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频域分析法 时域分析法 复频域分析法 线性动态电 路的求解方 法 第九章 拉普拉斯变换 建立电路的 输入 -输出方程 ， 求解满足 给定初始条件的解 。 将时域变到频域 （ 将时域里的微分方程 化为 相量代数方程 ） 进行分析 ， 再返回时域 。 将时域变到复频域 （ 将时域里的微分 方程化为 复频域函数的代数方程 ） 进行分 析 ， 再返回时域 。 本章知识要点 拉普拉斯变换的基本性质 拉普拉斯变换的基本概念 拉普拉斯反变换 拉普拉斯 变换 反变换公式 拉普拉斯变换表 部分分式展开 拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心是把时 间函数 f(t)与复变函数 F(s)联系起来，把时域问题通过数学 变换为复频域问题， 把时间域的高阶微分方程变换为复频 域的 代数方程 以便求解。 熟悉的变换 91 拉普拉斯变换 一、拉普拉斯变换简介 相量法 12 12 i i i I I I 正 弦 量 相 量 把时域的正弦运算变换为复数运算 对应 拉氏变换： 时域函数 f(t)(原函数 ) 复频域函数 F(s)(象函数 ) 因果函数 (causal function) f ( t )仅存在于 t 0的时间区间 0 )()( dtetfsF st 如果 f(t)存在于整个时间区间，则用 f(t)(t) 表示因果函数。 s = + j , 称为复频率 (complex frequency) F(s)称为 (t)的 象函数 、 (t)称为 F(s)的 原函数 。 从 (t)到 F(s)变换称为 拉普拉斯正变换 (Laplace transform) 二、拉普拉斯变换的定义 拉普拉斯正变换 = f(t) 用符号 表示对方括号里的 时域函数 作拉氏变换。 象 函数 原函数 象函数 F(s) 存在的条件 : 积分的结果不再是 t 的函数，而是 s的函 数。 拉氏变换是 把一个时间域的函数 f(t)变换到 s 域内的复变函数 F(s)。 变量 s 称为复频率。应用拉氏变换法进行电路分析称为电 路的一种 复频域分析方法，又称运算法。 拉氏变换的积分从 t=0-开始，可以计及 t=0时 f(t)包含的冲 激的情况，从而给计算存在 冲激函数 电压和电流的电路带来 方便。 0 )()( dtetfsF st = f(t) 0 () stf t e d t 如果 F(s)已知，要求出与它对应的原函数 (t)， 由 F(s)到 (t)的变换称为 拉氏反变换 ，它定义为 jj )(j 2 1)( cc ts dsesFtf 拉普拉斯反变换 = 1F(s) 式中 c为正的有限常数。用符号 1 表示对方 括号里的 复变函数 作拉氏反变换。 (inverse Laplace transform) 例 1 求单位阶函数 ( t )的拉普拉斯象函数。 0 0 s edte tsts 解 : 收敛域为 s平面的右半平面 0 dtett ts)()( 1 ( )t s 二、典型函数的拉普拉斯变换 dtetdtet stst )()( 000 s 1 tjttjts eeee )( ts i ntc o st je j 0sRe 0 () stf t e d t 例 2 求单位冲激函数 (t)的拉普拉斯象函数。 解 : 收敛域包括整个 s平面。 0 dtett ts)()( ( ) 1t dtetdtet tsts 000 )()( 10 ttse 例 3 求单边指数函数 eat(t) （ a为复常数）的拉普拉 斯象函数。 0( ) ( ) at stF s e t e dt as 1 解： () 0 1 () s a te sa dtte tas )(0 )( Re s = Re a 1 ( ) atet sa dttedtte tastas )()( )()( 000 92 拉普拉斯变换的基本性质 1. 线性组合定理 (Linear combination theorem) 例 1 求 cost(t)及 sint(t)的拉普拉斯象函数。 解： 22 1 1 1() 2 j j s s s s 同理可得 af1(t)bf2(t)=a f1(t) b f2(t) jj11 c os ( ) ( ) ( ) 22 ttt t e t e t )( 21)( 21 jj tete tt 22 s i n ( ) tt s 2. 微分定理 (differentiation theorem) *证明： )0()( )( ftfstf dt d 0 0 0 )( )()( tststs detftfetdfe 0 0 )( )( dtetfstfe tsts由于 l i m ( ) 0stt e f t 由分部积分法 0 0 ( ) ( ) ( )s t s tddf t e f t d t e d f td t d t )0()( )( ftfstf dt d f(t) vd uuvu d v 微分定理可以推广至求原函数的二阶及二阶以上导数的 拉普拉斯变换，即 2 ( ) ( 0 ) ( 0 )s f t s f f )0()0()( )(2 2 fftfsstf dt d 12 ( 1 ) ( ) ( ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) n n n n n n d f t s f t s f s f dt f 解： dt tdt )()( 例 2 已知 ， 求 、 st 1)( )( t )( t 1 1 )()( )( )( 0 s s tts dt td t t s tst t )(1)( 0 例 3 某动态电路的输入 输出方程为 )()()()()( 01012 2 tebtedtdbtratrdtdatrdtd 响应及其一阶导数的原始值分别为 r(0)及 r (0)，激励函数的 原始值 e(0)=0。求响应的象函数。 解： )()0()( )()0()()0()0()( 01 01 2 sEbessEb sRarssRarsrsRs 令激励和响应的象函数分别为 )0(1)0()()( 01 2 01 2 1 01 2 01 r asasrasas assE asas bsbsR )()()0()0()()()( 011012 sEbsbrrassRasas 代入 e(0) = 0后整理得 ( ) E s e t ( ) ( ) R s r t ( ) 3. 积分定理 (integration theorem) 证明： )( 1)( 0 tfsdttft )( )( 0 tfdttfdtd t )( )()( 0 0 0 tfdttfdttfs t tt )( 1)( 0 tfsdttft 例 4 求 nsss 111 32 、 的原函数。 解： )()( 0 ttdttt st 1)( 2 0 1)( 1)( )( stsdtttt t )(121 tts 3 0 2 1 )( 1)( )(2 sttsdttttt t )(!21 2 3 1 tt s 同理 n n stn t 1)( )!1( 1 )()!1(1 1 1 t n t s n n 4. 时域位移定理 (time-shift theorem) dtettttf ts )()( 00 0 证明： dtettttf tst )()( 00 0 )()()( 00 0 sFetdettfe tststs 0 ttt 令 tddtttt 0 则 )()()( 000 sFettttf ts )()( 00 ttttf tdettfttttf tts )( 0 00 0)()()()( 延迟因子0ste 例 5 1 T t f(t) )()()( Ttttf Tse sssF 11)( T T f(t) )()()( Tttttf 22 1)( s e ssF Ts )()()()()( TtTTtTttttf TsTs e s Te sssF 22 11)( 例 6 求矩形脉冲的象函数 解 根据延迟性质 求三角波的象函数 解 解： )2()(2)()( 000 tUtUtUtu )21( 1121)( 202000 ssss eesUseUseUsUsU 例 7 求 u(t)的拉普拉斯象函数 U(s)。 2000 )( )( 2)( )( ss etUetUtUtu 5. 初值定理与终值定理 （ 1）初值定理 (initial-value theorem) )(lim)0( ssFf s 证明： dtedtdffssF st 0 )0()( )0()( 0 fssFdtedtdf st 0( 0 ) ( 0 ) stdff f e d t dt dtedtdfdtedtdf stst 0 0 0 dtedtdffssF st 0 )0()( )0()(lim fssFs （ 2）终值定理 (final-value theorem) )(lim)(lim 0 ssFtf st 证明： 0( ) ( )lim limtsf t sF s 利用初值定理和终值定理，根据已知的象函数 F(s)可直接在复频域中确定其对应原函数 f(t)的初值 和终值。 000l i m ( ) l i m ( ) ( 0 ) st ss d f t e d t s F s f dt 0lim ( ) ( 0 )s sF s f 0 0( ) l i m st s d f t e d t dt 0( ) ( ) ( 0 )f t f f 1 1 1() 1 ( 1 )Fs s s s s 例 8 设 )()()( tetf t 1 验证初值定理和终值定理。 解： 1( 0 ) ( ) 0l i m l i m 1ssf s F s s 0( 0 ) 1 0f - e 又有 00 1( ) ( ) 1l i m l i m l i m 1t s sf t s F s s ( ) 1 1limt f t - e 由初值定理可得 由终值定理可得 例 9 采用拉氏变换求电容器对电阻放电时的电容电压 uC(t) t 0+ () ( ) 0c c d u tR C u t dt 00() 11C R C U UUs RCs s RC 0)0( Uu c 0() t RCcu t U e () ( ) 0C C d u tR C u t dt () ( ) ( ) ( 0 ) ( ) 0C C C C C d u tR C u t R C s U s u U s dt 验证初值定理和终值定理 0() 1C U Us s RC 0() t RCcu t U e 0 0( 0 ) ( ) =lim lim 1CC ss sU u s U s U s RC 0 00 ( ) ( ) = 0li m li m 1CC ss sU u s U s s RC 6. 时域卷积定理 (timedomain convolution theorem) 证明 ： ddtetff ts 0 2 0 1 )()( )()()()( 2121 sFsFtftf defsF s )()( 0 12 )()( 21 sFsF dtedtfftftf ts )()()()( 0 21 0 21 0 21 )()( desFf s 例 10 已知： )()()( 1 1 tttttf 求 解： )()()()()( 111 1 2221 ss e ss e sssFsF ss )(*)( tftf 21 ss esesstfsF 111 2211 )()( )()( tetf t2 11 22 stfsF )()( )(*)( tftf 21 dteLethtuti tL Rt a )(1)()(*)()( )( 0 例 11 设一个 RL串联电路中的激励电压为 )()( tetu at 电流的冲激响应为 )(1)( teLth tL R ，而电路 。求此电路电流的零状态响应。 解 1：直接在时域内求解，则有 解 2：利用时域卷积定理，在复频域内求解 )( 11)()()( L RsLassHsUsI ) 11( )( 1 L Rsasa L RL )()( )( )()( tee a L RLsIti t L R at 1 1 astusU 1 )()( L RsLthsH 11 )()( 拉普拉斯反变换简表 象函数 原函数 1 s s2 ()t ()t ()t 1s ()t 2 1s ()tt 1sa ()atet 2 1 ()sa ()atte t 22s sin ( )tt 22 ss c os ( )tt 22()sa s in ( )ate t t 22() sa sa c o s ( )ate t t 93 进行拉普拉斯反变换的部分分式展开法 用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把求得的 响应的拉氏变换式反变换为时间函数。 由象函数求原函数的方法： (1)利用公式 (2)对简单形式的 F(S)可以查拉氏变换表得原函数 (3)把 F(S)分解为简单项的组合 部分分式 展开法 jj )(j 2 1)( cc ts dsesFtf )()()()( 2 sFsFsFsF n1 )()()()( 21 tftftftf n 部分分式展开法 (partialfractionexpansion method) 01 1 1 01 1 1 )( )()( asasasa bsbsbsb sD sNsF n n n n m m m m F(s)为有理真分式 (即 mn) ，否则 )( )()( )( )()( sD sRsQ sD sNsF 电路理论中常见的响应函数的象函数往往是 有理函数 象函数的一般形式： (1) 只具有单极点的有理函数的反变换 )()()( )( )( )()( 1 nkn ssssssa sN sD sNsF n n k k ss A ss A ss AsF 1 1)( ksskk sFssA )()( n k ts k n k k k teA ss AsFtf k 11 11 )( )( )( )( kss )( kss )( kss )( kss 解： 5252 12 107 12 321 23 s A s A s A sss s sss ssF )()( 1.052 1)5)(2( 12)( 01 1 sss ss sssFA 5032 3522 1225122 2 2 2 .)()()()( )()()()( sss ss ssFsA 60 35 9255 1522125 5 3 3 .)()()()( )()()()( sss ss ssFsA )()6.05.01.0(56.025.01.0 )( )( 5211 teessssFtf tt 例 1. 已知象函数为 sss ssF 107 12 23 )( ，求相应的原函数 f(t)。 例 2 已知某象函数为 )52)(1( 3)( 2 sss ssF 求相应的原函数 f (t)。 解法一： 先求分母二次式为零的根 0522 ss 23 2 2 2j1 2j1 2 4j2 2 5422 ss s 解得 象函数 F(s)的部分分式展开式为 )()()( 2j12j11 3 sss ssF 2j12j11 321 s A s A s A 一对共轭复根 2j1 2 2j11 32j1 2 s ss ss ssFsA )()()( )()()( )( 4j2j 2j2 2j12j112j1 32j1 4j22501j1250 e.)(. 32j13 sssFsA )()( 24j2250 Ae . 5.05)1(2)1( 31 52 3)()1( 2121 1 sss ss ssFsA 各部分分式的系数分别为 共轭复根的系数为共轭复数 jj( 1 j 2 ) ( 1 j 2 )440 . 5 ( ) 0 . 2 5 2 ( ) 0 . 2 5 2 ( )t t te t e e t e e t )()42c o s (25.0)(5.0 ttete tt 1( ) ( )f t F s jj 44 1 0 .5 0 .2 5 2 0 .2 5 2 1 1 j 2 1 j 2 ee s s s 欧拉公式 解法二： 152)52)(1( 3)( 22 s c ss bas sss ssF 若能判断分母中二次式等于零的根为共轭复根时，可展开 为 a = 0.5 b = 0.5 c = 0.5 通分后比较两端分子多项式系数可求得 1 5.0 2)1( 5.05.0 1 5.0 52 5.05.0)( 222 ss s sss ssF 则 查表 9-2-1 P318 )(5.0)(2s i n2 )5.0(5.02c o s5.0 tettete ttt )()42c o s (25.0)(5.0 ttete tt )( )( 1 sFtf 1 5.0 2)1( 5.05.0 1 5.0 52 5.05.0)( 222 ss s sss ssF (2) 具有多重极点的有理函数的反变换 q n ssssa sN sD sNsF )( )( )( )()( 21 q q ss A ss A ss A ss AsF )()()( 2 2 2 2 22 2 21 1 1 1)()( 11 sssFssA 2 )()( 22 ssqq sFssA 2 )()( 2)1(2 ss q q sFssds dA 2 )()(!21 22 2 )2(2 ss q q sFssds dA 2 )()()!1( 1 2)1( )1( 21 ss q q q sFssdsdqA )()!1( 1)( 21 1222211 tetAqtAAteA tsqqts q q ss A ss A ss A ss A sFtf )()( )( )( 2 2 2 22 2 21 1 11 1 2 22211 1s1ss )()( AAA )()()( tfss ssF 的原函数求： 214 414 0201 ss ssssFA )()( 341 11222 ss sssFsA )()( 1 2 21 1 ssFsds dA )()( 44 1 ss s ds d 例 3 解 )()( ss ssF )()()( )( )()( tett sss sFtf t 344 1 3 1 44 211 2 32 32 32 )200( 1014010002 )1040400( 1014010002)( ss ss sss sssF 解： 2 22211 )2 0 0(2 0 0 s A s A s A 1 2 3 3 1 22 0 2 1 0 0 0 1 4 0 1 0 1 4 0 1 0( ) 3 . 5 ( 2 0 0 ) ( 2 0 0 )ss s ssA s F s s 100 200 10140)200(1000)200(2 1014010002 )()200( 32 200 32 2 22 2 s ss s ss sFsA 例 4 已知某象函数 sss sssF 323 32 1040400 1014010002)( 求相应的原函数 f (t)。 5.1 )200( 10140 2 10140 2 ) 1014010002 ()()200( 2 3 200 2 3 200 32 2 21 2 s s ss s s ss ds d sFs ds d A 2)200( 100 200 5.15.3)( ssssF )()1005.1()(5.3 )200( 100 200 5.15.3 )( )( 200 2 11 tett sss sFtf t 例 5 已知： 求 解： )()()()()( 111 1 2221 ss e ss e sssFsF ss )(*)( tftf 21 )()()(*)( sFsFtftf 21121 )()()( 1 1 1 1 1 2 1 2 1 ss e ss e ss ss )()( tetsssss t 11 111 1 1 2 1 2 1 )(*)( tftf 21 )( )()()( )( )( 11 1111 1 1 te tettet t tt )()()( 111 tttet t )()()( )( 1111 1 12121 tet s e s e s e ss e tssss )()( )( 111 1 111 te s e s e ss e tsss 求 F(s)分母多项式等于零的根，将 F(s)分解成部 分分式之和 ; 求各部分分式的系数 ; 对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换 。 将 F(s)化成最简真分式 ; 由 F(s)求 f(t) 的步骤 : 课堂练习 : 26 3 2 3 1 0 0 3 5 0 0 0 2 1 03 . ( ) 4 0 0 4 0 1 0 ssFs s s s 6s5s 11s9ss1 2 2 )(. F 2 32. ( s ) ( 1 ) ( 4 5 ) sF s s s 采用部分分式展开法求解下列函数的原函数 65 541 2 ss s )()()()( teettf tt 23 37 1.解 : 65 119s 2 2 ss ssF )( 321 21 s A s A 11 2 452 ( ) 3 3ss s sA s F s s （ ） 22 3 453 ( ) 7 2ss s sA s F s s （ ） 3s 7 2s 31s )(F 2 3 ( 1 ) ( 4 5 ) s s s s 0 41 53 AB A B C AC 2( 4 5) ( ) ( 1 ) 3A s s B s C s s 1 1 2 A B C 2( - c o s ) ( )tte e t t 22 22 3 ( 1 ) ( 2 ) 1 1 ( 2 ) 1 s ss A B s C ss 2.解 : 11 2212( ) ( ) 1 ( 2 ) 1sf t F s ss 2 22211 )2 0 0(2 0 0 s A s A s A 1 2 6 6 1 22 0 1 0 0 3 5 0 0 2 1 0 2 1 0( ) 5 0 ( 2 0 0 ) ( 2 0 0 )ss s ssA s F s s 2 26 2 22 200 26 1 0 0 3 5 0 0 0 2 1 0 ( 2 0 0 ) ( ) 1 0 0 ( 2 0 0 ) 3 5 0 0 0 ( 2 0 0 ) 2 1 0 5000 200 ss s ss A s F s s 26 2 1 0 0 3 5 0 0 2 1 0() ( 2 0 0) ssFs ss 3.解： 2 5 0 5 0 5 0 0 0() 2 0 0 ( 2 0 0 )Fs s s s 2 26 2 21 200 66 22 200 1 0 0 3 5 0 0 0 2 1 0 ( 2 0 0 ) ( ) ( ) 2 1 0 2 1 0 1 0 0 1 0 0 5 0 ( 2 0 0 ) ss s s d d s s A s F s d s d s s s 11 2 2 0 0 2 0 0 5 0 5 0 5 0 0 0 ( ) ( ) 2 0 0 ( 2 0 0 ) ( 5 0 5 0 5 0 0 0 ) ( )tt f t F s s s s e te t