初二数学一次函数知识点总结全面

一次函数知识点总结基本概念1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。例题：在匀速运动公式中,表示速度,表示时间,表示在时间内所走的路程,则变量是_,常量是_。在圆的周长公式C=2r中，变量是_，常量是_.2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。 *判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应例题：下列函数（1）y=x (2)y=2x-1 (3)y= (4)y=2-1-3x (5)y=x2-1中，是一次函数的有（ ）（A）4个 （B）3个 （C）2个 （D）1个3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。4、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。例题：下列函数中，自变量x的取值范围是x2的是（ ）Ay= By= Cy= Dy=函数中自变量x的取值范围是_.已知函数，当时，y的取值范围是 （ ）A. B. C. D.5、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象6、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。7、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。8、函数的表示方法列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。9、正比例函数及性质一般地，形如y=kx(k是常数，k0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.注：正比例函数一般形式 y=kx (k不为零) k不为零 x指数为1 b取零当k0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k0时，图像经过一、三象限；k0，y随x的增大而增大；k0时，向上平移；当b0，图象经过第一、三象限；k0，图象经过第一、二象限；b0，y随x的增大而增大；k0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；当b0b0经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限图象从左到右上升，y随x的增大而增大k0时，向上平移；当b0或ax+b0时，直线必通过第一、三象限，y随x的增大而增大； 当k0,b0, 这时此函数的图象经过第一、二、三象限； 当 k0,b0, 这时此函数的图象经过第一、三、四象限； 当 k0, 这时此函数的图象经过第一、二、四象限； 当 k0,b0时，直线必通过第一、二象限； 当b0时，直线只通过第一、三象限，不会通过第二、四象限。当k0时，直线只通过第二、四象限，不会通过第一、三象限。 4、特殊位置关系： 当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等 当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1） ） 点斜式y-y1=k(x-x1)（k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点）两点式(y-y1) / (y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)（已知直线上（x1,y1）与（x2,y3）两点） 截距式（a、b分别为直线在x、y轴上的截距）实用型 （由实际问题来做）用公式1.求函数图像的k值：（y1-y2)/(x1-x2) 2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/2 3.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/2 4.求任意线段的长：(x1-x2)2+(y1-y2)2 （注：根号下（x1-x2)与（y1-y2)的平方和） 5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式 两个一次函数 y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 令y1=y2 得k1x+b1=k2x+b2 将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 两式任一式 得到y=y0 则(x0,y0)即为 y1=k1x+b1 与 y2=k2x+b2 交点坐标 6.求任意2点所连线段的中点坐标：（x1+x2）/2，（y1+y2）/2 7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（X-x1）/(x1-x2)=(Y-y1)/(y1-y2) (其中分母为0，则分子为0) x y +， +（正，正）在第一象限 - ，+ （负，正）在第二象限 - ，- （负，负）在第三象限 + ，- （正，负）在第四象限 8.若两条直线y1=k1x+b1y2=k2x+b2，那么k1=k2，b1b2 9.如两条直线y1=k1x+b1y2=k2x+b2，那么k1k2=-1 10. y=k（x-n）+b就是向右平移n个单位 y=k（x+n）+b就是向左平移n个单位 一次函数的平移口诀：右减左加（对于y=kx+b来说，只改变b） y=kx+b+n就是向上平移n个单位 y=kx+b-n就是向下平移n个单位 口诀：上加下减（对于y=kx+b来说，只改变b）相关应用 生活中的应用1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。 2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。 3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数） 数学问题一、确定字母系数的取值范围 例1 已知正比例函数 ，则当k0时，y随x的增大而减小。 解：根据正比例函数的定义和性质，得 且my2，则x1与x2的大小关系是（ ） A. x1x2 B. x10，且y1y2。根据一次函数的性质“当k0时，y随x的增大而增大”，得x1x2。故选A。 三、判断函数图象的位置 例3. 一次函数y=kx+b满足kb0，且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解：由kb0，知k、b同号。因为y随x的增大而减小，所以k0。所以b30时，Y1Y2 当X30时，Y10，则可以列方程组 -2k+b=-11 6k+b=9 解得k=2.5 b=-6 ，则此时的函数关系式为y=2.5x6 （2）若k0，则y随x的增大而增大；若k0，则y随x的增大而减小。 综合测试一、选择题： 1. 若正比例函数y=kx的图象经过一、三象限，则k的取值范围是（ ） A.k0 B.k0 D.k为任意值 2. 一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的高度y（cm）与燃烧时间x（小时）的函数关系用图象表示为（ ） 3. （北京市）一次函数 的图象不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. （陕西省课改实验区）直线 与x轴、y轴所围成的三角形的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. D. 5. （海南省）一次函数 的大致图象是（ ） 二、填空题： 1. 若一次函数y=kx+b的图象经过（0，1）和（1，3）两点，则此函数的解析式为_. 2. （2006年北京市中考题）若正比例函数y=kx的图象经过点（1，2），则此函数的解析式为_. 三、 一次函数的图象与y轴的交点为（0，3），且与坐标轴围成的三角形的面积为6，求这个一次函数的解析式. 四、（芜湖市课改实验区） 某种内燃动力机车在青藏铁路试验运行前，测得该种机车机械效率和海拔高度h（ ，单位km）的函数关系式如图所示. （1）请你根据图象写出机车的机械效率和海拔高度h（km）的函数关系； （2）求在海拔3km的高度运行时，该机车的机械效率为多少？ 五、（浙江省丽水市） 如图建立羽毛球比赛场景的平面直角坐标系，图中球网高OD为1.55米，双方场地的长OA=OB=6.7（米）.羽毛球运动员在离球网5米的点C处起跳直线扣杀，球从球网上端的点E直线飞过，且DE为0.05米，刚好落在对方场地点B处. （1）求羽毛球飞行轨迹所在直线的解析式； （2）在这次直线扣杀中，羽毛球拍击球点离地面的高度FC为多少米？（结果精确到0.1米） 【综合测试答案】 一、选择题： 1. C 2. B 3. D 4. A 5. B 二、填空题： 1.y=-2x+1 2. y=2x 三、分析：一次函数的解析式y=kx+b有两个待定系数，需要利用两个条件建立两个方程.题目中一个条件比较明显，即图象和y轴的交点的纵坐标是3，另一个条件比较隐蔽，需从“和坐标轴围成的面积为6”确定. 解：设一次函数的解析式为 y=kx+b， 函数图象和y轴的交点的纵坐标是3， 函数的解析式为 . 求这个函数图象与x轴的交点，即解方程组： 得 即交点坐标为（ ，0） 由于一次函数图象与两条坐标轴围成的直角三角形的面积为6，由三角形面积公式，得 这个一次函数的解析式为 四、解：（1）由图象可知， 与h的函数关系为一次函数 设 此函数图象经过（0，40%），（5，20%）两点 解得 （2）当h=3km时， 当机车运行在海拔高度为3km的时候，该机车的机械效率为28% 五、解：（1）依题意，设直线BF为y=kx+b OD=1.55，DE=0.05 即点E的坐标为（0，1.6） 又OA=OB=6.7 点B的坐标为（6.7，0） 由于直线经过点E（0，1.6）和点B（6.7，0），得 解得 ，即 ： （2）设点F的坐标为（5，），则当x=5时， 则FC=2.8 在这次直线扣杀中，羽毛球拍击球点离地面的高度是2.8米 常见题型常见题型一次函数及其图像是初中代数的重要内容，也是高中解析几何的基石，更是中考的重点考查内容。其中求一次函数解析式就是一类常见题型。现以部分中考题为例介绍几种求一次函数解析式的常见题型。希望对大家的学习有所帮助。 一. 定义型 例1. 已知函数 是一次函数，求其解析式。 解：由一次函数定义知 ，故一次函数的解析式为 注意：利用定义求一次函数 解析式时，要保证 。如本例中应保证 二. 点斜型 例2. 已知一次函数 的图像过点（2，1），求这个函数的解析式。 解： 一次函数 的图像过点（2，1） ，即 故这个一次函数的解析式为 变式问法：已知一次函数 ，当 时，y=1，求这个函数的解析式。 三. 两点型 已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是（2，0）、（0，4），则这个函数的解析式为_。 解：设一次函数解析式为 由题意得 故这个一次函数的解析式为 四. 图像型 例4. 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为_。 解：设一次函数解析式为 由图可知一次函数 的图像过点（1，0）、（0，2） 有 故这个一次函数的解析式为 五. 斜截型 例5. 已知直线 与直线 平行，且在y轴上的截距为2，则直线的解析式为_。 解析：两条直线 ： ； ： 。当 ， 时， 直线 与直线 平行， 。 又 直线 在y轴上的截距为2， 故直线的解析式为 六. 平移型 例6. 把直线 向下平移2个单位得到的图像解析式为_。 解析：设函数解析式为 ， 直线 向下平移2个单位得到的直线 与直线 平行 直线 在y轴上的截距为 ，故图像解析式为 七. 实际应用型 例7. 某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系式为_。 解：由题意得 ，即 故所求函数的解析式为 （ ） 注意：求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围。 八. 面积型 例8. 已知直线 与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线解析式为_。 解：易求得直线与x轴交点为（ ，0），所以 ，所以 ，即 故直线解析式为 或 九. 对称型 若直线 与直线 关于 （1）x轴对称，则直线l的解析式为 （2）y轴对称，则直线l的解析式为 （3）直线y=x对称，则直线l的解析式为 （4）直线 对称，则直线l的解析式为 （5）原点对称，则直线l的解析式为 例9. 若直线l与直线 关于y轴对称，则直线l的解析式为_。 解：由（2）得直线l的解析式为 十. 开放型 例10. 已知函数的图像过点A（1，4），B（2，2）两点，请写出满足上述条件的两个不同的函数解析式，并简要说明解答过程。 解：（1）若经过A、B两点的函数图像是直线，由两点式易得 （2）由于A、B两点的横、纵坐标的积都等于4，所以经过A、B两点的函数图像还可以是双曲线，解析式为 （3）其它（略） 十一. 几何型 例11. 如图，在平面直角坐标系中，A、B是x轴上的两点， ， ，以AO、BO为直径的半圆分别交AC、BC于E、F两点，若C点的坐标为（0，3）。（1）求图像过A、B、C三点的二次函数的解析式，并求其对称轴；（2）求图像过点E、F的一次函数的解析式。 解：（1）由直角三角形的知识易得点A（ ，0）、B（ ，0），由待定系数法可求得二次函数解析式为 ，对称轴是 （2）连结OE、OF，则 、 。过E、F分别作x、y轴的垂线，垂足为M、N、P、G，易求得E（ ， ）、F（ ， ）由待定系数法可求得一次函数解析式为 十二. 方程型 例12. 若方程 的两根分别为 ，求经过点P（ ， ）和Q（ ， ）的一次函数图像的解析式 解：由根与系数的关系得 ， ， 点P（11，3）、Q（11，11） 设过点P、Q的一次函数的解析式为 则有 解得 故这个一次函数的解析式为 十三. 综合型 例13. 已知抛物线 的顶点D在双曲线 上，直线 经过点D和点C（a、b）且使y随x的增大而减小，a、b满足方程组 ，求这条直线的解析式。 解：由抛物线 的顶点D（ ）在双曲线上，可求得抛物线的解析式为： ，顶点D1（1，5）及 顶点D2（ ，15） 解方程组得 ， 即C1（1，4），C2（2，1） 由题意知C点就是C1（1，4），所以过C1、D1的直线是 ；过C1、D2的直线是数学术语. 经典例题 1在直角坐标系xOY中，直线L过(1,3)和(3,1)两点，且X与轴、Y轴分别交于A、B (1) 求直线L的函数解析式; (2) 求AOB的面积. 1、 y=kx+b 则3=k+b 1=3k+b 所以k=-1,b=4 y=-x+4 2、 y=0,x=4 x=0,y=4 所以面积=442=8 2为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴。规定 每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查发现，某市场销售彩电台数y台与政府补贴款额x元之间大致满足如图、 (1)该商场销售家电的总收益为80000=160000(元) (2)依题意可设y=k1x+800,Z=k2x+200 有400k1+800=1200,200k2+200=160, 解得k1=1,k2=-. 所以k1=1,k2=-.y=x+800,z=-x+200. (3)W=yz=(x+8000)(-x+200) =-(x-100)2+162000 政府应将每台补贴款额x定为100元,总收益有最大值. 其最大值为162000元.