线性系统的可控性与可观测性.ppt

第 3章 线性系统的可控性和可观测性 1 第三章 线性系统的可控性与可观测性 本章主要介绍定性分析方法 ， 即对决定系统运 动行为和综合系统结构有重要意义的关键性质 （ 如 可控性 、 可观测性 、 稳定性等 ） 进行定性研究 。 在线性系统的定性分析中 ， 一个很重要的内容 是关于系统的可控性 、 可观测性分析 。 系统的可控 、 可观测性是由卡尔曼于 60年代首先提出的 ， 事后被 证明这是系统的两个基本结构属性 。 本章首先给出可控性 、 可观测性的严格的数 学定义 ， 然后导出判别线性系统的可控性和可观测 性的各种准则 ， 这些判别准则无论在理论分析中还 是在实际应用中都是很有用的 。 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 2 3.1 可控性和可观测性的定义 3.2 线性定常连续系统的可控性判据 （ ） 3.3 线性定常连续系统的可观测性判据（ ） 3.4 对偶原理 第三章 线性系统的可控性与可观测性 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 3 3.1 可控性和可观测性的定义 一可控性与可观测性的物理概念 系统的可控性和可观性 ， 就是指系统内的所有 状态是否可以由输入影响和是否可由输出反映 。 如果系 统内部的所有状态的运动都可由输入来影响 和控制而由任意的初始状态达到原点 ， 则称 系统是可 控的 ， 或者更确切的说是 状态可控的 ， 否则就称系统 为 不完全可控的 ， 或简称为系统不可控 。 如果系统内部所有状态变量的任意形式的运动均可 由输出完全反映 ， 则称系统是 状态可观测的 ， 否则就 称系统为 不完全可观测的 ， 或简称为系统不可观测 。 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 4 例 3-1： 给定系统的状态空间描述为 11 22 4 0 1 0 5 2 xx u 1 2 06 xy x 结构图表明：通过控制量 u可以控制状态 x1和 x2， 所 以系统完全能控；但输出 y只能反映状态变量 x2， 不 能反映状态变量 x1， 所以系统不完全能观测 。 图 3-1 系统结构图 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 5 二 可控性定义 1状态可控 考虑 n维线性时变系统的状态方程 00( ) ( ) ( ) tx A t x B t u x t x t T 如果对取定初始时刻 的一个 非零初始状态 x(t0) =x0，存在一个时刻 和一个 无约 束的容许控制 u(t)， ，使状态由 x(t0)=x0转 移到 t1时的 x(t1)=0 ，则称此 x0是在时刻 t0可控的 . tTt 0 011 , ttTt t , 10 ttt 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 6 2系统可控 如果状态空间中的 所有非零状态 都是在 t0 （ ） 时刻可控的 ， 则称系统在时刻 t0是 完全可控的 ， 简称系统在时刻 t0可控 。 若系 统在所有时刻都是可控的 ， 则称系统是一致 可控的 。 考虑 n维线性时变系统的状态方程 00( ) ( ) ( ) tx A t x B t u x t x t T tTt 0 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 7 3系统不完全可控 对于线性时变系统 取定初始时刻 ， 如果状态空间中 存在一 个或一些非零状态在时刻 t0是不可控的 ， 则称 系统在时刻 t0是不完全可控的 ， 也称为系统是 不可控的 。 00( ) ( ) ( ) tx A t x B t u x t x t T tTt 0 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 8 4状态可达与系统可达 对于线性时变系统 若存在能将状态 x(t0)=0转移到 x(tf)=xf的控制作用 ， 则称状态 xf是 t0时刻可达的 。 若 xf对所有时刻都是 可达的 ， 则称状态 xf为完全可达到或一致可达 。 若系统对于状态空间中的每一个状态都是时刻 t0可 达的 ， 则称该系统是 t0时刻完全可达的 ， 或简称系 统是 t0时刻可达的 。 00( ) ( ) ( ) tx A t x B t u x t x t T 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 9 三可观测性定义 1系统完全可观测 对于线性时变系统 如果取定初始时刻 ， 存在一个有限时刻 , 对于所有 ， 系统的输出 y(t)能唯一确定状态向量 的初值 x(t0)， 则称系统在 t0, t1内是完全可观测的 ， 简称 可观测 。 如果对于一切 t1t0系统都是可观测的 ， 则称系 统在 t0, )内是完全可观测的 。 0 ttT 1 1 0,tt T t t 01,t t t 0 0 0( ) , ( ) , () tx A t x x t x t t T y C t x 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 10 2系统不可观测 对于线性时变系统 如果取定初始时刻 ， 存在一个有限时刻 , 对于所有 ， 系统的输出 y(t)不能唯一确定所有状 态的初值 xi(t0)， i=0,1, ,n， 即 至少有一个状态的初值不 能被 y(t)确定 ， 则称系统在 t0, t1内是不完全可观测的 ， 简称不可观测 。 0 ttT 1 1 0,tt T t t 01,t t t 0 0 0 ,( ) , ( ) () tx A t x x t x t t T y C t x 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 11 3. 2 线性定常连续系统的可控性判据 ( ) 一、线性定常连续系统的可控性判据（ ） 1格拉姆矩阵判据 线性定常系统 0( ) ( ) ( ) (0 ) 0 x t A x t B u t x x t 完全可控的充分必要条件是：存在一个有限时 刻 t10， 使如下定义的格拉姆矩阵： 为非奇异。 注意： 在应用该判据时需计算 eAt， 这在 A的维数较 高时并非易事 ， 所以 此判据主要用于理论分析中 。 101 ,0 t tATAt dteBBetW T 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 12 证：充分性 ：已知 W(0, t1)为非奇异 ， 欲证系统为完 全可控 ， 采用构造法来证明 。 对任一非零初始状态 x0 可构造控制 u(t)为： 1 1 0 1( ) ( 0 , ) , 0 ,TT A tu t B e W t x t t 则 u(t)作用下系统状态 x(t)在 t1时刻的结果 : 1 11 1 11 1 1 1 1 () 10 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 ( ) ( ) ( 0 , ) ( 0 , ) ( 0 , ) 0 T t A t A t t t A t A t A t T A t A t A t A t A t n x t e x e Bu t dt e x e e BB e dt W t x e x e W t W t x e x e x x R 这表明：对任一取定的初始状态 x00 ， 都存在有限 时刻 t10和控制 u(t)， 使状态由 x0转移到 t1时刻的状态 x(t1)=0 ， 根据定义可知系统为完全可控 。 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 13 必要性 ：已知系统完全可控 ， 欲证 W(0, t1) 非奇异 。 反 设 W(0, t1)为奇异 ， 即存在某个非零向量 ， 使 0 nxR 0 1 0( 0 , ) 0Tx W t x 1 1 1 0 1 0 0 0 0 00 0 2 0 0 0 ( 0 , ) T TT T t T T A t T A t Tt T A t T A t t T A t x W t x x e B B e x dt B e x B e x dt B e x dt 其中 |为范数，故其必为非负。欲使上式成立，必有 010 , 0 , TT A tB e x t t 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 14 因系统完全可控，根据定义对此非零向量 应有 0 x 111 10 0( ) ( ) 0 tA t A t Atx t e x e e B u t d t 1 0 0 () t Atx e B u t d t 112 0 0 0 0 000 ( ) ( ) TTttT A t T T A tx x x e B u t d t x u t B e x d t 0 2 0000 xx即 此结果与假设 相矛盾 ， 即 W(0, t1)为奇异的反设不成 立 。 因此 ， 若系统完全可控 ， W(0, t1)必为非奇异 。 0 0 x 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 15 2秩判据（ ） 1）凯莱 -哈密尔顿定理： 设 n阶矩阵 A的特征多项式为 11 1 0( ) | I | nn ns s A s s s 则矩阵 A满足其特征方程，即 11 1 0( ) I 0nn nA A A A 2） 推论 1： 矩阵 A的 k (kn)次幂可表示为 A的 (n-1)阶多 项式 1 0 n km m m A r A k n ， 注： 此推论可用以简化矩阵幂的计算。 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 16 3）推论 2： 矩阵指数函数可表示为 A的 (n-1)阶多项式 1 0 e ( ) n A t m m m tA 例 3-4：已知 ，计算 A100=? 12 01A 解： A的特征多项式为： 2( ) d e t ( I ) 2 1s s A s s 由凯莱 -哈密顿定理，得到 2( ) 2 0A A A I I22 AA 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 17 3 2 22 2 ( 2 ) 3 2A A A A A A I A A I 4 3 23 2 3 ( 2 ) 2 4 3A A A A A A I A A I 故 根据数学归纳法有 I)1( kkAA k 所以： 100 1 0 0 2 0 0 9 9 01 0 0 9 9 0 1 0 0 0 9 9A A I 10 2001 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 18 4）秩判据（ ） 线性定常系统 0( ) ( ) ( ) (0 ) 0 x t A x t B u t x x t 完全可控的充分必要条件是 1nra nk B AB A B n 其中 : n为矩阵 A的维数， 称 为系统的可控性判别阵。 1nS B AB A B 注： 秩判据是一种比较方便的判别方法。 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 19 证明：充分性： 已知 rankS=n， 欲证系统完全可控 ， 采用反证法 。 反设系统为不完全可控 ， 则有： 1 110(0 , ) , 0 Tt A t T A tW t e B B e d t t 为奇异，这意味着存在某个非零 n维常向量 使 1 1 1 0 0 0 ( 0 , ) TtT T At T A t t TT At T At W t e BB e dt e B e B dt 1, 0 ,T A te B t t 0 将上式求导直到 (n-1)次，再在所得结果中令 t=0，则 可得到 : 21, , , ,T T T T nB A B A B A B 0 0 0 0 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 20 21, , , ,T T T T nB A B A B A B 0 0 0 0 21T n TB AB A B A B S 0 由于 0， 所以上式意味着 S为行线性相关的 ， 即 rankSn 。 这显然与已知 rankS=n相矛盾 。 因而反 设不成立 ， 系统应为完全可控 ， 充分性得证 。 必要性： 已知系统完全可控 ， 欲证 rankS=n ， 采用 反证法 。 反设 rankSn ， 这意味着 S为行线性相关 ， 因此必存在一个非零 n 维常向量 使 成立 。 1T T nS B A B A B 0 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 21 1T T nS B A B A B 0 ; 0 , 1 , , 1TiA B i n 0 （由凯莱 哈密尔顿定理） 0 , 0 , 1 , 2 ,TiA B i 1 0t 1( 1 ) 0 ; 0 , ; 0 , 1 , 2 ,!iii At B t t ii 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 22 1 10 ( 0 , ) TtT A t T A t Te B B e d t W t 因为已知 0 ， 若上式成立 ， 则格拉姆矩阵 W(0, t1)为 奇异 ， 即系统为不完全可控 ， 和已知条件相矛盾 ， 所 以反设不成立 。 于是有 rankS=n ， 必要性得证 。 2 2 3 3 2 2 3 3 1 11 23 11 23 0, T A t T T T T e B I At A t A t B B ABt A Bt A Bt tt ！ ！ ！ ！ 0 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 23 例 3-6：已知 判断其能控性。 4 0 1 0 5 2x x u 2n 解： 系统阶次 ，确定出可控判别阵 142 1 0S B A B 2r a n k S n ，所以系统为完全可控。 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 24 例 3-7：判断下列系统的可控性 11 1 22 2 33 1 3 2 2 1 0 2 0 1 1 0 1 3 1 1 xx u u xx 解： 2 1 3 2 5 4 1 1 2 2 4 4 1 1 2 2 4 4 S 矩阵 S的第二行与第三行线性相关， 故 rankS =2 3，系统不可控。 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 25 补充：可控性判别矩阵 （ ） ： npS 线性定常连续系统的状态方程 0( ) ( ) ( ) (0 ) 0 x t A x t B u t x x t 其中： x为 n维状态向量； u为 p维输入向量； A 和 B分别为 (n n) 和 (n p)常阵 。 该线性定常连 续系统完全可控的充要条件是： npnpr a n k S r a n k B A B A B n 其中： p ra n k B p p， 注： 该方法是秩判据的改进，特别适用于多输入 系统，可减少不必要的计算。 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 26 例 3-8：用可控性判别矩阵 判别例 3-7所示系统 的可控性。 npS 11 1 22 2 33 1 3 2 2 1 0 2 0 1 1 0 1 3 1 1 xx u u xx 解： n=3, 系统输入向量是 2维的列向量，即 p = 2。 21 1 1 2 11 p r a n k B r a n k p 32 2 1 3 2 1 1 2 2 1 1 2 2 S 显见矩阵 S3-2的第二行与第三行线性相关， 故 ，系统不可控。 23 npra n k S 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 27 3 PBH秩判据（ ） 线性定常系统 0( ) ( ) ( ) (0 ) 0 x t A x t B u t x x t 完全可控的充分必要条件是：对矩阵 A的所有特 征值 ， ( 1 , 2 , , ) i in 1 , 2 , ,ir a n k I A B n i n 均成立，或等价地表示为 ,r a n k s I A B n s C 注： 当系统矩阵 A的维数较高时 ， 应用秩判据可能不 太方便 ， 此时可考虑用 PBH判据试一下 。 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 28 证明： ， 为多项式矩阵 ， 且对复数域上除 i以外的所有 s都有 det(sI-A)0， 即 ranksI-A=n， 进而有 ranksI-A B=n， 所以只要证明 即可 。 ,r a n k s I A B n s C 1 , 2 , ,ir a n k I A B n i n 必要性： 系统完全可控 ， 欲证上式成立 ， 采用反证法 。 反设对某个 i 有 rankiI A B n，则意味着 iIA B为 行线性相关。由此，必存在一个非零常向量 ，使 iT I A B 0 成立。考虑到问题的一般性，由上式可得到： ,0T T TiAB 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 29 进而可得 : 1, , ,T T T T niB A B B A B 0 0 0 于是有 1T n TB A B A B S 0 因已知 0，所以欲使上式成立，必有 ra n kS n 这意味着系统不完全可控 ， 显然与已知条件相矛盾 。 因此 ， 反设不成立 ， 即 rankiI A B=n成立 。 充分性： 已知式 rankiI A B=n成立 ， 欲证系统完 全可控 。 采用反证法：利用和上述相反的思路 ， 即可 证得充分性 。 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 30 例 3-9：已知线性定常系统状态方程为 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 5 0 2 0 x x u 判断系统的可控性。 解： 根据状态方程可写出 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 5 2 0 s s sI A B s s 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 31 特征方程： 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 r a n k r a n k 0 0 0 1 0 1 0 0 5 0 2 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 r a n k 4 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 3 0 sI A B 2d e t( ) ( 5 ) ( 5 ) 0sI A s s s 解得 A的特征值为： 1 2 3 40 , 5 , 5 1）当 时，有 12 0s 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 32 2）当 时，有 3 5s 5 1 0 1 0 5 1 0 r a nk =r a nk 4 0 0 0 1 0 0 2 0 sI A B 3）当 时，有 3 5s 5 1 0 1 0 5 1 0 r a n k = r a n k 4 0 0 0 1 0 0 2 0 sI A B 所以系统是完全可控的。 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 33 4 PBH特征向量判据 线性定常系统 0( ) ( ) ( ) (0 ) 0 x t A x t B u t x x t 完全可控的充分必要条件是： A不能有与 B的所有 列相正交的非零左特征向量 。 即对 A的任一特征 值 i， 使同时满足 ,T T TiAB 0 的特征向量 。 0 注： 一般的说， PHB特征向量判据主要用于理论 分析中，特别是线性系统的复频域分析中 。 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 34 证明：必要性： 已知系统完全可控，反设存在一个向 量 0，使式 成立，则有 ,T T TiAB 0 1, , ,T T T T niB A B B A B 0 0 0 1T n TB A B A B S 0 由于 0 ， 所以上式意味着 S为行线性相关的 ， 即 rankSn， 即系统为不完全可控 。 与已知条件相 矛盾 ， 因而反设不成立 ， 必要性得证 。 充分性： 对充分性的证明也用反证法，可按与以上 相反的思路来进行，具体推证过程略去。 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 35 5约当规范型判据 1）对角规范型系统 (无重特征值 )可控性判别 （ ） 当矩阵 A的特征值 为两两相异时 ， 线性定常连续系统 完全可控的充分必要条件是：其对角线规范型 12, , , n 0( ) ( ) ( ) (0 ) 0 x t A x t B u t x x t 1 2 n x x B u 中， 不包含元素全为零的 行 。 B 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 36 例 3-12：已知线性定常系统的对角线规范型为 11 1 22 2 33 8 0 0 0 1 0 1 0 3 0 0 0 2 0 2 xx u xx u xx 判断系统的可控性。 解： 由于此规范型中 不包含元素全为零的行， 故系统完全可控。 B 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 37 2）约当规范型系统（有重特征值）可控性判别 当系统矩阵 A有重特征值时 ， 线性定常连 续系统 完全可控的充分必要条件是：由其导出的约当 规范型 中 ， 中与同一特征值的各 约当块对应的各子块的最后一行组成的矩阵是 行 线性无关的 。 0( ) ( ) ( ) (0 ) 0 x t A x t B u t x x t ABx x u B 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 38 例 3-13：已知约当规范型系统如下： 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 3 0 4 1 x x + u 试判断其可控性。 解： ， ，均行线性无关， 所以：系统完全可控。 1 100 0 4 0 007 B 2 1 1 0 0 4 1B 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 39 例 3-14：证明如下系统总是完全可控的。 0 1 1 01 0 01 0 1n x x u a a a 证明： 1 1 0 0 1 1 0 1 n n a S a ran k Sn ，故完全可控。 该题说明：可控标准型系统完全可控。 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 40 二、输出可控性 1输出可控性定义 若在有限时间间隔 t0, t1内 ， 存在无约 束分段连续控制函数 u(t)， ， 能使任 意初始输出 y(t0)转移到任意最终输出 y(t1) ， 则称此系统是输出完全可控 ， 简称输出可 控 。 01,t t t 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 41 2输出可控性判据 设线性定常连续系统的状态空间描述为： 01( 0 ) , 0 ,x A x B u x x t t y C x D u 则输出可控的充要条件是：输出可控性矩阵 的秩等于输出变量的维数 q，即 10 nS CB CA B CA B D 0r a n k S q 注意： 状态可控性与输出可控性是两个不同的 概念，二者没有什么必然联系。 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 42 判断系统的状态可控性和输出可控性。 例 3-15：已知系统的状态空间描述为 0 1 1 1 2 1x x u 10yx 解： 1）系统的状态可控性矩阵为 1111S B A B ra n k 1 2S ，状态不完全可控 2）系统的输出可控性矩阵为 0 1 1 0S C B C A B D 0r a n k 1Sq , 系统输出可控。 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 43 三 线性时变系统的能控性判据 1 格拉姆矩阵判据 线性时变系统在时刻 为完全能控的充要 条件是，存在一个有限时刻 ， 使如下定义的格拉姆矩阵 非奇异。 10t 0T010 )t,t()t()t()t,t(,t t Tc dtBBtW 0t )tt,Jt(t 0111 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 44 2 秩判据 线性时变系统在时刻 为完全能控的充分 条件是，存在一个有限时刻 ， 使下式成立 n)t(M)t(M)t(Mr a n k 11-n1110 0t )tt,Jt(t 0111 )t(M dt d )t(M)t(A)t(M )t(M dt d )t(M)t(A)t(M )t(B)t(M 2-n2-n1-n 001 0 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 45 3. 3 线性定常连续系统的可观测性判据 ( ) 一线性定常连续系统的可观测性判据 1. 格拉姆矩阵判据 线性定常系统 完全可观测的充分必要条件是 ， 存在有限时刻 t1 0， 使如下定义的格拉姆矩阵 为非奇异 。 0(0 ) 0 x A x x x t y C x 1 T 1 0( 0 , ) e e Tt A t A tM t C C d t 注意：在应用该判据时需计算 eAt， 这在 A的维数较 高时并非易事 ， 所以此判据主要用于理论分析中 。 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 46 2. 秩判据（ ） 线性定常系统 完全可观测的充分必要条件是 : 或 0(0 ) 0 x A x x x ty C x 1n C CA ra n k n CA 1 ( ) T T T T n Tr a n k C A C A C n 其中： n是系统的维数 ， 称为系统的可观测性判别阵 ， 简称可观测性阵 。 1 ( ) T T T T n T TV C A C A C 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 47 例 3-16：判断下列系统的可观性： x A x y Cx 20 , 1 001AC (1) 解： (1) 10 1220Cr a n k V r a n k r a n k nCA 系统不完全可观测 1 1 1 0 1 1 1 1AC ， (2) (2) 1 1 1 0 20 1 1 2T T Tr a n k V r a n k C A C r a n k n 系统完全可观测 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 48 例 3-17：证明如下系统总是完全可观测的。 0 1 1 00 1 1 n a a xx a 0 0 1 yx 证明： 1 1 1 0 1 100 n n a a V nV ra nk 系统是完全可观测的。 该题说明： 可观测标准型系统是完全可观测的。 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 49 补充：可观测性判别矩阵 （ ） nqV 线性定常连续系统的状态方程 其中： x为 n维状态向量； y为 q维输出向量； A和 C 分别为 (n n) 和 (q n)常阵 。 该线性定常连续系统 完全可观测的充要条件是： 其中： 0(0 ) 0 x A x x x ty C x nq nq C CA ra n k V ra n k n CA q r a n k C q q， 适用于多输出系统 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 50 例 3-18：判断例 3-16所示系统 2）的可观性。 1 1 1 0 1 1 1 1AC ， 解： 系统输出向量是 2维的列向量，即 q = 2。 10 2 11q r a n k C r a n k q 22 10 11V 2nqra n k V n 故 ，系统完全可观测。 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 51 3. PBH秩判据 （ ） 线性定常系统 完全可观测的充分必要条件是：对矩阵 A的所 有特征值 ， 均有 0(0 ) 0 x A x x x t y C x ),2,1( nii r a n k ; 1 , 2 , ,I i C n i n A ( I ) Cra n k n s C sA ， 成立。或等价地表示为 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 52 4. PBH特征向量判据 线性定常系统 完全可观测的充分必要条件是： A没有与 C的所 有行相正交的非零右特征向量 。 即对 A的任一 特征值 ， 使同时满足 0(0 ) 0 x A x x x t y C x ),2,1( nii ,iAC 0 0的特征向量 。 注： PHB特征向量判据主要用于理论分析中 。 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 53 5. 约当规范型判据 1）对角规范型系统 (无重特征值 )可观测性判别 （ ） 1 2 , n x x y Cx 当矩阵 A的特征值 为两两相异时 ， 线性定常连续系统 完全可观测的充分必要条件是：其对角线规范型 12, , , n 中， 不包含元素全为零的 列 。 0(0 ) 0 x A x x x t y C x C 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 54 例 3-19：已知线性定常系统的对角线规范型为 800 1 0 0 0 1 0 , 1 2 3 0 0 2 x x y x 判断系统的可观测性。 解：由于此规范型中 不包含元素全为零的 列，故系统完全可观测。 C 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 55 2）约当规范型系统 (有重特征值 )可观测性判别 当系统矩阵 A有重特征值时 ， 线性定常连 续系统 完全可观测的充分必要条件是：由其导出的约 当规范型 中 ， 中与同一特征值的各约当块对应的各子 块的第一列组成的矩阵是 列 线性无关的 。 0(0 ) 0 x A x x x t y C x A C xx y = x C 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 56 例 3-20：约当标准型系统如下： 2 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 3 xx 试判断其可观测性。 4 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 1 0 1 0 0 0 5 3 0 0 y x 解： 1 400 0 3 0 , 0 0 5 C 2 20 11 30 C 所以：系统完全可观测。 是列线性无关的； 是列线性无关的； 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 57 二子系统组合的可控性和可观测性（补充） 完全可控且完全可观测的子系统组合后不一 定保持原有的可控性或可观测性。 例 3-21：设完全可控且完全可观测的子系统为 1 1 1 1 1 10 1 0 213 4 1S x x u y x ： ， 2 2 2 2 2 2S x x u y x ： ， 求出并联组合系统的状态空间描述，并判断并联 组合系统的可控性和可观测性。 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 58 解： 子系统并联组合后的系统 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 AB AB xx u 0 1 0 0 3 4 0 1 0 0 1 1 x x u 11 2 1 2 2 C C D D xyu x 2 1 1yx 可控性判别矩阵： 0 1 4 1 4 1 3 1 1 1 S 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 59 可观性判别矩阵 156 123 112 V d e t 4 1 5 6 1 2 3 1 0 0V r a nk Vn 该并联组合系统不完全可控且不完全可观测。 de t 4 13 16 1 0S ra n k Sn 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 60 三 线性时变系统的能观测性判据 1 格拉姆矩阵判据 线性时变系统在时刻 为完全能观的充要 条件是，存在一个有限时刻 ， 使如下定义的格拉姆矩阵 非奇异。 10t 0T0T10o )t,t()t(C)t(C)t,t(,t t dttW 0t )tt,Jt(t 0111 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 61 2 秩判据 线性时变系统在时刻 为完全能观的充分 条件是，存在一个有限时刻 ， 使下式成立 n)t(N)t(N)t(Nr a n k T11-n1110 0t )tt,Jt(t 0111 )t(N dt d )t(A)t(N)t(N )t(N dt d )t(A)t(N)t(N )t(C)t(N 2-n2-n1-n 001 0 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 62 3.4 对偶原理 一 对偶系统 考虑线性时变系统 x)t(Cy B ( t ) u ,A ( t ) xx: 线性时变系统的对偶系统的状态空间描述为： TTT TTTTT d )t(B ( t )C( t )A: 式中： -n维行向量，协态； -输出， p维行向量； -输入， q维行向量。 （ 1） （ 2） 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 63 二 对偶原理 对偶系统的状态转移矩阵之间满足如下关系： 线性时变系统的完全能控等同于其对偶系 统的完全能观测，线性时变系统的完全能观测 等同于其对偶系统的完全能控。 ),(),(),( 000 tttttt TTa 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 64 补充题： 确定使下列系统状态完全能控的待定参 数的 a， b， c取值范围 0 1 0 0 01 0 0 0 x a b x u c 2 0 1 0 4 1 6 0 1 2 6 1 8 a x x b u c （ 1） （ 2） 0ac 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 65 习题 9-20 已知系统的传递函数为 32() 7 1 4 8 saGs s s s 设系统状态完全可控且完全可观 , 试求 a的范围 。 解： 可控标准型实现 ， 检查可观性： 0 1 0 0 0 0 1 0 8 1 4 7 1 x x u ； 1 0 y a x 第 3章 线性系统的可控性和可观测性 66 解 得 a1 = 1； a2 = 2； a3 = 4； 答案：只需 a1 1 、 a2 2 和 a3 4 。 ；08147 23 aaa 7148 10 01 a a a V ；8147 23 aaa