阅读与思考中外历史上的方程求解

中外历史上的方程求解绵阳南山中学 数学组 邓燕莉 一、设立目标一、设立目标 自主学习自主学习约公元约公元50100年编成的年编成的九章算术九章算术给出了一次方程、二次方给出了一次方程、二次方程和正系数三次方程的求根方法程和正系数三次方程的求根方法.一、设立目标一、设立目标 自主学习自主学习1111世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法.一、设立目标一、设立目标 自主学习自主学习1313世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次代数方程的正根的解法。世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次代数方程的正根的解法。一、设立目标一、设立目标 自主学习自主学习 国外数学家对方程求解亦有很多研究。国外数学家对方程求解亦有很多研究。9世纪以后，先后发世纪以后，先后发现了一次、二次、三次、四次方程的求根方法；数学史上，人们现了一次、二次、三次、四次方程的求根方法；数学史上，人们曾经希望得到一般的五次以上代数方程的根式解，但最后被曾经希望得到一般的五次以上代数方程的根式解，但最后被19世世纪纪挪威数学家阿贝尔挪威数学家阿贝尔证明了五次及五次以上一般方程没有根式解。证明了五次及五次以上一般方程没有根式解。一、设立目标一、设立目标 自主学习自主学习2(1)680 xx(2)ln260 xx判断下列方程是否有实根，有几个实根判断下列方程是否有实根，有几个实根122,4xx二、情景再现，共建知网二、情景再现，共建知网方程方程的根函数函数图象函数图象与x轴的交点2680 xx2690 xx26100 xx二、情景再现，共建知网二、情景再现，共建知网方程方程的根函数函数图象函数图象与x轴的交点2680 xx122,4xx268yxx24(2,0)(4,0)2690 xx123xx269yxx(3,0)观察表格，你能看出方程的根与对应函数图象之间的关系吗？26100 xx没有实数根没有实数根2610yxx没有交点没有交点3二、情景再现，共建知网二、情景再现，共建知网结 论1.1.方程的实数根就是函数图象与方程的实数根就是函数图象与x x轴交点的轴交点的 横坐标。横坐标。2.2.方程有实数根就是函数图象与方程有实数根就是函数图象与x x轴有交点轴有交点二、情景再现，共建知网二、情景再现，共建知网方程方程的根函数函数图象函数图象与x轴的交点2680 xx122,4xx268yxx24(2,0)(4,0)2690 xx123xx269yxx(3,0)26100 xx没有实数根没有实数根2610yxx没有交点没有交点3函数零点的定义：函数零点的定义：对于函数对于函数y=f y=f(x)(x)我们把使我们把使f(x)=0f(x)=0的实数的实数x x叫做函数叫做函数y=f(x)y=f(x)的零点（的零点（zero point)zero point)。二、情景再现，共建知网二、情景再现，共建知网等价关系等价关系方程方程f(x)=0f(x)=0有实数根有实数根函数函数y=f(x)y=f(x)有零点有零点函数函数y=f(xy=f(x)的图象与的图象与x x轴有交点轴有交点结论结论：函数的零点就是方程函数的零点就是方程f(x)=0f(x)=0的实数根，的实数根，也就是函数也就是函数y=f(x)y=f(x)的图象与的图象与x x轴的交点的横坐轴的交点的横坐标标.二、情景再现，共建知网二、情景再现，共建知网例例1 1 求下列函数的零点求下列函数的零点（2）3,2()1,2xxf xxx 解：2()1 log(3)f xx（1）1()23xf x（3）（1）1x （2）2log 6x（3）没有零点二、情景再现，共建知网二、情景再现，共建知网判断下列方程是否有实根，有几个实根判断下列方程是否有实根，有几个实根三、合作探究三、合作探究 问题新解问题新解ln260 xx例例2 2 判断函数f(x)ln xx23的零点的个数.解函数对应的方程为ln xx230，所以原函数零点的个数即为函数yln x与y3x2的图象交点个数.三、合作探究三、合作探究 问题新解问题新解思考思考判断函数f(x)ln xex+x3的零点的个数.（1 1）观察二次函数）观察二次函数f(x)=xf(x)=x2 22x2x3 3的图象的图象:三、合作探究三、合作探究 问题新解问题新解xy013212123414-2（2）观察下面的函数图象思考：由以上的探索，你可以得出什么结论？abcdabcdabcdabcdabcdabcd _ 0 _ 0（或）（或）在区间在区间a,ba,b 上上_(_(有有/无无)零点；零点；()()f af b _ 0 _ 0（或）（或）在区间在区间a,ba,b 上上_(_(有有/无无)零点；零点；()()f af b有 _0 _0（或）（或）在区间在区间b,cb,c 上上_(_(有有/无无)零点；零点；()()f bf c _0 _0（或）（或）在区间在区间b,cb,c 上上_(_(有有/无无)零点；零点；()()f bf c有 _0 _0（或）（或）在区间在区间c,dc,d 上上_(_(有有/无无)零点；零点；()()f cf d _0 _0（或）（或）在区间在区间c,dc,d 上上_(_(有有/无无)零点；零点；()()f cf d有三、合作探究三、合作探究 问题新解问题新解1、如果函数曲线不连续，且f(a)f(b)0,则f(x)在a，b内就有零点吗？注注1 1：函数图象要在区间：函数图象要在区间aa，bb上连续，且要在上连续，且要在区间区间aa，bb端点处的函数值异号，则函数在区端点处的函数值异号，则函数在区间间aa，bb有零点有零点三、合作探究三、合作探究 问题新解问题新解零点存在性定理零点存在性定理：如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间aa，bb上的图象是连续上的图象是连续不断的一条曲线不断的一条曲线，并且有，并且有f(a)f(a)f(b)0 f(b)0，那么，函，那么，函数数y=f(x)y=f(x)在区间在区间(a(a，b)b)内有零点，即存在内有零点，即存在e(ae(a，b)b)，使得，使得f(e)=0f(e)=0，这个，这个e e也就是方程也就是方程f(x)=0f(x)=0的的根根。a ab bc cd de e三、合作探究三、合作探究 问题新解问题新解三、合作探究三、合作探究 问题新解问题新解2.若f(x)在a，b内有零点，一定能得出f(a)f(b)0吗？3.若f(a）f(b)0,且函数在区间a，b上连续，则函数在区间a，b上只有一个零点吗？4.在此基础上加一个什么条件，可以得到函数在区间a，b上只有一个零点2.若f(x)在（a，b）内有零点，一定能得出f(a)f(b)0吗？注注2 2：函数在区间：函数在区间(a(a，b)b)上连续，且存在零点，上连续，且存在零点，在区间在区间(a(a，b)b)端点的函数值可能异号也可能同号。端点的函数值可能异号也可能同号。三、合作探究三、合作探究 问题新解问题新解3.若f(a）f(b)0,且函数在区间（a，b）上连续，则函数在区间（a，b）上只有一个零点吗？4.在此基础上加一个什么条件，可以得到函数在区间（a，b）上只有一个零点注注3 3：函数：函数f(x)f(x)在（在（a a，b b）上是单调函数，）上是单调函数，如果如果f(a)f(b)0,f(a)f(b)0f(a)f(b)0，那么这个函数在区间，那么这个函数在区间(a(a，b)b)上没上没有零点。有零点。注注4 4：函数零点存在性定理只能用来判断函数零点：函数零点存在性定理只能用来判断函数零点的存在性，不能用来判断函数零点的个数。的存在性，不能用来判断函数零点的个数。三、合作探究三、合作探究 问题新解问题新解四、案例分析四、案例分析 整合拓展整合拓展例3 （1）已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表，则函数在哪几个区间内有零点？x1234610f(x)20-5.5-2618-3（2）函数f(x)exx2的零点所在的一个区间是()A.(2，1)B.(1,0)C.(0,1)D.(1,2)解析f(0)e00210，f(1)e112e10，f(0)f(1)0，f(x)在(0,1)内有零点.我们已经知道函数的零点在区间（0,1）内，也知道函数只有一个零点，那如何求出这个零点呢？有几个零点呢？五、反思小结五、反思小结 完善提升完善提升2 2、函数的零点与方程的根以及函数图象与、函数的零点与方程的根以及函数图象与x x轴的轴的交点之间的关系；交点之间的关系；1 1、函数零点的定义；、函数零点的定义；3 3、确定函数的零点的方法。、确定函数的零点的方法。（零点存在性定理）（零点存在性定理）