某一常数的点的连线。 )( ., xx x xxf dx xdxx . . ),( ),( 3）相轨迹图形特征 如果微分方程 （ 7-6） 满足解的存在性和唯一 性条件 ， 那么 ， 相轨迹 （ 场 ） 图一定有如下基 本特征： 1)任一普通点有且只有一条相轨迹通过 （ 解的存在性和唯一性 ） ； 2)相轨迹必垂直通过横轴 。 3)横 轴上方的相轨迹从左向右运动 ， 横 轴 下方的相轨迹从右向左运动 。 例 7-2 作出下列二阶系统的相轨迹 0000 . )(,)(,0 xtxxtxxxx 将它写成微分方程组： xx dt xd x dt dx . . . 容易求出奇点为（ 0， 0）。 图 7-6 例 7-2的根轨迹 ABCDO对应初始条件为 EFO对应初始条件为。 10)0(,0)0( . xx 7)0(,2)0( . xx 从相轨迹图可以直观地看到： 所有的相轨迹都最终收敛到 奇点（ 0， 0），这说明系统 是渐近稳定的；可以证明， 每一条相轨迹都是向心螺旋 线，这说明系统的运动过程 是衰减振荡的。 返回 研究二阶线性系统相轨迹的意义主要在两个 方面： 一是 许多非线性特性可以近似为分段线性 的，如死区特性、饱和特性、继电特性等，而分 段线性系统的相轨迹可以由几段线性系统相轨迹 连接而成； 二是 大多数非线性系统在奇点附近的 相轨迹，与其在奇点附近的线性化系统的相轨迹 十分接近。 7.3 线性系统的相轨迹 02 2 xxx nn 1xx 21 2 2 21 2)( )()( xxtx txtx nn 21 2 2 2 1 2 xx x x x nn 21 2 2 2 1 2 xx x dx dx nn 二阶线性系统的微分方程是： 令： 则可写成： 即得： 再可写为： 由此式解出 x1与 x2的关系，即为二阶系统相轨迹 的方程。 7.3.1 二阶线性系统的相轨迹 02 22 nn 1, 221 nn 0 21, 2 2 22 1 R xx n 2 202 10 2 n xxR 另外，系统的特征方程为： 极点为： 下面由系统闭环极点的位置分析系统相轨迹性质： 1. ：共轭虚根。相轨迹方程： 可见其为一族同心的椭圆，坐标原点有一孤立奇点 (中心点 )，每一椭圆对应一个简谐运动。 (图 7-2-2 a) 10 21, 1 21, 2. 为一对负实部共轭复根。相轨迹是收敛于相 平面原点的对数螺线 ,奇点为 稳定的焦点 .(图 7-2-2b) 均为负实根。相轨迹是一族趋向相平面原点 的抛物线 ,奇点为 稳定的节点 .（图 7-2-2 c） 3. 21, 01 21, 21, 4. 当 为实根，且符号相反（一左一右）时， 奇点为 鞍点 。相轨迹如（图 7-2-2d） 为一对正实部共轭复根。相轨迹是从相平面 原点出发的对数螺线 ,奇点为 不稳定的焦点 .(图 7-2-2e） 均为正实根。相轨迹是由相平面原点出发的 发散型抛物线族 ,奇点为 不稳定的节点 .（图 7-2-2f） 1 5. 6. 图 7-2-2 二阶线性系统的特征根与奇点 (P275) 由上可见，二阶 线性系统 的相轨迹和 奇点 的性质 由系统的 特征根 决定，与 初始状态 无关。初始状 态不同，相轨迹性质不变，形状相似，且对应于 不同初始状态的相轨迹不会相交，只可能部分重 合，而在奇点处则相交。另外，由于相轨迹的性 质与系统初始状态无关，相平面中局部范围内相 轨迹的性质就有决定性意义，从局部范围内相轨 迹的性质可推知全局。 显然，当 取不同值时，特征根在根平面 上的分布也不同，响应曲线和相轨迹的形态也 不同。（见 P277表） 返回 7.4 非线性系统的相平面分析 非线性系统相平面分析的关键是绘出相 轨迹图 ， 有了相轨迹图 ， 我们就可以得到系 统稳定性 、 稳定域 、 振型 、 稳态误差等方面 的结论 。 我们也可以绘出不同初始条件 、 不 同输入 、 不同系统参数所对应的相轨迹图 ， 研究其中的规律 。 解析法 图解法 等倾线法 法 绘制方法 为了介绍相平面法基本原理 ， 本节主要讨 论一类最为简单的动态非线性系统 。 系统的结 构如图 7-8 所示 ， 其显著特点是：系统具有静 态非线性环节和动态线性环节的 分离结构 ， 且 静态非线性环节是分段线性的 ， 动态线性环节 为一阶或二阶 。 图 7-8 具有分离结构的非线性系统 分析图 7-8 所示非线性系统的具体方法是： 先将静态非线性特性分为几个线性段，划分出每 段对应的相平面分区；然后在每个分区按线性系 统绘出相轨迹；最后将各分区的相轨迹进行衔接 就得到整个非线性系统的相轨迹。 （一）、解析法： 首先要将相变量方程改写为： 2 21 1 2 x )x,x(f dx dx 然后对其积分，得到 x1与 x2的关系式，即 x2 = f(x1)， 这就是相轨迹方程，可按其绘图 .讲解例 7-3-1(P280). 2 21 1 2 x )x,x(f dx dx qx )x,x(f 2 21 （二）、等倾线法 式 表示了相轨迹的斜率， 对于相平面上任意一点 (x1,x2), 为相轨迹通过该点时的切线的斜率。若取定 q为常数， 则可在相平面上找到一些点，在它们上面相轨迹的斜 率都为 q。可在它们上面作斜率均为 q切线 等倾线。 给定不同的 q，可在相平面上画出许多等倾线。 等倾线描述了相轨迹运动的方向。当给定了初始状态 后，便可沿着给定的相轨迹切线方向画出系统的相轨 迹 .(注意！等倾线不同于相轨迹！ ).讲解 例 7-3-2(P281). )x,x(fx xx 212 21 120 x )x,x(xx xx 211202 21 1202121 x)x,x(f)x,x( 2 21120 1 2 x )x,x(xdxdx （三）、 法： 系统的相变量方程为： 在上式中的后一式中等号右边加、减 项，得 式中： 从而得到： )x,x(fx xx 212 21 120 x )x,x(xx xx 211 2 02 21 1202121 x)x,x(f)x,x( 2 211 2 0 1 2 x )x,x(x dx dx 在点 (x1， x2)附近的小邻域内 ,可将 (x1 ， x2)视为常量 . 如果选取新坐标为 ( 0 x1， x2)，则以上方程是在新 坐标系中的一个圆，其圆心在 ，半径 R为 从圆心到所取点 的距离。在所取点附近 以此画弧就近似地表示了所选取点附近的相轨迹。 因此，相轨迹可用许多段小圆弧连接而成。 例 7-3-4(P283)自学 . 0/ 0， 210 xx ， 上图中 ， 如果非线性特性为式 (7-2)所描 述的饱和特性 ， 线性部分的方程为： 联列式 （ 7-2） 和 （ 7-13） 得到整个系统的数 学模型为： )137( )137(,)(, 0)000 . bzrx aztzztzKyzzT )147( )147( | )147( . . . cgxrrTK k gxxT bgxrrTK k xxxT agxrrTK k gxxT 7.4.1 阶跃函数 现在研究不同的输入函数作用下系统的相轨 迹与性能： （ 1）阶跃函数 ，因为 ,系统 的分区域方程简化为： )(1)( ttr 0 . rr ）（区域 ）（区域 ）（区域 cgxK k gxxT bgxK k xxxT agxK k gxxT 157 )3(0 157 )2(|0 157 )1(0 . . . 区域 2的奇点为 (0,0),当 时是稳定 焦点 ， 当 时是稳定节点 。 14 T K k 14 T K k 设 ,式 （ 7-15） 具体化为： 2.0,1,4,1 gkKT )1( 2.08.0 . 区域 xxx （ 2） 斜坡函数 r(t)=Vt ， 因为 ,这 时系统的分区域方程为： 0, . rVr )3( )2(| )1( . . . 区域 区域 区域 gxVK k gxxT gxVK k xxxT gxVK k gxxT 7.4.2 斜坡函数 区域 2的奇点为 (V/Kk， 0),当 4KTk1时是稳定 焦点，当 4KTk1 时是稳定节点。 固定 T=1， K=4， k=1， g=0.2具体化为： )3(2.08.0 )2(2.0|4 )1(2.08.0 . . . 区域 区域 区域 xVxx xVxxx xVxx 接下来研究相轨迹与参数的关系，分三种情况来分 析： 情况一： VKkg(0.8),比如取 V=1.2， 这时区域 2的 相轨迹应收敛到稳定焦点（ 0.3， 0） , 但（ 0.3， 0） 不在区域 2范围内，故称为之 虚焦点 。绘出系统的 相轨迹场如图 7-9（ b） , 显然，每一条相轨迹的座 标都趋向无穷大，即稳态误差为无穷大。 情况二： Va时 ， 饱和特性输出 x(t)为 tKA Ka tKA tx s in s in )( t t t0 式中 ， A a1s in 由于输出波形为奇函数， A1 0 , 0 1 11 1 B Atg 01 )(s in)(2 ttdtxB 2 1 1s i n2 A a A a A a KA 饱和特性描述函数求得如下： 2 1 1s i n2 A a A a A a K A BAN 1)( 3）继电特性： 图 7-13 求继电特性的描述函数 考虑图 7- 13（ a） 带滞环的继电特性 ， 当输入为 时 ， 输出 y(t)如图 7-13（ b） 所示 ， 并且 )(s in)( hXtXtx X Mh X h X hM tt M ttdM c onA t t 42 s i n)s i n ( 2 )( 2 11 1 1 1 XjBAXN X hM X h X h M ttdMB t t /)()( 1 4 )1 1 2 )(s i n 2 11 2 2 2 1 1 1 4) 间隙特性： 当输入 时 ， 由间隙的数学 描述可知，间隙输出 x(t) 为 tAte s in)( tatAK taAK tatAK )s i n( 2 )( 2 0)s i n( X(t)= 式中 A aA 2s in 1 201 )(c o s)s i n(2 ttdatAKA 2 )(c o s)(2 ttdaAK )(c o s)s i n(2 ttdatAK A a A aKA 2 4 21 2122s i n 2 A aA A aA A aAKA B1 于是，可求得间隙的描述函数 N（ A） 为 )( AN 2 2 1 )(42122s i n 2 A AaaKj A aA A aA A aAK 1)( jeAN 2 2 1 2 2 2122s i n 2 )(4)( A aA A aA A aAK A AaaKAN 5）一般非线性 ： 描述函数不仅适合于分段线性系统 ， 也适合于一 般非线性系统 ， 只要能求出非线性环节的描述函数 。 我们举一个例子 : 3 4 1 2 1 xxy 因为它是单值、奇对称的， ，先求 出 y(t)： 0,0 11 A tXtXty 33 s i n41s i n21)( 所以 21 3 2 0 432 2 0 33 1 16 3 2 1 )( 16 3 2 1 )(s i n 4 1 s i n 2 14 )(s i ns i n 4 1 s i n 2 14 X X B XN XX tdtXtX ttdtXtXB 概括起来 ， 求描述函数的过程 是：先根据已知 的输入 x(t)=Xsint和非线性特性 y=f(x)求出输出 , 然后由积分式求出 ， 求出 N(X) 。 主要 工作量和技巧主要在积分 。 此外，描述函数也可以由实验近似获得。当系 统具有良好的低通特性时，给系统施加正弦信号， 其输出也近似为正弦信号。改变输入正弦信号的幅 值，记录输出信号的幅值和相位，即可近似求出 。 )(ty 1111 , YBA )(),( 11 XXY 系统开环部分可分离为： 非线性环节 N(A) 线性部分 G(s) 假定： 非线性环节非线性，即不是时间的函数； 非线性环节特性是斜对称的； 系统的线性部分具有较好的低通滤波性能。 类似传递函数 谐波线性化方法 )A(N)s(G1 )A(N)s(G )s(R )s(C 非线性系统的频率特性法 7.6 分析非线性系统的谐波平衡分析法 1)非线性闭环系统的稳定性 )A(N)s(G1 )A(N)s(G )s(R )s(C (乃奎斯特判据 ) 若开环稳定，则闭环稳定 的充要条件是 G(j) 轨迹 不包围 G平面的 (-1,j0)。 负倒描述函数（描述函数负倒特性 ) 0)s(G)A(N1)s(D 线性系统： 1)A(N 0)s(G1 1)s(G )A(N 1)s(G )A(N 1 (-1,j0) ? 将判断线性系统稳定的结论推广到 N(A)为非线性函数 的情况 。 因为 X连续变化时 N(A)是复平面上的一根曲线 ， 所以 闭环系统是否稳定 取决于曲线 G(j)是否包围 1 N(A)曲线 。 具体讲就是 (P310)： 1)、 在复平面上 ， 如果曲线 G(j)不包围 1 N(A)曲线 ， 那么闭环系统稳定； 2)、 如果 G(j)曲线包围 1 N(A)曲线 ， 那么闭环系统 不稳定； 3)、 如果曲线 G(j)与曲线 1 N(A)相交 ， 那么闭环系 统出现 自振荡 （ 极限环 ） 。 图示： G(j) 与负倒描述函数相交 闭环系统出现自持振荡 (极限环振荡 ) 稳定 ？不稳定？ 振幅（ A）？ 频率 ()？ 设：系统开环的线性部分 G(j)稳定 G(j)不包围负倒描述 函数 闭环系统稳定 G(j)包围负倒描述函 数 闭环系统不稳定 2） 极限环的稳定性 正如相平面法中所讨论的，极限环本身存在一 个稳定性问题，极限环的稳定性也可以用描述函数 来分析。参见图 7-16 : 7-16 极限环的稳定性 图中 A、 B两点都出现极限环 ， 先看 A点：如果 因某种干扰使振荡幅值略有减小 ， 比如工作点移到 D， D点不被 G(j)曲线包围 ， 这时闭环系统应趋向稳 定 振荡幅值应逐渐减小到零 （ 停振 ） ；反之 ， 如果因某种干扰使振荡幅值略有增大 ， 比如工作点 移到 C， C点被 G(j)曲线包围 ， 这时闭环系统应趋向 不稳定 振荡幅值应逐渐增大 ， 工作点移到 、 B ； 可见 A点属不稳定极限环 。 再看 B点：如果因某种干扰使振荡幅值略有减小 ， 比如工作点移到 F， F点被 曲线包围 ， 这时闭 环系统应趋向不稳定 振荡幅值应增大 ， 增大后 又回到 B电；反之 ， 如果因某种干扰使振荡幅值略 有增大 ， 比如工作点移到 E， E点不被 曲线包 围 ， 这时闭环系统应趋向稳定 振荡幅值应减小 ， 减小后又回到 B电；可见 A点属稳定极限环 。 )( jG )( jG 返回 7.7 基于 SIMULINK 的非线性系统分析 SIMULINK 对于非线性系统的分析与设计是很 有用的 ， SIMULINK提供了死区 、 饱和 、 继电等多种 非线性模块 ， 也能构成很复杂的非线性函数 。 注：本节内容将上机操作练习 ！ 考虑图 7-17所示非线性系统， 图 7-17 非线性系统 先考虑非线性环节为死区特性，用 SIMULINK构成 彷真模型如图 7-18。 图 7-18 SIMULINK仿真模型 在 Matlab6.5的 MATLAB窗中双击 SIMULINK图标 就打开 Simulink Library Browser窗 ， 在此窗口进入 FileNewModel， 就会打开一个 untitled窗 (可以用 Save as保存此窗口并改名 )。 在 Simulink library Browser 窗口下有 DISCONTINUTIES、 MATH OPERATIONS、 SINK、 SOURC等子目录，每个 子目录下都包含若干可利用的模块，可直接拖到 untitled窗口。图 7-18中，积分环节 (Integrator)、 死区特 性 (Dead Zone)来自 SIMULINKDISCONTINUTIES， 求 和、增益 (Gain)、 乘积 (Dot Product)来自 SIMULINKMATH OPERATIONS， XY Graph 来自 SIMULINKSINK， 阶跃函数来自 SIMULINKSOURCE。 x 1)0( x 0)0( x 在 SIMULATION SIMULATION PARAMETERSSOLVER中设 置 SolverType为 Fixed Step， Solver(步长 )为 0.05， Stop Time 为 50。运行 SIMULATIONSTART， 绘出的相 轨迹如图 7-19（ a）。 可以看到由于死区的存在 ,稳态 误差不为 0。 在 XY Graph上绘出相轨迹 ， 关键是得到 x和信号 , 图 7-18中它们分别来自 Integrator2的输出和输入 。 双击 某一个模块 ， 就会出现该模块的设置窗口 ， 我们设置 : Integrator1的初始条件为 1（ 相当于 ),Integrator2 的初始条件为 0（ 相当于 ） ， 阶跃函数的幅值 为 0(相当于输入为 0)死区特性的死区为 -0.3， 0.3。 图 7-19 SIMULINK绘出的相轨迹图 然后 ， 我们将非线性模块依次换为饱和特性 、 继 电特性和带滞环的继电特性 .图 7-18（ b） 是饱和特性 对应的相轨迹 ， 饱和特性的线性区为 -0.5， 0.5。 图 7-18（ c） 是继电特性对应的相轨迹 ， 这个继电特 性没有滞环 。 图 7-18（ d） 是带滞环的继电特性对应 的相轨迹 ， 滞环宽度为 -0.1， 0.1。 图 7-18（ c） （ d） 都出现了极限环 。 如果要将生成的相轨迹图保存为图形文件 ， 可执 行下列程序： subplot(1,1,1),plot(xout(:,1),xout(:,2) grid on,axis(-1,1,-1,1) xlabel(X),ylabel(dX) 执行后进入 FileExport， 即可保存为一定格式 的图形文件 。 注：例 7-10-1、 7-10-2上机操作 。 小 结 本章介绍了非线性系统分析的基础知识，主 要包括 相平面法 和 描述函数法 。本章的内容还揭 示了非线性系统的一些特殊现象，诸如：非线性 系统存在 全局稳定 和 局部稳定 问题，非线性系统 的稳定性与初始条件有关，非线性系统的振型与 初始条件和输入幅值都有关，非线性系统的稳定 极限环 等，这些在线性系统中是不会出现的。 返回 P326: 7- Homework Thanks for Attention！