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2.5 圆锥曲线的统一定义一、教学目标： （一）知识与水平：1 掌握圆锥曲线的统一定义，对圆锥曲线有一个系统、完整的理解；2 会用圆锥曲线的统一定义解决距离、最值问题。 （二）过程与方法：引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主构建圆锥曲线的统一定义等概念，使学生领会数形结合的数形思想和分类讨论思想。培养学生发现问题、分析问题、解决问题的水平。 （三）情感、态度价值观：在探究圆锥曲线的统一定义的过程中，培养学生主动探究知识、合作交流的意识，体验在探究问题的过程中获得的成功感。二、教学重难点：重点：圆锥曲线的统一定义的生成、理解、应用。难点：圆锥曲线的统一定义的应用。三、教学过程：（一）复习引入，发现问题1.抛物线的定义： 平面内到一个定点F的距离和到一条定直线l的（F不在l上）距离的比等于1的动点P的轨迹是抛物线。问题1：当比值是一个不等于1的常数时，动点P的轨迹又是什么呢？问题2：在推导椭圆标准方程时，我们得到这样一个等式：，我们进一步把它变形成 ，同学们能解释它几何意义吗？（二）自学导案（三）解决自学导案(四)典型例题例1、已知点P（x，y）到定点F（c，0）的距离与它到定直线的距离的比是常数，求点P的轨迹。分析：求点的轨迹，能够先求点的轨迹方程，并通过点的轨迹方程，并通过方程来判断点的轨迹。解：由题意得，化简得令，得所以，点的轨迹是椭圆变式：已知点P（x，y）到定点F（c，0）的距离与它到定直线的距离的比是常数，求点P的轨迹。学生归纳圆锥曲线的统一定义：平面内到一个定点F的距离和到一条定直线（F不在上）的距离的比等于常数e的点的轨迹。当时，它表示椭圆；当时，它表示双曲线；当时，它表示抛物线。教师与学生共同归纳：1 椭圆焦点与准线的对应关系对于方程，左焦点对应的准线为，右焦点，对应的准线为；对于方程，上焦点对应的准线，下焦点对应的准线为。2 双曲线焦点与准线的对应关系对于方程，左焦点对应的准线为，右焦点，对应的准线为；对于方程，上焦点对应的准线，下焦点对应的准线为。例2 求椭圆的右焦点和右准线；左焦点和左准线；解：由题意可知右焦点右准线；左焦点和左准线变式：求椭圆方程的准线方程；解：椭圆可化为标准方程为：，故其准线方程为小结：求椭圆的准线方程一定要化成标准形式，然后利用准线公式即可求出变式：求的准线方程、两准线间的距离。 解:由可知,焦点在x轴上,且所以准线方程为:；故两准线的距离为.例3椭圆上的点到左准线的距离是，求到左焦点的距离为 .变式：求到右焦点的距离为 .解：记椭圆的左右焦点分别为到左右准线的距离分别为由椭圆的第二定义可知：又由椭的第一定义可知：另解：点M到左准线的距离是2.5，所以点M到右准线的距离为变式：假如双曲线上的一点P到左焦点的距离为9，则P到右准线的距离是 解： P到左准线的距离为m，由双曲线方程可知a=5，b=12，c=13，准线方程为 根据双曲线第二定义得, 。例4双曲线的 ，渐近线与一条准线围成的三角形的面积是 . 解:由题意可知,一条准线方程为:,渐近线方程为 因为当时 所以所求的三角形面积为: 例5已知点为椭圆的上任意一点，、分别为左右焦点；且求的最小值分析：应如何把表示出来解：左准线：，作于点D，记由第二定义可知： 故有所以有当A、M、D三点共线时，|MA|+|MD|有最小值：即的最小值是变式1：的最小值；解：（五）课堂小结 1.圆锥曲线的统一定义与注意点。2.分清三种圆锥曲线的区别与联系。（六）课外作业课后反思：
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